Lösungen zur Prüfung 2009: Pflichtbereich

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Monika Fiedler
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1 009 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 009: Pflichtbereich ufgabe P1: erechnung des lächeninhalts G : ür den lächeninhalt des Dreiecks G gilt (siehe igur 1): G = Man muss also zuerst die Länge G und die Höhe h berechnen G h erechnung der Länge G : Kennt man die Längen D und E, kann man die Länge DE und damit auch G = DE berechnen Denn es gilt: DE = D E (siehe igur 1) Weil das Dreieck gleichschenklig zur asis ist, gilt: D = E Mit = 7, cm folgt somit: DE = 7, cm D bzw G = 7, cm D,1 cm α G D h 7, cm igur 1 E Die Länge D kann im Dreieck DG berechnet werden Mit α = 51, gilt (siehe igur 1): cos 51, =,1 D D = 1,94 cm Damit erhält man für G = 7, cm D : G =, cm erechnung der Höhe h: Die Höhe h kann im Dreieck GM berechnet werden (siehe igur ) h Darin gilt: tan α = GM Da der Winkel α ein Stufenwinkel zu α = 51, ist, gilt: α = α = 51, α G D α' M h igur Weil das Dreieck G aus Symmetriegründen ebenfalls gleichschenklig ist, halbiert die Höhe h die Strecke G ür die Länge GM gilt damit: GM = 0,5 G = 1,66 cm h Damit folgt: tan 51, = h =,07 cm 1,66 Mit G =, cm und h =,07 cm folgt schließlich für den lächeninhalt G = G =,44 cm Ergebnis: Der lächeninhalt des Dreiecks G ist G =,44 cm G h : E Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 1

gleichschenklig zur asis ist, gilt: D = E Mit = 7, cm folgt somit: DE = 7, cm D bzw G = 7, cm D,1 cm α G D h 7, cm igur 1 E Die Länge D kann im Dreieck DG berechnet werden Mit α = 51, gilt (siehe

2 009 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 009: Pflichtbereich ufgabe P: erechnung des bstands des Punktes D von : D Die Länge D kann im Dreieck D berechnet werden D Darin gilt (siehe igur 1): sin β 1 = D Man muss also den Winkel β 1 und die Länge D berechnen E γ = 57,7 erechnung des Winkels β 1 : ür β 1 gilt (siehe igur 1): β 1 = 90 β Der Winkel β kann mit γ = 57,7 aus der Summe der Innenwinkel im Dreieck E berechnet werden igur 1 β 1 β Es gilt: β ,7 = ,7 β = ,7 90 β =, Damit ist β 1 = 57,7 D erechnung der Länge D :,9 cm ür die Länge D gilt: D = E +,9 cm (siehe igur ) Die Länge E kann im Dreieck E berechnet werden E γ = 57,7 E Darin gilt: cos β 1 = 6,8 E Mit β 1 = 57,7 folgt: cos 57,7 = 6,8 E =,6 cm 6,8 cm igur β 1 Durch Einsetzen in D = E +,9 cm erhält man für die Länge D : D = 7,5 cm Durch Einsetzen von β 1 = 57,7 und D = 7,5 cm in sin β 1 = D sin 57,7 = 7,5 7,5 D erhält man schließlich: D 7,5 sin 57,7 = D 6,6 = D bzw D = 6,6 cm Ergebnis: Der bstand des Punktes D von der Strecke beträgt 6,6 cm Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht!

Dreieck E berechnet werden igur 1 β 1 β Es gilt: β + 90 + 57,7 = 180 90 57,7 β = 180 57,7 90 β =, Damit ist β 1 = 57,7 D erechnung der Länge D :,9 cm ür die Länge D gilt: D = E +,9 cm (siehe igur )

