Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Transkript

1 Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge Kombitorik Zusmmestellug bzw. Aordug vo Elemete Kombitorik mit Berücksichtigug der Reihefolge ohe Berücksichtigug der Reihefolge Permuttioe Vritioe ohe Wiederholug Kombitioe mit Wiederholuge Zufllseperimete ud Ereigisse Kusl-determiierte Eperimete! Zufllseperimete Elemetrereigis ud Ergebisrum Zufllsereigisse ud ihre Verküpfuge Uvereibre ud Ubhägige Ereigisse Whrscheilichkeite Mthemtische Whrscheilichkeit Klssische Whrscheilichkeit Bedigte Whrscheilichkeit Zufllsvrible ud Verteiluge Diskrete Zufllsvrible Stetige Zufllsvrible Frktile, Qutile ud Greze eier Verteilug Mßzhle eier Verteilug Erwrtugswert Vriz ud Stdrdbweichug Permuttioe: Vritioe: Kombitioe: Zusmmestelluge, die lle Elemete eier Mege ethlte Zusmmestelluge vo k Elemete eier Mege vo Elemete mit Berücksichtigug der Reihefolge Zusmmestelluge vo k Elemete eier Mege vo Elemete ohe Berücksichtigug der Reihefolge Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT

2 Permuttioe Vritioe Zusmmestelluge, die lle Elemete eier Mege ethlte ohe Wiederholug Elemete r r, g r, g, b P ' k P ' Permuttioe i' i '!! r!@r!@ÿ@r p! P r = rg gr = rgb rbg grb gbr brg bgr = A, T, G, C: P = 4! = 4 = 4 4 mit Wiederholuge rgb rbg grb gbr brg bgr! = g = r rrb rbr rrb rbr brr brr!/! = Zusmmestelluge vo k Elemete eier Mege vo Elemete mit Berücksichtigug der Reihefolge ohe Wiederholug (Ziehe ohe Zurücklege) Zug V (k) Schüssel: rgb-kugel r g b g b r b r g b g b b g r '! (&k)! () A, T, G, C: V 4 = 4!/! = 4 Triplets mit verschiedee Bse mit Wiederholuge (Ziehe mit Zurücklege) Zug Schüssel: rgb-kugel r g b A ud G Purie, T ud C Pyrimidie: P 4;, '4!/(!@!)'4/4' r g b r g b r g b rgb rgb rgb rgb rgb rgb rgb rgb rgb Ṽ (k) ' k Ṽ () A, T, G, C: 4 '4 '4 Triplets uch mit gleiche Bse Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT

3 Kombitioe Kombitorik - Zusmmefssug Zusmmestelluge vo k Elemete eier Mege vo Elemete ohe Berücksichtigug der Reihefolge ohe Wiederholug (Ziehe ohe Zurücklege) k = Schüssel: rgb-kugel rg rb gb gr br bg ' V () ' P ' C () Art der Zusmmestellug lle Elemete eier Mege Permuttio soste Vritio oder Kombitio Reihefolge berücksichtigt Vritio Reihefolge icht berücksichtigt Kombitio Wiederholuge j oder ei Azhl der Aorduge Aordug Azhl C (k) ' V (k) P k '! (&k)!@k! ' k Permuttio ohe Wiederholug P '! A, T, G, C: C () 4 ' 4 ' 4! (4&)!@! '4 mit Wiederholuge P '! r!@r!@ÿ@r p! mit Wiederholuge (Ziehe mit Zurücklege) k = Schüssel: rgb-kugel Vritio ohe Wiederholug V (k) '! (&k)! (k#) rr gg bb rg rb gb gr br bg mit Wiederholuge Kombitio Ṽ (k) ' k (k> möglich) C (k) ' %k& k ohe Wiederholug C (k) ' k (k#) A, T, G, C: C (5) 4 ' 4%5& 5 ' 8 5 ' 8! 5!@(8&5)! '5 mit Wiederholuge C (k) ' %k& k (k> möglich) Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT

