Differentialrechnung. Mathematik W14. Christina Sickinger. Berufsreifeprüfung. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 1 / 79

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Differentialrechnung. Mathematik W14. Christina Sickinger. Berufsreifeprüfung. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 1 / 79"

Transkript

1 Mathematik W14 Christina Sickinger Berufsreifeprüfung v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 1 / 79

2 Die Steigung einer Funktion Wir haben bereits die Steigung einer linearen Funktion kennen gelernt! Eine lineare Funktion hat in jedem Punkt des Definitionsbereichs die gleiche Steigung! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 2 / 79

3 Wir möchten nun die Steigung des Graphen der Funktion f im Punkt P wissen. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 3 / 79 Das Problem Das Problem: Wie kann man die Steigung einer nichtlinearen Funktion angeben? Angenommen wir haben eine Funktion f (x) = 1 4 x 2. Die Steigung dieser Funktion ist nicht für alle Punkte im Definitionsbereich gleich, sie variiert von Punkt zu Punkt.

4 Das Problem Dazu zeichnen wir eine bestimmte Gerade im Punkt P ein, welche die gleiche Steigung hat wie der Graph der Funktion im Punkt P. Diese besondere Gerade nennt man Tangente an die Funktion im Punkt P. Die Tangente ist die beste lineare Näherung für die Funktion f im Punkt P. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 4 / 79

5 Intuitiver Tangentenbegriff Was ist eine Tangente? Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in genau einem Punkt berührt und dabei die gleiche Steigung wie die Kurve hat! Wichtig: Sie berührt die Kurve nur, sie schneidet sie nicht! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 5 / 79

6 Intuitiver Tangentenbegriff Man kann also zwei geometrische Bedingungen formulieren, wie eine Tangente beschaffen sein muss: 1 Die Tangente ist eine Gerade, die mit dem Graphen genau einen Punkt gemeinsam hat. 2 Die Tangente ist eine Gerade, die die Kurve berührt und nicht schneidet. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 6 / 79

7 Bedingung 1 Geometrische Bedingung 1: Eine Tangente ist eine Gerade, die mit dem Graphen genau einen Punkt gemeinsam hat. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 7 / 79

8 Bedingung 1, Probleme Probleme mit der 1. geometrischen Bedingung Die 1. geometrische Bedingung nur einen Punkt gemeinsamïst daher nicht ausreichend für die Definition einer Tangente. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 8 / 79

9 Bedingung 2 Geometrische Bedingung 2: Eine Tangente ist eine Gerade, die die Kurve berührt, aber nicht schneidet Oder anders Ausgedrückt: Die Kurve hat mit der Tangente einen Punkt gemeinsam, und die Kurve (der Graph) liegt auf einer Seite der Tangente. Neues Problem: Auch hier ist eine Gerade gegeben, welche die beiden geometrischen Bedingungen nicht erfüllt, jedoch trotzdem eine Tangente ist. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 9 / 79

10 Bedingung 2 Um die Tangente exakt definieren zu können, müssen wir also immer die Information nutzen, dass die Steigung der Tangente der Steigung der Funktion im Berührpunkt P entspricht! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 10 / 79

11 Zurück zu unserem Problem So nun aber wieder zurück zu unserem Problem. Wir möchten die Steigung des Graphen der Funktion f im Punkt P berechnen. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 11 / 79

12 Zurück zu unserem Problem So nun aber wieder zurück zu unserem Problem. Wir möchten die Steigung des Graphen der Funktion f im Punkt P berechnen. Wir wissen aber: Die Tangente im Punkt P von f ist die Gerade, die die gleiche Steigung wie der Graph der Funktion im Punkt P hat. Folglich ist das Problem äquivalent mit: Finde die Tangente der Funktion f im Punkt P. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 12 / 79

13 Tangente finden I Wie finden wir nun unsere Tangente? Betrachten wir wieder unsere Funktion f (x) = 1 4 x 2. Wir wollen die Tangente im Punkt P berechnen. Dazu setzen wir zuerst einen Hilfspunkt P h auf die Funktion. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 13 / 79

14 Tangente finden II Nun erstellen wir eine Gerade g auf welcher die Punkte P und P h liegen. Eine solche Gerade g haben wir schon kennengelernt. Diese war eine Sekante der Funktion. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 14 / 79

