Vorlesung HM2 - Master KI Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

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1 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

2 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2

3 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 3

4 Markovketten Markovketten sind ein häufig verwendetes Modell zur Beschreibung von Systemen, deren Verhalten durch einen zufälligen Übergang von einem Systemzustand zu einem anderen Systemzustand gekennzeichnet ist. Bsp. Page Ranking für Suchmaschinen Netz mit 5 Internetseiten und entsprechenden Hyperlinks Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 4

5 Definition: Eine Folge von diskreten Zufallsgrößen heißt stochastische Kette im Zustandsraum, falls Bemerkung: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 5

6 Bsp: Bsp: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 6

7 Wir betrachten das System zu diskreten Zeitpunkten n=1,2,3... Dabei befindet sich das System zu jedem dieser Zeitpunkte in einem der möglichen Zustände i1, i2,... im. Ein möglicher Pfad / Zustandsverlauf kann durch eine Folge von Zuständen beschrieben werden: X(0) = i0, X(1) = i1,... X(n) = in Zur Analyse des Systems ist es wesentlich, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade zu bestimmen. Startet ein Pfad der Länge 1 im Zustand i0 und geht dann über in den Zustand i1, so kann die Wahrscheinlichkeit des Pfades bestimmt werden: Für einen Pfad der Läng 2 gilt: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 7

8 Def.: Eine stochastische Kette heißt Markovkette erster Ordnung, wenn gilt: X(n): zufälliger Zustand, den eine Variable zur Zeit n annimmt E: abzählbarer Zustandsraum pij(n,n+k)=p(x(n+k)=j X(n)=i): Übergangswahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses / Zustandes einer Markovkette erster Ordnung zu irgend einem Zeitpunkt nm+1hängt nur vom Zustand im vorherigen Zeittakt nm ab. Oder: die Zukunft einer Markovkette erster Ordnung hängt nur von der Gegenwart und nicht von der Vergangenheit ab. = Markoveigenschaft Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 8

9 Für eine Markovkette muss also bekannt sein: die Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zustand zu einem anderen Zustand zu den einzelnen Zeitpunkten Wahrscheinlichkeit der Zustände zum Zeitpunkt 0 Def.: Eine Markovkette heißt homogen, falls die Übergangswahrscheinlichkeiten pij(n,n+k) nicht vom Takt n abhängen, also gilt: pij(n,n+k) = pij(0,k) := pij(k) pij(k) wird als k-schritt-übergangswahrscheinlichkeit bezeichnet Für die 1-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeit verwenden wir die Bezeichnung pij(1)=pij Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 9

10 Die Übergangswahrscheinlichkeit einer homogenen Markovkette für einen Zeitschritt können in einer Übergangsmatrix P zusammengefasst werden: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 10

11 Die Übergangswahrscheinlichkeit einer homogenen Markovkette können grafisch als sog. Markov-Graf dargestellt werden: Knoten: Kanten: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 11

12 Bsp1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 12

13 Bsp2 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 13

14 Die Verteilung des Zustandes der Markovkette im Takt n wird als bezeichnet. Die Einzelwahrscheinlichkeiten lassen sich in einem Vektor zusammenfassen: ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X(n). Die Verteilung bezeichnet. von X(0) wird als Anfangsverteilung der Markovkette Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 14

15 Bsp: Eine Leitung hat folgende Zustände: (1) frei (2) besetzt (3) in wartung / nicht verfügbar Wir nehmen an, dass die Leitung ihre Zustände nur taktweise zu Beginn der Zeitpunkte nt = 1,2,3,... ändern kann. Zum Zeitpunkt t=0 ist die Leitung frei. Der Zustandsverlauf sei eine homogene Markovkette: a) Geben Sie die Übergangsmatrix P und die Anfangsverteilung p(0) an. b) p(2)? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 15

16 n p1(n) p2(n) p3(n) n Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 16

17 Es gilt: Satz: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 17

18 Beweis zu 2) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 18

19 Bsp. : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 19

20 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 20

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