4 Zufllseperimete ud Ereigisse Mthemtische Whrscheilichkeit Kusl-determiierte Eperimete Ergebis eideutig vorhersgbr (Fllzeit eier Kugel) Zufllseperimete Ergebis icht eideutig vorhersgbr (Müzwurf) Ausführug eies Zufllseperimets Ergebisse, Ereigisse Elemetrereigis Ergebis bei eimliger Ausführug eies Zufllseperimets (Kopf, Zhl) Ergebisrum Mege S ller Elemetrereigisse (S = {Kopf, Zhl}) Müze Zufllsereigis (Ereigis) A A ist Teilmege des Ergebisrums S. A tritt ei, we ds eitretede Elemetrereigis zur Teilmege A gehört A = i, A = {Kopf}, A = {Zhl}, A 4 = {Kopf, Zhl} = S Bei Kopf sid die Ereigisse A ud A 4 eigetrete Verküpfug vo Zufllsereigisse A % B = A c B Kopf oder Zhl = S B = A B Kopf ud Zhl = i A & B = A ( B S ohe Zhl = Kopf A = S & A Zhl ist Komplemetärereigis vo Kopf Uvereibre Ereigisse A ud B uvereibr, we B = i Sicheres ud Umögliches Ereigis Ist A = S, d ist A ds sichere Ereigis Ist A = S = i, d ist A ds umögliche Ereigis Aiome. P(A) $ 0. P(S) =. A ud B uvereibr, d ist P(A + B) = P(A) + P(B) 4. Für die Folge A, A,..., A,... vo uvereibre Ereigisse gilt: P(A + A A +...) = P(A ) + P(A ) P(A ) +... Folgeruge. P( A) =! P(A) A ud A sid uvereibr A = i) ud A + A = S = P(S) = P(A + A) = P(A) + P( A). P(A) $ 0 ud P( A) $ 0, lso 0 # P(A) #. Whrscheilichkeit des umögliche Ereigisses ist 0. Whrscheilichkeit des sichere Ereigisses ist. Es gilt jedoch icht, dß ei Ereigis mit der Whrscheilichkeit 0 umöglich eitrete k. Ereigisse mit der Whrscheilichkeit 0 heiße fst umöglich, Ereigisse mit der Whrscheilichkeit heiße fst sicher. 4. Allgemeier Additiosstz P(A + B) = P(A) + P(B)! B) Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT

5 Klssische Whrscheilichkeit Bedigte Whrscheilichkeit GUGE: MUGE: Abzählregel Azhl der güstige uvereibre gleichwhrscheiliche Ereigisse Azhl der mögliche uvereibre gleichwhrscheiliche Ereigisse P(A) ' GUGE MUGE P(Kopf) = / = = 50% P(Zhl) = / = = 50% P(Kopf oder Zhl) = / = = 00% 00 Lose 40 rote 0 blue P(Gewi rot) = 0/40 = 0.5 rot) = 0/00 = 0.0 P(rot) = 40/00 = 0.4 P(Gewi rot)' P(Gewi@rot) ' 0.0 P(rot) 0.4 '0.5 0 Gewilose 0 Niete 0 Gewilose 0 Niete GUA, GUU, GUG, GUC Ali 4 P(Ali) = ' 4 4 ' '0.05'.5% Ṽ () 4 P(er im Lotto) = ' @0&8, lso c. : 4 Mio. P(4er im Lotto) = 4 49 ' @0, lso c. : 000 oder 0.% Whrscheilichkeit für ei Ereigis B uter der Bedigug dß A eigetrete ist: Allgemeier Multipliktiosstz Ubhägige Ereigisse P(B A)' P(A@B) P(A) B) = P(B A) B ubhägig vo A, we B) = P(B) K = K + K P(K ) = / + 4/ = /8 = 0.5 =.5% Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT

