Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
|
|
- Albert Dunkle
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische Informatik nationales Algorithmische Forschungszentrum Methoden in der Helmholtz-Gemeinschaft für schwere Optimierungsprobleme
2 Fortsetzung Vorlesung 9 Programm: Clusteranalyse in Graphen Modularität 2 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
3 Inhalt Einführung 3 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
4 Stetig wachsende Datenflut Schlagwort Big Data in aller Munde Rasantes Wachstum der Menge von (irregulär strukturierten) Daten: Teilchenbeschleuniger, Teleskope: Terabytes / Tag Facebook: 1G+ Mitglieder, 1G+ Aktionen/Tag Web-Graph, Log-Dateien, Smartphone-Aktionen 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
5 Stetig wachsende Datenflut Schlagwort Big Data in aller Munde Rasantes Wachstum der Menge von (irregulär strukturierten) Daten: Teilchenbeschleuniger, Teleskope: Terabytes / Tag Facebook: 1G+ Mitglieder, 1G+ Aktionen/Tag Web-Graph, Log-Dateien, Smartphone-Aktionen Big Data: Nicht nur Graphdaten, aber auch! 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
6 Was ist BIG? Irregulär strukturierte Daten wachsen mit enormer Geschwindigkeit: Facebook: 1G+ Mitglieder, durchschnittlich 130 Freunde, 1G+ neue Inhalte pro Tag Twitter: 1G Tweets pro Woche Web-Graph Finanztransaktionen 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
7 Gesundheitspolitische Erwägungen Epidemien (Grippe,...) sind in sozialen Netzwerken nachvollziehbar Lassen sich (gesundheits)politische Entwicklungen durch Analyse von sozialen Medien vorhersagen? Zu bedenken: Twitter: 1G+ Tweets/Woche Andere Dienste auch relevant Datenschutz Zielkonflikt zwischen Laufzeit und Genauigkeit wordpress.com 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
8 Community Detection Natürliche Gruppen eines Netzwerks identifizieren Komplexität reduzieren: Anwendung teurer Algorithmen nur auf Teile des Netzwerks aber welche? Clusteranalyse (z. B. geometrisch) Daten desselben Clusters sind sich ähnlich Daten verschiedener Cluster sind sich unähnlich 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
9 Community Detection Natürliche Gruppen eines Netzwerks identifizieren Komplexität reduzieren: Anwendung teurer Algorithmen nur auf Teile des Netzwerks aber welche? Clusteranalyse (z. B. geometrisch) Daten desselben Clusters sind sich ähnlich Daten verschiedener Cluster sind sich unähnlich Community Detection Knoten desselben Clusters sind stark miteinander verbunden Knoten verschiedener Cluster sind schwach miteinander verbunden blogspot.com 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
10 Community Detection Problem (Graph Clustering / Community Detection) Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: Clusterung (Partition von V ), die Zielfunktion optimiert Oft: Zielfunktion (ZF) wägt Anteil der internen Kanten, Anteil der externen Kanten und Clustergrößen ab Fast alle (interessanten) ZF sind N P-schwer zu optimieren 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
11 Community Detection Problem (Graph Clustering / Community Detection) Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: Clusterung (Partition von V ), die Zielfunktion optimiert Oft: Zielfunktion (ZF) wägt Anteil der internen Kanten, Anteil der externen Kanten und Clustergrößen ab Fast alle (interessanten) ZF sind N P-schwer zu optimieren Weitere Anwendungen Ähnliche Objekte finden (Gene, Produkte, Personen,...) Verteiltes Rechnen, Speichern Visualisierung 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
12 Zielfunktion Modularität Frage: Wie formalisiert man Ähnlichkeit? 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
13 Zielfunktion Modularität Frage: Wie formalisiert man Ähnlichkeit? Populäre Zielfunktion (wenn auch mit Nachteilen): Modularität (engl. modularity) Man betrachtet die Differenz aus zwei Verhältnissen: Anteil der tatsächlichen Intra-Cluster-Kanten Erwarteter Anteil dieser Kanten in einem Zufallsgraphen mit gleicher Gradfolge ( ( ) ) E(C) q(c) = m v C deg(v) 2 2m C C 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
