Zentraler Grenzwert Satz

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1 Zetraler Grezwert Satz Aufgabe Aufgabe 1 Um ihr Studium zu fiaziere jobbe Sie ebebei als Iterviewer ud befrage bei eier ihrer Missioe zufällig Wahlberechtigte um das Wahlergebis eier bestimmte Partei vorherzusage. Bestimme Sie approximativ, wie viele Wähler Sie befrage müsse, damit Sie sich bei Ihrer Progose mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 0.9 um höchstes 1% (absolut irre? Beutze Sie zur Approximatio de zetrale Grezwertsatz vo de Moivre-Laplace. Aufgabe 2 Die Azahl der Wähler die sie laut der vorherige Aufgabe befrage müsste ist Ihe zu hoch. Wieviele Wähler müsse Sie befrage, damit Sie sich mit Ihrer Progose mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 0.9 um höchstes 2% (Prozetpukte irre? Beutze Sie wieder de zetrale Grezwertsatz zur Approximatio. Aufgabe 3 Als Sie versuche sich i Ihrer Heimatstadt vo Studium ud Job zu erhole, lese sie i der lokale Zeitug eie Bericht zur astehede Gemeideratswahl. Der Bericht beihaltet ebe de übliche Wahlverspreche eie agebliche repräsetative Umfrage zur Wahl, im Kleigedruckte fidet sich der Hiweis das sich Progose mit midestes 99% um höchstes 1% irrt. Aufgrud der Ergebisse der frühre Aufgabe traue Sie dieser Umfrage icht, isbesodere da es i Ihrer Heimatstadt kapp Wahlberechtigte gibt. Wieviele Wähler hätte ma befrage müsse um eie Umfrage mit der obe beschriebe Geauigkeit durchführe zu köe? Aufgabe 4 Jedes Jahr fidet zu Begi des Witersemester eie Computereiführugsverastaltug statt. Aus lagjähriger Erfahrug weiß ma, daß etwa 18 % der agemeldete Kursteilehmer icht zum Kurs erscheie. Ud da jeder Teilehmer eie eigee Recher währed des Kurses braucht köe icht mehr Teilehmer als freie Computer am Kurs teilehme. Isgesamt gibt es zeh Kurstermie mit je 22 Plätze ud i jedem der zwei Fächer, die für diese Kurs i Frage komme, gibt es je 120 Erstsemster. Um die Rechug zu vereifache wird vo eiem große Termi ausgegage, d.h. ei Termi mit 220 Plätze. Bereche Sie mittels Approximatio durch de zetrale Grezwertsatz 1. die Wahrscheilichkeit dafür, daß alle Kursteilehmer die zum Kurs da sid eie Platz fide, we sich für de Kurs alle Erstsemster agemeldet habe. 2. wie viele Amelduge dürfe höchstes ageomme werde, we mit eier Wahrscheilichkeit vo 0.99 alle erscheiede Kursteilehmer i eiem Kurs mit 220 Plätze eie Platz fide solle.

2 Aufgabe 5 Um kapp zwei Kilogramm Brombeermarmelade zu koche braucht ma ugefähr 1000 Brombeere. Aus jahrelager Erfahrug wisse Sie das i eier vo hudert ei Wurm ist. Wie groß ist Wahrscheilichkeit das i de taused Brombeere i höchstes füf ei Wurm ist? Bereche Sie die Wahrscheilichkeit jeweils, 1. exakt, 2. mit der Approximatio durch die Poisso-Verteilug, 3. mit dem Zetrale Grezwertsatz Bestimme Sie auch de jeweilige relative Approximatiosfehler.

