Musterlösung Übung 5

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1 Musterlösung Übung 5 Aufgabe 1: Elektromagnetische Wellen und die Wellengleichung a) Da das Magnetfeld B senkrecht zum elektrischen Feld E und senkrecht zum Wellenvektor k steht ( k E B), zeigt das Magnetfeld in x-richtung, und die entsprechende Wellengleichung für B x lautet ( ) ( ) 2 B x (y, t) = c 2 2 B x (y, t). (1.1) t 2 y 2 b) Man setzt die Funktion in die Differentialgleichung ein und versucht, die Konstanten ω, k, φ und E 0 so zu wählen, dass die Gleichung für beliebige Werte von t und y erfüllt wird. Dabei muss beachtet werden, dass beim Bilden der partiellen Ableitungen 2 / t 2 und 2 / y 2 die jeweils andere Variable konstant gehalten wird. Für E z (y, t) = E 0 sin(ω t + k y + φ) erhält man die ersten und zweiten partielle Abteilungen nach y und t gemäss Daraus folgt die Bedingung E z (y, t) = ω E 0 cos(ω t + k y + φ), t (1.2a) 2 E z (y, t) = ω 2 E t 2 0 sin(ω t + k y + φ) = ω 2 E z (y, t), (1.2b) E z (y, t) = k E 0 cos(ω t + k y + φ), y (1.2c) 2 E z (y, t) = k 2 E y 2 0 sin(ω t + k y + φ) = k 2 E z (y, t). (1.2d) die für alle Orte y und Zeiten t erfüllt sein muss. ω 2 = c 2 k 2 ω = ±c k, (1.3) c) In Abbildung 1-1(a) ist die Funktion E z (y, t = 0, φ = 0) = E 0 sin(k y) dargestellt. Da für die Sinus-Funktion sin (x) = sin (x + 2π) (1.4) gilt, beträgt der örtliche Abstand λ zweier Maxima der Funktion E z (y, t = 0, φ = 0) λ = 2π k. (1.5) Die Grössen k und λ werden als Kreiswellenzahl, beziehungsweise Wellenlänge bezeichnet. Analog wird die Beziehung zwischen dem zeitlichen Abstand T zweier benachbarter Maxima, auch Periode genannt, von der Kreisfrequenz ω hergeleitet. Dazu betrachtet man die Funktion E z (y = 0, t, φ = 0) = E 0 sin(ω t), dargestellt in Abbildung 1-1(b), und erhält Aus der Definition der Frequenz ν folgt nun T = 2π ω. (1.6) ν = 1 T = ω 2π. (1.7) Seite 1 von 6

2 Abbildung 1-1: Darstellung der Funktion E z (y, t) = E 0 sin(ωt + ky + φ) für (a) t = 0 s, φ = 0 und (b) y = 0 m, φ = 0, wobei die Wellenlänge λ sowie die Periode T eingetragen sind. Schliesslich ergibt sich die Beziehung zwischen λ und ν aus ω (1.3) = c k (1.5) = c 2π λ (1.7) = 2π ν (1.8) zu 2π ν = c 2π λ λ = c ν. (1.9) Anmerkung: Die Energie und der Impuls eines Photons sind durch E = ω, (1.10) beziehungsweise p = k (resp. p = k) (1.11) gegeben. Daraus folgt für das Photon die Beziehung E = p c. Seite 2 von 6