6 Zufllsvrible Verteilugsfuktio Eie Zufllsvrible ist eie Fuktio, die jedem Elemetrereigis us Verteilugsfuktio eier Zufllsvrible X: dem Ergebisrum S eie reelle Zhl zuordet. F() = P(X # ) Diskrete Zufllsvrible Zufllsvrible X (Müze) mit de Relistioe: = 0 (Kopf) ud = (Zhl). Adere Zuorduge sid geuso möglich. Zufllsvrible Y (Würfel) mit Relistioe y =, y =, y =, y = 4, 4 y = 5, y =. 5 Zufllsvrible Z (Ferkelzhl) mit der Azhl der Ferkel pro Su ls Relistioe. Es iteressiert z.b. die Whrscheilichkeit, dß eie Su mehr ls 0 Ferkel wirft. Stetige Zufllsvrible Zufllsvrible X (Körpergröße vo Studete): X k jede Wert us eiem bestimmte Itervll ehme. (!4... ] I X < b b X < < X < b b P( < X # b) = P(X # b)! P(X # ) = F(b)! F() F(!4) = 0, F(+4) = Zufllsvrible Y (Milchleistug vo Kühe): 0#y#0000 kg/ Zufllsvrible Z (Überlebeszeit vo Rtte): Es iteressiert z.b. die Whrscheilichkeit, dß eie Rtte höchstes Tge überlebt. Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT

7 Diskrete Zufllsvrible Müzwurf Whrscheilichkeitsfuktio P(X = i) = pi f() ' P(X') ' p i für ' i (i',,ÿ,) 0 sost f().0 F().0 Verteilugsfuktio 0 0 F() ' P(X#) ' ji f() # P(X = Kopf) = P(X = 0) =, P(X = Zhl) = P(X = ) = Stetige Zufllsvrible f() ' für '0, 0 sost F() ' 0 für <0 für 0#< für $ Verteilugsfuktio F() ' P(X#) ' f(t)dt m b P(<X#b) ' F(b)&F() ' m f()d Dichtefuktio oder Whrscheilichkeitsdichte f() ' F ) () Fläche zwische f() ud -Achse vo!4 bis +4 ist. %4 P(<X#%4) ' F(%4)&F() ' F(%4) ' f()d ' m f() / Würfel F() 5/ / / / / Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT

8 Rechteck- oder Gleichverteilug Frktile, Qutile ud Greze eier Verteilug f() b - f() ' b& F() b b für ##b 0 sost F() ' 0 für < & b& für ##b für >b K%-Frktile, K%-Qutile oder K-te Perzetile -Wert, bei dem K% der Fläche zwische der Whrscheilichkeitsdichte (oder der Whrscheilichkeitsfuktio) ud der -Achse erreicht werde K% F( K% ) ' F( &" ) ' m f() K% = -" f()d ' K% ' K 00 ' &" (00 - K )% =" F() K% Normlverteilug K% K% - " - " Greze (Symmetrie um 0) f() F() f() K% = - " "/ "/ - c K% 0 c K% Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT

9 Erwrtugswert oder Mittelwert Vriz ud Stdrdbweichug Diskrete Zufllsvrible E(X) ' µ ' j i ) Würfel: µ'@ %@ %@ %4@ %5@ %@ ' '.5 i' Diskrete Zufllsvrible Würfel: F ' j i' (i&.5) F' F '.9'.7 Vr(X) ' F ' j i' ( i i ) '.5%.5%0.5%0.5%.5%.5 '.9 Stetige Zufllsvrible %4 E(X) ' µ m Gleichverteilug: %4 µ' m b& d' b d' b&m b & Normlverteilug: f() ' (b%)(b&) ' (%b) (b&) Stetige Zufllsvrible Gleichverteilug: b F ' & %b Normlverteilug: %4 Vr(X) ' F ' m (b&) d' b& f() : F F : Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT Zufllsvrible ud Whrscheilichkeitsverteiluge KRAFT