15 Die Steigung dieser Sekante können wir uns mittels des Steigungsdreiecks berechnen!

16 Tangente finden IV Wir berechnen nun die Steigung der Sekante! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 16 / 79

17 Tangente finden V Uh! Ein alter Bekannter taucht auf! Wir haben schon gelernt: Der Differenzenquotient einer Funktion f in [a;b] ist gleich der Steigung der Sekantenfunktion von f in [a;b]! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 17 / 79

18 Tangente finden VI Was passiert nun wenn wir den Abstand x zwischen den Punkten P und P h immer kleiner werden lassen? GeoGebra v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 18 / 79

19 Tangente finden VII Wir müssen also nur x gegen 0 gehen lassen und wir bekommen die Steigung der Tangente im Punkt P. Steigung der Tangente = f (x + x) f (x) lim x 0 x Dies ist aber nichts anderes als der Differentialquotient also die erste Ableitung von f (Erinnerung: h = x x 1 = x). Daraus folgt nun: Die Steigung der Funktion f an der Stelle x ist f (x). v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 19 / 79

20 Tangente finden VII Allgemein gilt: Die Steigung einer Funktion f an der Stelle x ist f (x)! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 20 / 79

21 Tangente finden VIII Unsere theoretische Arbeit soll natürlich nun auch Früchte tragen. Wir berechnen nun ganz einfach die Steigung der Funktion f (x) = 1 4 x 2 im Punkt P = (2, f (2)). Dazu berechnen wir zuerst die erste Ableitung: f (x) = 1 4 2x = 1 2 x Nun müssen wir nur noch unseren Punkt einsetzen: f (2) = = 1. Die Steigung von f für x = 2 ist f (2) = 1. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 21 / 79

22 Tangente finden IX Wir stellen uns jetzt noch die Frage, wie man die Funktionsgleichung der Tangente aufstellen kann. Dazu erinnern wir uns daran, wie eine Tangente beschaffen ist. Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in genau einem Punkt berührt und dabei die gleiche Steigung wie die Kurve hat! Die Tangentenfunktion von f an der Stelle a ist somit jene lineare Funktion g, für die folgende Bedingungen erfüllt sind: g(a) = f (a) g (a) = f (a) v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 22 / 79

23 Tangente finden IX Die Tangentenfunktion von f an der Stelle a ist somit jene lineare Funktion g, für die folgende Bedingungen erfüllt sind: g(a) = f (a) (1) g (a) = f (a) (2) Mit diesen Informationen können wir und nun die Funktionsgleichung der Tangente finden: g(x) = kx + d Die Steigung der Tangente im Punkt a ist gegeben durch: k = g (a) = f (a) (2) Somit können wir bereits schreiben: g(x) = f (a)x + d Jetzt wollen wir noch d finden. Dazu nutzen wir (1) g(a) = f (a) a + d = f (a) d = f (a) f (a) a Somit gilt: g(x) = f (a) x + f (a) f (a) a g(x) = f (a) + f (a) x f (a) a = f (a) + (x a) f (a) v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 23 / 79

24 Tangente finden X Somit können wir nun eine exakte Definition der Tangente angeben: Definition (Tangente) Die Tangentenfunktion von f an der Stelle a ist jene lineare Funktion g, für die gilt: g(a) = f (a) und g (a) = f (a). d.h: g(x) = f (a) + (x a)f (a) Den Graphen von g nennen wir Tangente im Punkt P = (a, f (a)). v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 24 / 79

25 Tangente finden XI Finden wir die Tangentengleichung für das obige Beispiel Sei f (x) = 1 4 x 2. Stellen Sie die Tangentengleichung im Punkt P = (2, f (2)) auf! Wir wissen: g(x) = f (a) + (x a)f (a) Benötigte Werte: f (2) = = 1 f (x) = 1 2 x f (2) = = 1 Somit: g(x) = 1 + (x 2)1 = x 1 Die Steigung dieser Tangente ist k = 1, dies stimmt also mit dem oben errechneten Ergebnis mit der Ableitung überein. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 25 / 79

26 Übung Geben Sie die Steigung der folgenden Funktionen an der Stelle x = 1 an! f (x) = x 3 + 3x 2 + 2x + 4 g(x) = 2x + 2 h(x) = x 2 x i(x) = sin(9x 2 ) j(x) = 3x + 4 v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 26 / 79