14 Zielfunktion Modularität Frage: Wie formalisiert man Ähnlichkeit? Populäre Zielfunktion (wenn auch mit Nachteilen): Modularität (engl. modularity) Man betrachtet die Differenz aus zwei Verhältnissen: Anteil der tatsächlichen Intra-Cluster-Kanten Erwarteter Anteil dieser Kanten in einem Zufallsgraphen mit gleicher Gradfolge ( ( ) ) E(C) q(c) = m v C deg(v) 2 2m C C Erklärung: Tafel/Übung! Modularität hat einige bekannte Nachteile, z. B. das Auflösungsproblem (kann man teilweise durch ein Gewichtungsschema beseitigen) 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
15 Modularität Komplexität Optimierung bzgl. Modularität ist streng N P-schwer Problem 1: MODULARITY Gegeben ein Graph G und eine Zahl K, gibt es eine Clusterung C von G, für die q(c) K gilt? 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
16 Modularität Komplexität Optimierung bzgl. Modularität ist streng N P-schwer Problem 1: MODULARITY Gegeben ein Graph G und eine Zahl K, gibt es eine Clusterung C von G, für die q(c) K gilt? Problem 2: 3-PARTITION Seien 3k positive ganze Zahlen a 1,..., a 3k derart gegeben, dass 3k i=1 a i = kb und b/4 < a i < b/2 für eine ganze Zahl b und alle i = 1,..., 3k. Gibt es eine Partition dieser Zahlen in k Mengen derart, dass die Zahlen in jeder Menge in der Summe b ergeben? Beweis in Master-Vorlesung AMNA! 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Einführung
17 Inhalt Einführung 11 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
18 Spektrale Optimierung von Modularität N P-schwer: Was nun? : Globale Methode (Heuristik) Hier: Darstellung für Teilung in 2 Cluster Allgemeines k durch rekursives Vorgehen Setzt voraus, dass k bekannt ist 12 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
19 Spektrale Optimierung von Modularität N P-schwer: Was nun? : Globale Methode (Heuristik) Hier: Darstellung für Teilung in 2 Cluster Allgemeines k durch rekursives Vorgehen Setzt voraus, dass k bekannt ist Gegeben: Schlichter, ungerichteter und zusammenhängender Graph G = (V, E), V = n, mit positiven Kantengewichten Gesucht: 2-Clusterung (V 1, V 2 ), die Modularität maximiert 12 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
20 Das grobe Vorgehen 1. Kodiere Clusterung in Vektoren 2. Kodiere Graphen in einer Matrix 3. Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen 4. Diskretes Problem zu kontinuierlichem Problem relaxieren 5. Kontinuierliches Problem mit Mitteln der linearen Algebra und der Analysis lösen 6. Lösung diskretisieren 13 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
21 Das grobe Vorgehen 1. Kodiere Clusterung in Vektoren 2. Kodiere Graphen in einer Matrix 3. Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen 4. Diskretes Problem zu kontinuierlichem Problem relaxieren 5. Kontinuierliches Problem mit Mitteln der linearen Algebra und der Analysis lösen 6. Lösung diskretisieren 13 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
22 Kodierung von Bipartitionen in Vektoren Sei (V 1, V 2 ) eine 2-Clusterung von V. Wir kodieren diese in x = (x 1,..., x n ) T Z n durch: x i = { 1 vi V 1 +1 v i V 2 Beachten Sie: Normiert mit x 2 2 = n. 14 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
23 Das grobe Vorgehen 1. Kodiere Clusterung in Vektoren 2. Kodiere Graphen in einer Matrix 3. Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen 4. Diskretes Problem zu kontinuierlichem Problem relaxieren 5. Kontinuierliches Problem mit Mitteln der linearen Algebra und der Analysis lösen 6. Lösung diskretisieren 15 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
24 Kodierung des Graphen in einer Matrix Adjazenzmatrix: A = Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
25 Kodierung des Graphen in einer Matrix Adjazenzmatrix: A = Gradmatrix: D = Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
26 Kodierung des Graphen in einer Matrix Definition (Laplace-Matrix) L := D A L = = Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
27 Modularität: Andere Formulierung Beobachtung q(c) lässt sich auch schreiben als: 1 2m ij ( A ij wobei δ das Kronecker-Symbol ist und C(i) der Cluster von Knoten i in C. ) deg(i) deg(j) δ(c(i), C(j)), (1) 2m 18 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
28 Modularitäts-Matrix Definition Sei die Modularitäts-Matrix B definiert als: B ij = A ij deg(i) deg(j) 2m Proposition n j=1 B ij = 0 i q(c) = 1 4m xt Bx mit B = B(G) und x = x(c) 19 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