3 009 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 009: Pflichtbereich ufgabe P: erechnung der Zylinderhöhe h Z : Die Zylinderhöhe kann aus der angegebenen Oberfläche O ges = 44 cm des zusammengesetzten Körpers berechnet werden, wenn man den Zylinder- bzw Kegelradius r und die Mantellinie s des Kegels kennt (Man beachte: Der Zylinder- und Kegelradius sind gleich, da der Zylinder und der Kegel die gleiche Grundfläche haben) ür O ges gilt: O ges = Kegelmantel + Zylindermantel + Grundkreis des Zylinders Und mit ormeln: O ges = π r s + π r h z + π r Kennt man die Werte für r und s, kann man diese Gleichung nach h z umstellen erechnung des Radius r: Der Radius r kann aus dem Kegelvolumen V k = cm und der Kegelhöhe h k = 8,5 cm berechnet werden Es gilt: V k = 1 π r h k Einsetzen von V k = cm und h k = 8,5 cm ergibt: = 1 π r 8,5 = 8,9 r :8,9 5,06 = r 5,01 = r bzw r = 5,01 cm erechnung der Mantellinie s: Die Mantellinie s kann mit dem Satz des Pythagoras im markierten Dreieck berechnet werden Darin gilt: s = r + h k Mit r = 5,01 cm und h k = 8,5 cm folgt: s = 5,1 + 7,5 h k s s = 97,5 s = 9,87 cm r Einsetzen von O ges = 44 cm, r = 5,01 cm und s = 9,87 cm in O ges = π r s + π r h z + π r ergibt: 44 = π 5,01 9,87 + π 5,01 h z + π (5,01) 44 = 155,5 + 1,48 h z + 78,85 44 = 4, + 1,48 h z 4, 109,8 = 1,48 h z :1,48,49 = h z bzw h z =,49 cm Ergebnis: Die Höhe des Zylinders beträgt h z =,49 cm Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht!

Grundfläche haben) ür O ges gilt: O ges = Kegelmantel + Zylindermantel + Grundkreis des Zylinders Und mit ormeln: O ges = π r s + π r h z + π r Kennt man die Werte für r und s, kann man diese

4 009 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 009: Pflichtbereich ufgabe P4: erechnung der Schnittpunkte von Gerade und Parabel: Um die Schnittpunkte zwischen der Geraden und der Parabel berechnen zu können, benötigt man außer der angegebenen Geradengleichung y = x 5 die Gleichung der Parabel Die Gleichung der Normalparabel kann mithilfe des Scheitelpunkts S( ) aufgestellt werden erechnung der Parabelgleichung: Einsetzen der Scheitelkoordinaten von S( ) (d = und c = ) in die Scheitelform y = (x d) + c ergibt: y = (x ) y = x 6x + 9 y = x 6x + 7 Die Schnittpunkte erhält man durch Gleichsetzen beider unktionsgleichungen: x 6x + 7 = x 5 x + 5 x 8x + 1 = 0 p p 1, Mit der p,q-ormel x ± ( ) q = erhält man: x 1 = x = x 1 = 6 x = Das sind die x-koordinaten der beiden Schnittpunkte Die jeweilige y-koordinate erhält man durch Einsetzen in die Geradengleichung oder die Parabelgleichung Einsetzen von x 1 = 6 in y = x 5 ergibt: y 1 = 7 (6 7) Einsetzen von x = in y = x 5 ergibt: y = 1 ( 1) Ergebnis: Die Gerade und die Parabel schneiden sich in den Punkten: (6 7) und ( 1) erechnung des bstands beider Schnittpunkte: Den bstand zweier Punkte (x a y a ) und (x b y b ) berechnet man mit der ormel: = (x b x a) + (y b y a) (siehe Zeichnung) (x b y b ) y b y a (Hinweis: Diese ormel ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras) Mit den Koordinaten von (6 7) und ( 1) ergibt sich für den bstand : (x a y a ) x b x a = ( 6) + ( 1 7) = ( 4) + ( 8) = 80 = 4 5 8,94 LE Ergebnis: Der bstand der Punkte und beträgt ca 8,94 LE Ende der Musterseiten zum Pflichtteil 009 (Die Original-Datei umfasst Seiten) Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 4

Parabelgleichung: Einsetzen der Scheitelkoordinaten von S( ) (d = und c = ) in die Scheitelform y = (x d) + c ergibt: y = (x ) y = x 6x + 9 y = x 6x + 7 Die Schnittpunkte erhält man durch

5 009 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 009: Wahlbereich - ufgabe W1 ufgabe W1a: Lösungsübersicht: Die Länge U kann im Dreieck UT mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn man die Längen T und UT kennt (siehe igur 1) ür die Länge T gilt: T = T Die Länge T wiederum kann mithilfe der Länge KS bestimmt werden, die man im Dreieck KSR berechnen kann (siehe igur ) Denn wegen T = S gilt: T +KS = Die Länge UT kann mithilfe der Länge des Streckenzugs RSTU und den Längen TS und RS berechnet werden Es gilt: UT = 1,7 cm TS RS Die Längen TS und RS können in den entsprechenden rechtwinkligen Dreiecken berechnet werden (siehe igur und ) erechnung der Länge U : Im markierten Dreieck gilt (siehe igur 1): U + T = UT T U = UT T a H R α S Zur erechnung der Länge U benötigt man also die Längen T und UT erechnung der Länge T : ür die Länge T gilt: T = T (siehe igur 1) Die Länge T wiederum kann mithilfe der Länge KS bestimmt werden Wegen T =S gilt: T igur 1 a 6,4 KS T + KS = T = (siehe igur ) K α S Die Länge KS kann man im Dreieck KSR berechnen 6,4 Darin gilt: tan α = KS Mit α = 55,5 folgt: tan 55,5 = 6,4 KS Damit erhält man für T = : T = 1 cm 6,4 KS = 4,40 cm T ür die Länge T = T folgt somit: T = 5,4 cm KS H R igur U U Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 5