27 Übung Lösung f (1) = 11 g (1) = 1 2 h (1) = 2 i (1) = j (1) = 3 v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 27 / 79

28 Monotonie und Steigung Gegeben sei die Funktion f (x) = 1 4 x 2 1. Berechnen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle: x = 4 x = 1 Was fällt Ihnen auf? y = 4 x = 1 x = 0 v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 28 / 79

29 Monotonie und Steigung Lösung f ( 4) = 8 f ( 1) = 2 f (1) = 2 f (4) = 8 Wo wäre die 1. Ableitung noch positiv? Wo wäre sie negativ? GeoGebra v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 29 / 79

30 Monotonie und Steigung Aus den eben gemachten Beobachtungen können wir den Monotoniesatz herleiten: Satz (Monotoniesatz) Sei f : D R R eine differenzierbare Funktion mit a, b D. Dann gilt: f (x) > 0 für alle x ]a, b[ f ist in [a, b] streng monoton wachsend und f (x) < 0 für alle x ]a, b[ f ist in [a, b] streng monoton fallend v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 30 / 79

31 Übung Geben Sie die Intervalle der Funktion an, an denen die erste Ableitung positiv/negativ ist. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 31 / 79

32 Extremstellen Wiederholung Minimum und Maximum Definition (lokales Maximum) Sei D R und f : D R eine Funktion. x 0 D nennt man ein lokales Maximum von f wenn es ein Intervall (a, b) D (das x 0 enthält) gibt, sodass für alle x (a, b) gilt: f (x 0 ) f (x). Definition (lokales Minimum) Sei D R und f : D R eine Funktion. x 0 D nennt man ein lokales Minimum von f wenn es ein Intervall (a, b) D (das x 0 enthält) gibt, sodass für alle x (a, b) gilt: f (x 0 ) f (x). v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 32 / 79

33 Extremstellen Von einem lokalen Maximum spricht man, wenn der Graph links von diesem Punkt streng monoton steigt und rechts davon streng monoton fällt. Von einem lokalen Minimum spricht man, wenn der Graph links von diesem Punkt streng monoton fällt und rechts davon streng monoton steigt. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 33 / 79

34 Extremstellen GeoGebra v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 34 / 79

35 Gegeben sei f (x) = 2x 4 3x 2 1. Berechnen Sie die Steigung der Funktion im Punkt: Was fällt Ihnen auf? 1 x = 3 2 x = 3 2 2

36 Lösung I Zuerst leiten wir die Funktion f (x) = 2x 4 3x 2 1 ab: f (x) = 8x 3 6x Nun können wir unsere Punkte x = 3 2 und x = 3 1 f ( 3 2 ) = 8( = 0 2 f ( 3 2 ) = 8( 3 2 )3 6( 2 )3 6( 3 2 einsetzen: 2 ) = ( 3 3) = 3 2 ) = (3 3) = = 0 Wo würde die 1. Ableitung noch 0 werden? GeoGebra v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 36 / 79

37 Zusammenfassung Wir fassen also zusammen: Bei lokalen Extrempunkten gilt: f (x) = 0 Will man also wissen, wo lokale Extremstellen liegen, muss man die Gleichung f (x) = 0 lösen! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 37 / 79

38 Beispiel Wir haben die Funktion f (x) = 3x 2 + x 1 gegeben. 1 Berechnen Sie die Steigung an den Stellen -1 und 7. 2 Geben Sie lokale Extremstellen der Funktion an. 3 Geben Sie an, ob lokale Minima oder Maxima vorliegen. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 38 / 79

39 Übung Gegeben sei die Funktion f (x) = 2x Berechnen Sie die Steigung der Funktion f an den Stellen -3 und 5 und geben Sie an, ob diese Funktion an dieser Stelle wächst oder fällt. 2 Geben Sie an, wo ein lokales Extremum dieser Funktion liegt. 3 Können Sie angeben, ob ein lokales Minimum oder Maximum vorliegt? v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 39 / 79