29 Modularitäts-Matrix Definition Sei die Modularitäts-Matrix B definiert als: B ij = A ij deg(i) deg(j) 2m Proposition n j=1 B ij = 0 i q(c) = 1 4m xt Bx mit B = B(G) und x = x(c) Beweis: Übung! 19 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
30 Das grobe Vorgehen 1. Kodiere Clusterung in Vektoren 2. Kodiere Graphen in einer Matrix 3. Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen 4. Diskretes Problem zu kontinuierlichem Problem relaxieren 5. Kontinuierliches Problem mit Mitteln der linearen Algebra und der Analysis lösen 6. Lösung diskretisieren 20 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
31 Zielfunktion und Nebenbedingungen Maximiere q = 1 4m xt Bx u. d. Nb. x i { 1, 1} i 21 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
32 Zielfunktion und Nebenbedingungen Maximiere q = 1 4m xt Bx u. d. Nb. x i { 1, 1} i Bild des Suchraums: Siehe Tafel! 21 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
33 Das grobe Vorgehen 1. Kodiere Clusterung in Vektoren 2. Kodiere Graphen in einer Matrix 3. Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen 4. Diskretes Problem zu kontinuierlichem Problem relaxieren 5. Kontinuierliches Problem mit Mitteln der linearen Algebra und der Analysis lösen 6. Lösung diskretisieren 22 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
34 Das kontinuierliche Problem Die Ganzzahligkeits-Bedingung wird relaxiert: Maximiere q = 1 4m xt Bx u. d. Nb. x i R i und x T x = n (quadratische Norm) 23 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
35 Das grobe Vorgehen 1. Kodiere Clusterung in Vektoren 2. Kodiere Graphen in einer Matrix 3. Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen 4. Diskretes Problem zu kontinuierlichem Problem relaxieren 5. Kontinuierliches Problem mit Mitteln der linearen Algebra und der Analysis lösen 6. Lösung diskretisieren 24 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
36 Lösen des kontinuierlichen Problems Herleitung des EV-Problems anhand der Ableitung der ZF und Überführung in Lagrange-Optimierung (Details nicht Teil dieser Vorlesung) Schließlich: Berechne Eigenvektor z 1 zum größten Eigenwert von B 25 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
37 Das grobe Vorgehen 1. Kodiere Clusterung in Vektoren 2. Kodiere Graphen in einer Matrix 3. Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen 4. Diskretes Problem zu kontinuierlichem Problem relaxieren 5. Kontinuierliches Problem mit Mitteln der linearen Algebra und der Analysis lösen 6. Lösung diskretisieren 26 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
38 Lösung diskretisieren Kontinuierliche Lösung x = z 1 diskrete Lösung x mit folgenden Eigenschaften: x i {+1, 1} (x soll eine 2-Clusterung kodieren) { 1 xi < 0 x i = +1 x i > 0 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
39 Spektrale Partitionierung Algorithmus Eingabe: G = (V, E) Ausgabe: 2-Clusterung (V 1, V 2 ) von G 1. Konstruiere B(G) 2. Berechne den Eigenvektor z 1 von B(G) 3. Partitioniere Indizes von z 1 in zwei Teile: V 1 := {i z 1 (i) < 0}, V 2 := {i z 1 (i) > 0} 4. Weise die Null-Einträge von z 1 beliebig zu 5. return (V 1, V 2 ) 28 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
40 Diskussion Vorteile: Schnell programmiert (Eigenlöser-Bibliothek vorausgesetzt) Verbreitetes Clustering-Konzept Theoretische Analyse 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
41 Diskussion Vorteile: Schnell programmiert (Eigenlöser-Bibliothek vorausgesetzt) Verbreitetes Clustering-Konzept Theoretische Analyse Nachteile: Laufzeit nicht so gut wie schnelle lokale Verfahren Qualität in der Regel nicht so gut wie Multilevel + lokale Heuristik (Praxis) bzw. LP oder SDP (Theorie) 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
42 Diskussion Vorteile: Schnell programmiert (Eigenlöser-Bibliothek vorausgesetzt) Verbreitetes Clustering-Konzept Theoretische Analyse Nachteile: Laufzeit nicht so gut wie schnelle lokale Verfahren Qualität in der Regel nicht so gut wie Multilevel + lokale Heuristik (Praxis) bzw. LP oder SDP (Theorie) Trotzdem wertvoll: In der Praxis z. B. als Startlösung 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische
MehrDatenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität
Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1 Clustering: Partitioniere Objektmenge in Gruppen(Cluster), so dass sich Objekte in einer Gruppe ähnlich sind und Objekte
MehrVorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME
Vorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME 72 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten für eine Firma, die ein Neubaugebiet ans Netz (Wasser, Strom oder Kabel oder...) anschließt! Ziel: Alle Haushalte ans Netz bringen, dabei
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR
Mehr2. Optimierungsprobleme 6
6 2. Beispiele... 7... 8 2.3 Konvexe Mengen und Funktionen... 9 2.4 Konvexe Optimierungsprobleme... 0 2. Beispiele 7- Ein (NP-)Optimierungsproblem P 0 ist wie folgt definiert Jede Instanz I P 0 hat einen
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik Dozent: Prof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK
Mehr23. November Betweenness Centrality Closeness Centrality. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 108
23. November 2011 Betweenness Centrality Closeness Centrality H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 108 Betweenness Centrality Grundlegende Idee: Ein Knoten ist wichtig, wenn er auf
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrKombinatorische Optimierung Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik
Kombinatorische Optimierung Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK
MehrGraphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik
Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität
MehrTheoretische Überlegungen zur Ausbreitung von Infektionserregern auf Kontaktnetzen. Hartmut Lentz, Maria Kasper, Ansgar Aschfalk und Thomas Selhorst
Theoretische Überlegungen zur Ausbreitung von Infektionserregern auf Kontaktnetzen Hartmut Lentz, Maria Kasper, Ansgar Aschfalk und Thomas Selhorst Netzwerke / Graphen verschiedene Typen von Graphen: einfache
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke: Landes Baden-Württemberg und nationales Algorithmische Forschungszentrum
MehrMinimal spannende Bäume
http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen
MehrAngewandte Informatik
Angewandte Informatik Analyse des Graphs G zur Bestimmung von Parallel- undreihenschaltung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Gewichteter Multigraph Die Adjazenzmatrix eines Graphen eignet sich auch zur Analyse
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 7, 30.11.2011 Henning Meyerhenke
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 7, 30.11.2011 Henning Meyerhenke 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke: Landes Baden-Württemberg und nationales Algorithmische Forschungszentrum
Mehr11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen
11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen Ziel: Wir wollen lokale Extrema von Funktionen f : M R untersuchen, wobei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesungen 5 und 6 Programm
MehrAlgorithmen II Vorlesung am 15.11.2012
Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Mehr16. All Pairs Shortest Path (ASPS)
. All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e
MehrOptimieren unter Nebenbedingungen
Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht
MehrOptimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis
Optimierungsprobleme Instanz eines Optimierungsproblems zulässiger Bereich (meist implizit definiert) Zielfunktion Optimierungsrichtung opt {max, min} Optimierungsproblem Menge von Instanzen meist implizit
MehrEuklidische Distanzmatrizen. Andrei Grecu
Euklidische Distanzmatrizen Andrei Grecu Übersicht Motivation Definition und Problemstellung Algo 1: Semidefinite Programmierung Algo 2: Multidimensional Scaling Algo 3: Spring Embedder Algo 4: Genetischer
MehrWie Google Webseiten bewertet. François Bry
Wie Google Webseiten bewertet François Bry Heu6ge Vorlesung 1. Einleitung 2. Graphen und Matrizen 3. Erste Idee: Ranking als Eigenvektor 4. Fragen: Exisi6ert der Eigenvektor? Usw. 5. Zweite Idee: Die Google
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum
Mehr2. Repräsentationen von Graphen in Computern
2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen
MehrInhaltsverzeichnis. Grundlagen
Grundlagen 1 Logik und Mengen... 1 1.1 Elementare Logik... 1 1.2 Elementare Mengenlehre... 10 1.3 Schaltalgebra... 15 1.3.1 Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen... 21 1.4 Mit dem digitalen Rechenmeister...