gilt: T +KS = Die Länge UT kann mithilfe der Länge des Streckenzugs RSTU und den Längen TS und RS berechnet werden Es gilt: UT = 1,7 cm TS RS Die Längen TS und RS können in den entsprechenden

6 009 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 009: Wahlbereich - ufgabe W1 erechnung der Länge UT : Die Länge UT kann mithilfe der Länge des Streckenzugs RSTU und den Längen TS und RS berechnet werden Es gilt: UT = 1,7 cm TS RS (siehe igur ) a H K R α S Die Längen TS und RS können in den entsprechenden rechtwinkligen Dreiecken berechnet werden 6,4 Im Dreieck KSR gilt: sin α = RS 6,4 Mit α = 55,5 folgt: sin 55,5 = RS = 7,77 cm RS T igur U Die Länge TS kann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck TSK berechnet werden Es gilt: TS = () + KS Mit KS = 4,4 cm folgt: TS = 60, TS = 7,77 cm Damit erhält man für UT = 1,7 cm TS RS : UT = 6,0 cm Durch Einsetzen von UT = 6, cm und T = 5,4 cm in U = UT T erhält man schließlich: U = 10,5 U =,4 cm Ergebnis: Die Länge U ist U =,4 cm Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 6

55,5 folgt: sin 55,5 = RS = 7,77 cm RS T igur U Die Länge TS kann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck TSK berechnet werden Es gilt: TS = () + KS Mit KS = 4,4 cm folgt: TS = 60, TS = 7,77 cm Damit

7 009 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 009: Wahlbereich - ufgabe W1 ufgabe W1b: Lösungsübersicht: ür den Umfang u des Dreiecks gilt: u = e Die Strecke setzt sich aus den Teilstrecken und zusammen Die Längen der Strecken und (mit = ) können im Dreieck in bhängigkeit von e berechnet werden (siehe igur 1) Die Länge kann dann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck in bhängigkeit von e berechnet werden (siehe igur ) erechnung des Umfangs u des Dreiecks in bhängigkeit von e: ür den Umfang u gilt: u = e erechnung der Länge : Es gilt: = + Die Länge kann im Dreieck berechnet werden 0 e 6 Darin gilt: tan 0 = e 6 Mit tan 0 = folgt: igur 1 = e 6 e 6 e 6 = 18 e = teilweises Wurzelziehen: 18 = 9 = e = e = bzw = e Die Länge ist laut ufgabenstellung = Die Länge kann im Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden Es gilt: = (e 6 ) + ( ) Und mit = e erhält man: = (e 6 ) + (e ) = 6e + e = 8e = e 8 teilweises Wurzelziehen: 8 = 4 = = e Wegen = ist = e ür die Strecke = + gilt somit: = e + e = e Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 7

e berechnet werden (siehe igur ) erechnung des Umfangs u des Dreiecks in bhängigkeit von e: ür den Umfang u gilt: u = e 6 + + erechnung der Länge : Es gilt: = + Die Länge kann im Dreieck berechnet

8 009 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 009: Wahlbereich - ufgabe W1 erechnung der Länge : Die Länge kann im Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden (siehe igur ) 0 e 6 Es gilt: = (e 6 ) + (e ) = 6e + 18e e = 4e igur = e 4 teilweises Wurzelziehen: 4 = 4 6 = 6 = e 6 Mit = e und = e 6 erhält man für den Umfang u = e : u = e 6 + e + e 6 u = e 6 + e u = e( 6 + ) u = e( + 6 ) Was zu zeigen war Ende der Musterseiten zum Wahlteil 009 (Die Original-Datei umfasst Seiten) Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 8

e 6 Mit = e und = e 6 erhält man für den Umfang u = e 6 + + : u = e 6 + e + e 6 u = e 6 + e u = e( 6 + ) u = e( + 6 ) Was zu zeigen war Ende

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