3 Lösuge Lösug zu Aufgabe 1 Sei die Zahl der befragte Wahlberechtigte. Sei S die Zahl der Wähler der Partei, da ist S b,p verteilt mit der Wahrscheilichkeit p dafür, daß ei zufällig ausgewählter Wähler für die Partei stimmt. P ( S p P (S p P (S p 0.01 E[S ] = p ( V ar(s = p(1 p = ( mit (1 p = q S = (S p σ = (S E[S] V ar(s P ( 0.01 S p P ( 0.01 S 0.01 Φ( 0.01 Φ( 0.01 = 2Φ( Φ( bzw p(1 p p(1 p = Der Maximalwert vo p(1 p = Lösug zu Aufgabe 2 Sei die Azahl der Wähler, ud S die Zahl der Wähler der Partei. Da ist S biomialverteilt mit eier Wahrscheilichkeit p also B,p. Wobei p die Wahrscheilichkeit dafür ist dass ei zufällig ausgewählter Wähler diese bestimmte Partei wählt. Ud 1 p = q die Wahrscheilichkeit dafür ist dass er eie der adere Partei wählt. Der Erwartugswert ist ES = p für große. Mit de Vorgabe aus der Aufgabe: midestes 0.9 ud max Abweichug ergibt sich folgedes. ES = p S = S p σ = S E[S] V ar(s P ( S p V ars = p(1 p = P ( 0.02 S E[S ] P ( 0.02 S p P ( 0.02 S p P ( 0.02 S 0.02 φ( 0.02 φ( 0.02 = 2φ( = φ( Nach Tabelle: pq mit max pq = Es müsse mideste = 1702 Wähler befragt werde.

4 Lösug zu Aufgabe 3 ES = p V ars = p(1 p = S = S p σ = S E[S] V ar(s P ( S p P ( 0.01 S E[S ] P ( 0.01 S p P ( 0.01 S p P ( 0.01 S 0.01 φ( 0.01 φ( 0.01 = 2φ( = φ( Nach Tabelle: pq mit max pq = Es müsse mideste = Wähler befragt werde. Was hier icht möglich ist da es ur gibt. Lösug zu Aufgabe 4 Die Zahl der Amelduge ist hier 240 (2 120, die Azahl der verfügbare Computer ist m mit m = 220. Ud p ist die Wahrscheilichkeit das eie agemeldete Perso kommt mit p = 0.82, q ist die Wahrscheilichkeit das eie agemeldete Perso icht kommt, d.h. q = 1 p = Da es sich um eie Biomialverteilug hadelt folgt für S, die gesuchte bzw. kritische Azahl der Amelduge. ES = p V ars = a P (0 S m = P ( p S p m p = P ( p S p m p ZGS Φ( m p Φ( p = Φ( Φ( = Φ(3.898 Φ( = Φ( Φ( b P (S 220 = P ( S p 220 p Φ( 220 p 0.99 Φ( ( Φ 1 ( ( D.h. es dürfe höchstes 250 Amelduge ageomme werde.

5 Lösug zu Aufgabe 5 Die Wahrscheilichkeit, eie Beere mit eiem Wurm gepflückt zu habe, ist p = Die Azahl der Beere mit Wurm, bei de 1000 Brombeere ist biomialverteilt mit de Parameter = 1000, p = Daher ist folgedes zu bereche ( B 1000,p (0,... 5 = p k (1 p 1000 k k=0 k Ma erhält mit Hilfe eies Computerprogramms als auf vier Nachkommastelle gerudetes Ergebis die Biomialverteilug lässt sich durch die Poissoverteilug approximiere B 1000,p (0,... 5 P λ (0, Der Erwartugswert ist λ = 1000 p = 10. Daher ist folgedes zu bereche P 1000,p (0,... 5 = 5 k=0 λ λk e k! Als Ergebis erhält ma Der relative Fehler der Approximatio ist = 1.5%. 3. Sei S die Azahl der Brombeere mit Wurm. E(S = p = = 10 V ar(s = = = 9.9 σ := V ar(s ud S := S E(S V ar(s. P (0 S 5 = P ( 0 E(S ZGS σ S 5 E(S ( σ ( φ 0 10 = φ 5 ( φ 10 φ ( 5 10 = φ( 1.59 φ( 3.18 = φ(3.18 φ(1.59 = = Als Ergebis erhält ma Der relative Fehler der Approximatio ist = 16.49% Quelle: Stochastikaufgabe mit Lösuge Mit freudlicher Uterstützug vo: ud