3 d) Die SI-Einheiten der aufgelisteten Grössen sind in Tabelle 1.1 gegeben. Tabelle 1.1: SI-Einheiten verschiedener Grössen Grösse Dimension 1 SI-Einheit Basis-SI-Einheiten Kreisfrequenz ω T 1 s 1 s 1 Frequenz ν T 1 Hz s 1 Kreiswellenzahl k L 1 m 1 m 1 Phase φ Zeit t T s s Wellenlänge λ L m m elektrische Feldstärke E L M T 3 I 1 V m 1 m kg s 3 A 1 magnetische Flussdichte B M T 2 I 1 T kg s 2 A 1 Aufgabe 2: Massendefekt a) Bei der Vereinigung der Nukleonen zum Atomkern werden grosse Energiemengen (Kernbindungsenergien) freigesetzt, die aus den anziehenden Kräfte zwischen den Nukleonen stammen. Diese freiwerdende Energie hat nach E = mc 2 (2.1) (mit Energie E, Masse m und Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c) eine Massenverringerung zur Folge, welche als Massendefekt bezeichnet wird und sich aus der Differenz der effektiven Atommasse und der Summe der Massen seiner Bestandteile berechnen lässt. b) 2 1H + -Ionen (Deuteronen) setzen sich aus einem Protonen und einem Neutron zusammen. Der Massendefekt beträgt m2 1 H + = m Proton + m Neutron m2 1 H + = u u u = u. (2.2) Der zusätzliche Massendefekt, der durch die Bindung der Elektronen an den Kern zustande kommt, lässt sich als Differenz zwischen der Masse des Deuteriumatoms und der Summe der Massen des 2 1H + -Kerns und eines Elektronen berechnen: m2 1 H,Elektronen = m2 1 H + + m Elektron m2 1 H = u u u = u. (2.3) Der aus der Bindungsenergie der Elektronen resultierende Massendefekt ist um mehrere Grössenordnungen kleiner als der Massendefekt, der aus der Bindungsenergie des Deuterons 1 Die Dimensionen werden als physikalische Grössen des Basis-SI-Einheiten-Systems aufgeführt. Um Angaben übersichtlich zu halten, werden folgende Symbole verwendet: T = Zeit, L = Länge, M = Masse und I = Stromstärke. Seite 3 von 6

4 herrührt. Da Prozesse, die im Allgemeinen der Chemie zugeordnet werden (Bindungsbildung und -spaltung zwischen Atomen, Ionisierung von Atomen, etc.), ausschliesslich Veränderungen in der Elektronenhülle der Atome darstellen, sind Massendefekte aufgrund chemischer Reaktionen zu vernachlässigen. Das ist die Grundlage für den Massenerhaltungssatz 2 in der Chemie. c) Der Massendefekt eines Atoms mit Massenzahl A und Ladungszahl Z wird allgemein mittels m Atom = Zm Proton + Zm Elektron + (A Z)m Neutron m Atom (2.4) berechnet. Die berechneten Massendefekte, Massendefekte pro Nukleon und die resultierenden Kernbindungsenergien pro Nukleon sind in Tabelle 2.1 zusammengefasst. Zudem ist die Kernbindungsenergie pro Nukleon in Abbildung 2-1 gegen die Gesamtzahl der Nukleonen aufgetragen. Kernbindungsenergie pro Nukleon / MeV Zahl der Nukleonen Abbildung 2-1: Abhängigkeit der Kernbindungsenergie pro Nukleon von der Gesamtnukleonenzahl für einige ausgewählte Nuklide. Der grundlegende Verlauf dieses Zusammenhangs wird bereits aus den neun eingetragenen Punkten deutlich: Die stabilsten Kerne mit der höchsten Kernbindungsenergie pro Nukleon finden sich um A = 56 bei Elementen wie Eisen und Nickel. Für Kerne mit deutlich grösserer Massenzahl nimmt die Kernbindungsenergie pro Nukleon wieder ab. Bei diesen Kernen wird durch Spaltung oder Zerfall Energie frei. Mit Kernen von kleinerer Massenzahl als A = 56 lässt sich durch Fusion Energie gewinnen. Dieser Prozess findet in Sternen statt und Elemente bis zum Eisen werden so durch Fusion in Sternen ausgehend von Wasserstoff gebildet. Schwerere Elemente bis hin zum Uran werden ausschliesslich in endothermen Prozessen, z.b. in Supernovae, gebildet. 2 Brief von M. W. Lomonossov an L. Euler vom 5. Juli 1748, aus Ausgewählte Schriften, Band I, Akademie- Verlag, Berlin, A.-L. de Lavoisier, Œuvre de Lavoisier, Band 1, Traité Élémentaire de Chimie, Imprimerie Impériale, Paris, Seite 4 von 6