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrStefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie
Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Problem: Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? 2 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 1: Einleitung
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 1: Einleitung Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des
MehrINSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS
Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Julian Universität Arz, des Timo LandesBingmann, Baden-Württemberg Sebastian und Schlag nationales
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra
MehrDas Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering
Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren VO Algorithm Engineering für NP-schwierige Professor Dr. Petra Mutzel kombinatorische Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Optimierungsprobleme
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
MehrRouting Algorithmen. Begriffe, Definitionen
Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über
MehrInhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57
Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5
MehrVorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY
Vorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY 101 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten bei einem sozialen Online-Netzwerk. Aus der Netzwerk-Struktur Ihrer Benutzer sollen Sie wichtige Eigenschaften extrahieren. [http://www.fahrschule-vatterodt.de/
MehrBig Data aus Sicht der Algorithmentechnik
Big Data aus Sicht der Algorithmentechnik Parallele Analyse- und Optimierungsmethoden für große Graphen Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke, ITI Antrittsvorlesung, 28. Januar 2013, Fakultät für Informatik,
MehrOptimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413
Optimierung I Dr. Ulf Lorenz F2.413 flulo@upb.de Organisation Dozent: Dr. Ulf Lorenz F2.413 Fürstenallee 11 email: flulo@upb.de WWW: http://www.upb.de/cs/flulo (hier auch aktuelle Infos + Ü-Zettel) Vorlesungen:
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
1 Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2014/15 3. Vorlesung Laufzeitanalyse Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I 2 Recap: Diskutieren Sie mit Ihrer NachbarIn! 1. 2. 3. Was sind
MehrAlgorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund
Mehr9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R
9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R 91 Optimierung ohne Nebenbedingungen Ein Optimum zu suchen heißt, den größten oder den kleinsten Wert zu suchen Wir suchen also ein x R n, sodass
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Knut Sydsaeter Peter HammondJ Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 2., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur zweiten Auflage 19 Kapitel 1 Einführung,
Mehr2. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog Michael Axtmann. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 016/017 Aufgabe
Mehr3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R
3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R 31 Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung heißt eigentlich: Wir suchen ein x R n so, dass f(x ) f(x) für alle x R n (dann heißt x globales Minimum)
Mehr6. Übung zur Linearen Optimierung SS08
6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl
MehrLineares Programmieren
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 03.05.2011 Nachtrag Art Gallery Problem Lässt sich der Triangulierungs-Algorithmus
MehrAusarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme
Universität Hamburg Fachbereich Mathematik Seminar: Proseminar Graphentheorie Dozentin: Haibo Ruan Sommersemester 2011 Ausarbeitung zum Modulabschluss Graphentheorie spannende Bäume, bewertete Graphen,
MehrLineare Gleichungssysteme
Christian Serpé Universität Münster 14. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) 14. September 2011 1 / 56 Gliederung 1 Motivation Beispiele Allgemeines Vorgehen 2 Der Vektorraum R n 3 Lineare
MehrAm Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48
Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009
MehrUniversität des Saarlandes
Universität des Saarlandes FR 6.2 Informatik Prof. Dr. Kurt Mehlhorn WiSe 2015/2016 Übungen zu Ideen der Informatik http://www.mpi-inf.mpg.de/departments/algorithms-complexity/teaching/winter15/ideen/
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?
Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V
MehrChristian Schulz und Johannes Singler
Christian Schulz und Johannes Singler, Prof. Sanders 1 KIT Christian Universität des Schulz Landes Baden-Württemberg und Johannes undsingler: nationales 3. Übung Forschungszentrum Algorithmen in der Helmholtz-Gemeinschaft
Mehr1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren
1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren 1.1 Einführung Beispiel: In einer Fabrik werden n Produkte A 1, A 2,..., A n hergestellt. Dazu werden m Rohstoffe B 1, B 2,..., B m (inklusive Arbeitskräfte und
MehrProbabilistische Analyse von Algorithmen
Lehrstuhl Informatik I Algorithmen & Komplexität RWTH Aachen 27. Mai 2005 Übersicht Einführung 1 Einführung 2 Exkurs: Wahrscheinlichkeitstheorie Borgwardts 3 Idee 4 Formale Beschreibung des s Motivation
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration
MehrDaniel Borchmann. Sommerakademie Görlitz September 2007
Einführung in Semidenite Programmierung Daniel Borchmann Sommerakademie Görlitz 2007 12. September 2007 1 Einleitung Lineare Optimierung Semidenite Optimierung 2 MAX-CUT MAX-BISECTION MAX-2SAT Einleitung
MehrDynamische Programmierung. Problemlösungsstrategie der Informatik
als Problemlösungsstrategie der Informatik und ihre Anwedung in der Diskreten Mathematik und Graphentheorie Fabian Cordt Enisa Metovic Wissenschaftliche Arbeiten und Präsentationen, WS 2010/2011 Gliederung
MehrAlgorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke
Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Steve Göring 13.07.2012 1/18 Gliederung Einleitung Grundlagen Vertex-Cover-Problem Set-Cover-Problem Lösungsalgorithmen
MehrDas Briefträgerproblem
Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................
MehrVorlesungsplan. Von Naïve Bayes zu Bayesischen Netzwerk- Klassifikatoren. Naïve Bayes. Bayesische Netzwerke
Vorlesungsplan 17.10. Einleitung 24.10. Ein- und Ausgabe 31.10. Reformationstag, Einfache Regeln 7.11. Naïve Bayes, Entscheidungsbäume 14.11. Entscheidungsregeln, Assoziationsregeln 21.11. Lineare Modelle,
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014
Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen
MehrGroßes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen
Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Von Professor Dr. Karl Bosch o. Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim und Professor Dr. Uwe Jensen R. Oldenbourg
MehrMathematik anschaulich dargestellt
Peter Dörsam Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften 15. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra
MehrTheoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke
Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008 Prof. Dr. Rainer Lütticke Inhalt der Vorlesung Grundlagen - Mengen, Relationen, Abbildungen/Funktionen - Datenstrukturen - Aussagenlogik Automatentheorie Formale
MehrUnimodularität. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206
Kapitel 1 Unimodularität Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206 Inhalt 1 Unimodularität Total unimodulare Matrizen Inzidenzmatrix Optimierungsprobleme auf Graphen Peter
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
MehrLineare Algebra II 6. Übungsblatt
Lineare Algebra II 6 Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 2011 Prof Dr Kollross 18/19 Mai 2011 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minimalpolynom) Bestimmen Sie das Minimalpolynom der
MehrKürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik
Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus
MehrCustomization (Zuschneiden)
Customization (Zuschneiden) Anpassen der (Graph)Datenstruktur an die Anwendung. I Ziel: schnell, kompakt. I benutze Entwurfsprinzip: make the common case fast I Listen vermeiden Mögliches Problem: Software-Engineering-Alptraum
MehrAlgorithmen für schwierige Optimierungsprobleme Vorlesung für den Bereich Bachelor Informatik
Algorithmen für schwierige Optimierungsprobleme Vorlesung für den Bereich Bachelor Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken
MehrInhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12
Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer
Mehr11. Rekursion, Komplexität von Algorithmen
11. Rekursion, Komplexität von Algorithmen Teil 2 Java-Beispiele: Power1.java Hanoi.java K. Bothe, Institut für Informatik, HU Berlin, GdP, WS 2015/16 Version: 23. Nov. 2015 Anwendung der Rekursion Rekursiv
MehrAnwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin
Anwendungen von Netzwerkfluss Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin 13. 01. 2009 Gliederung Einführung Netzwerk, Fluss und Schnitt Max-Flow-Min-Cut Theorem Algorithmen zum Bestimmen vom
MehrÜbung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität
RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Reidl Ries Rossmanith Sanchez Tönnis WS 2012/13 Übungsblatt 9 10.12.2012 Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Aufgabe T20 Beweisen Sie die
MehrEinführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)
Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff
MehrKapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling
Mehr2.5. VERBINDUNGSNETZWERKE GESTALTUNGSKRITERIEN DER NETZWERKE TOPOLOGIE ALS GRAPH. Vorlesung 5 TOPOLOGIE: DEFINITIONEN : Sei G = (V, E) ein Graph mit:
Vorlesung 5.5. VERBINDUNGSNETZWERKE Kommunikation zwischen den einzelnen Komponenten eines arallelrechners wird i.d.r. über ein Netzwerk organisiert. Dabei unterscheidet man zwei Klassen der Rechner: TOOLOGIE:
MehrWiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
MehrEffiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 10: Lineare Algebra Christian Scheideler WS 2008 19.02.2009 Kapitel 10 1 Überblick Notation Arithmetik auf großen Zahlen (Addition und Multiplikation)
MehrOptimierung für Nichtmathematiker
Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 19.10.2009 Prof. Dr. C. Helmberg, A. Lau Optimierung für Nichtmathematiker Übung 2 Einführung in die Modellierungssprache AMPL 1. Wir betrachten zunächst das Mozartproblem
MehrAnalysis of Crash Simulation Data using Spectral Embedding with Histogram Distances
Analysis of Crash Simulation Data using Spectral Embedding with Histogram Distances Luisa Schwartz Universität Bonn Institut für Numerische Simulation Fraunhofer SCAI 25. September 2014 Luisa Schwartz
MehrModulnummer Modulname Verantwortlicher Dozent. Lineare Algebra und Analytische Geometrie
MN-SEBS-MAT-LAAG (MN-SEGY-MAT-LAAG) (MN-BAWP-MAT-LAAG) Lineare Algebra und Analytische Geometrie Direktor des Instituts für Algebra n Die Studierenden besitzen sichere Kenntnisse und Fähigkeiten insbesondere
MehrKapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman
MehrRanking by Reordering Tobias Joppen
Ranking by Reordering Tobias Joppen 09.07.2014 Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 1 Überblick Einleitung Rank-differential Methode Idee Problemdefinition Beispiel Vereinfachung
MehrOperations Research I
Operations Research I Lineare Programmierung Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Sommersemester 2015 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015
Mehr9. Übung Algorithmen I
INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK 1 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Institut für Theoretische www.kit.edu Informatik Musterlösung
Mehr3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit)
3. Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) Betrachtet wird hier der Fall Θ = (bzw. die Situation u(a, ϑ) bzw. l(a,ϑ) konstant in ϑ Θ für alle a A). Da hier keine Unsicherheit über die Umweltzustände
MehrLiteratur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)
Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,
MehrEinführung in die Volkswirtschaftslehre
Einführung in die Volkswirtschaftslehre Übung 1: Mathematische Analyseinstrumente Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese Bachelor Modul Volkswirtschaftliche Analyse (WS-14-V-03) HT 2009
MehrHeinrich-Heine-Gymnasium Herausforderungen annehmen Haltungen entwickeln Gemeinschaft stärken
Heinrich-Heine-Gymnasium Herausforderungen annehmen Haltungen entwickeln Gemeinschaft stärken Schulinterner Lehrplan Mathematik in der ab dem Schuljahr 2014/15 Eingeführtes Schulbuch: Mathematik Gymnasiale
Mehr