5 Atom n p n n n e m/u m/u m n p+n n /u E/MeV η Zerfall 1 H H β 4 He Li O β + 32 P β 56 Fe Sn U α Tabelle 2.1: Massendefekte, Massendefekte pro Nukleon und Kernbindungsenergien pro Nukleon ausgewählter Nuklide. n p, n n, n e stehen für die Anzahl Protonen, Neutronen bzw. Elektronen m aus denen das Nuklid zusammengesetzt ist. m, m, n p+n n, E bzw. η bezeichnen die Masse des Nuklids, den Massendefekt, den Massendefekt pro Nukleon, die dem Massendefekt entsprechende freigesetzte Energiemenge pro Nukleon bzw. das Neutron/Proton-Verhältnis η = (A Z)/Z. Das Neutron/Proton-Verhältnis η = (A Z)/Z ist in der neunten Spalte von Tabelle 2.1 aufgelistet. Kerne mit Z > 83 sind instabil und zerfallen meistens über α-zerfälle. Leichte Kerne mit η > 1 haben zu viele Neutronen und zerfallen meistens über β -Zerfälle. Kerne mit η < 1 haben dagegen zu viele Protonen und zerfallen mehrheitlich über β + -Zerfälle oder durch Elektroneneinfang. d) Die Summen der Massen der Ausgangs- und Produktnuklide sind 2 m2 1 H = u und (2.5) m3 2 He + m1 0 n = u u (2.6) = u. Der Massendefekt beträgt m Fusion = u. (2.7) Aufgabe 3: Kernspaltung a) Das Nuklid X besitzt die Massenzahl A = = 89 und die Ordnungszahl Z = = 36. Damit entspricht X dem Kryptonisotop 89 36Kr. b) Die Summen der Massen der Ausgangs- und Produktnuklide sind m ( U ) + m ( 1 0 n ) = u u (3.1) = u und m ( Ba ) + m ( 89 36Kr ) + 3 m ( 1 0 n ) = u u u (3.2) = u. Der Massendefekt beträgt was einer Energie von m Fission = u, (3.3) E Fission = m Fission c 2 = MeV = J (3.4) Seite 5 von 6

6 entspricht, die während der Kernspaltung freigesetzt wird. Da die in Reaktionen beteiligten Stoffmengen üblicherweise im Bereich von Molen sind, wird häufig die molare Reaktionsenergie verwendet: E mol Fission = m Fission c 2 N A = MeV mol 1 = kj mol 1. (3.5) c) Für jedes zerfallene 235 U laufen jeweils beide Folgereaktionen einmal ab. Deshalb ist die Gesamtenergie, die bei dem Zerfall von 235 U frei wird, die Summe der Energien der Zerfallsreaktion und der Folgereaktionen, also E mol tot = EFission mol + EBa mol + EKr mol = kj mol 1, (3.6) wobei EBa mol und EKr mol den freigesetzen molaren Energien durch die Zerfallsreihen von Barium respektive Krypton entsprechen. Pro 235 U-Isotop sind das d) Die thermische Leistung des Reaktors beträgt E tot = Emol tot = J. (3.7) N A P th = 1 η P Strom = GWh = a J s s = GW, (3.8) s wobei η für den Wirkungsgrad und P Strom für die durchschnittliche elektrische Leistung im Jahr 2014 steht. Die durch Zerfälle in einer Stunde ( t) freigesetzte Energie E th ist demnach Also zerfallen pro Stunde E th = P th t = J. (3.9) n 235 = 235 U-Isotope. Die Masse beträgt demnach E th E mol wobei M 235 die molare Masse des Uranisotops 235 U ist. tot = mol (3.10) m 235 = n 235 M 235 = g, (3.11) e) Die Neutronen werden durch Kollisionen mit Moderatorkernen abgebremst. Folglich ist der Energieverlust der Neutronen pro Stoss am größten, wenn ihr Stosspartner vergleichbare Masse hat. Wirksame Moderatoren sind Substanzen, deren Moleküle Atome möglichst niedriger Masse enthalten. Beispiele hierfür sind Wasser, Graphit und Beryllium. Schweres Wasser (D 2 O) bietet gegenüber H 2 O den Vorteil, dass die Wahrscheinlichkeit eines Neutroneneinfangs erheblich reduziert ist. f) Die relativen Massendefekte betragen m Fusion = u m 0,Fusion u = , (3.12) m Verbrennung m 0,Verbrennung m Fission m 0,Fission = u u = und J ( m s 1 ) 2 1 kg Wir sehen, dass der Massendefekt durch chemische Reaktionen um Grössenordnungen kleiner ist als der Massendefekt der Kernreaktionen. Die relativen Massendefekte von Fission und Fusion sind vergleichbar, obwohl sich die Ausgangssubstanzen kaum mehr unterscheiden könnten. Seite 6 von 6