40 Übung Wir wissen bereits, dass ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, wenn f (x) = 0 ist. Um zu entscheiden, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, benötigen wir die 2. Ableitung Die 2. Ableitung einer Funktion erhält man, wenn man die 1. Ableitung erneut ableitet. Für die 2. Ableitung der Funktion f schreibt man f (x) Beispiel: 1 f (x) = 2x 4 3x f (x) = 8x 3 6x 3 f (x) = 24x 2 6 v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 40 / 79

41 Zweite Ableitung Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, ob sich eine Kurve im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn dreht, wenn wir uns im Koordinatensystem von links nach rechts bewegen. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 41 / 79

42 konkav und konvex Die linke Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konkav oder rechtsgekrümmt ist. Die rechte Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konvex oder linksgekrümmt ist. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 42 / 79

43 Merksatz Konkav und Konvex Merksatz Konkav/Konvex Konkav ist der Buckel vom Schaf v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 43 / 79

44 Krümmung einer Funktion Krümmung einer Funktion Definition (Konkavität) Für f (x) < 0 nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich ab. Der Graph der Funktion ist also konkav oder rechtsgekrümmt. Definition (Konvexität) Für f (x) > 0 nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich zu. Der Graph der Funktion ist konvex oder linksgekrümmt. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 44 / 79

45 Lokale Minima und Maxima berechnen Problem: Angenommen wir wollen die lokalen Minima und Maxima einer Funktion f berechnen. Wir machen nun einige Beobachtungen mit GeoGebra um zu verstehen, wo ein lokales Minima bzw. Maxima vorliegt: GeoGebra v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 45 / 79

46 Sätze über lokale Extrema Aus den Beobachtungen können wir nun folgende Sätze ableiten Satz Sei f : D R R eine differenzierbare Funktion mit x 0 D. Dann gilt: f (x 0 ) = 0 und f (x) 0 x 0 ist eine lokale Extremstelle. weiters gilt: Satz Sei f : D R R eine differenzierbare Funktion mit x 0 D. Dann gilt: f (x 0 ) = 0 und f (x) > 0 x 0 ist eine lokale Minimumstelle. f (x 0 ) = 0 und f (x) < 0 x 0 ist eine lokale Maximumstelle. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 46 / 79

47 Rezept lokale Extrema Für die Berechnung der Extrempunkte gibt es ein einfaches Rezept: 1 Erste und zweite Ableitung berechnen 2 Nullstellen der ersten Ableitung berechnen 3 Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen ist die zweite Ableitung dann kleiner Null, handelt es sich um ein lokales Maximum ist die zweite Ableitung hingegen größer Null, handelt es sich um einen Tiefpunkt 4 y-koordinaten der Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 47 / 79

48 Übung Mithilfe der Extrema können wir also auch das Monotonieverhalten der Funktion erkennen: Gegeben Sei die Funktion f (x) = x 3 3x Geben Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte an. 2 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. 3 Wo liegen die Nullstellen der Funktion? Wo schneidet der Graph die y Achse? v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 48 / 79

49 Lösung I Geben Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte an 1 Erste und zweite Ableitung berechnen f (x) = 3x 2 3 f (x) = 6x 2 Nullstellen der ersten Ableitung berechnen f (x) = 3x 2 3 = 0 x 1 = 1 x 2 = 1 Wir wissen nun: f ( 1) = 5 und f (1) = 1 sind Kandidaten für Extremstellen! 3 Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen f ( 1) = 6 < 0 Hier liegt ein Maximum vor! f (1) = 6 > 0 Hier liegt ein Minimum vor! 4 y-koordinaten der Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen f ( 1) = 5 lokales Maximum: ( 1, 5) f (1) = 1 lokales Minimum: (1, 1) v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 49 / 79

50 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. Zeichnen wir uns die Extremstellen auf: Ohne viel zu rechnen sieht man sofort, dass im Intervall ( 1, 1) die Funktion streng monoton fallend sein muss. Im Intervall (, 1) ist die Funktion streng mon. wachsend. Im Intervall (1, ) ist die Funktion streng mon. wachsend.

51 Lösung II Man kann das Monotonieverhalten auch anders überprüfen. Man wählt je ein Element der einzelnen Intervalle und setzt dieses in die erste Ableitung f (x) = 3x 2 3 ein. Die Intervalle liefern uns die Extrema mit (, 1), ( 1, 1) und (1, ). Wir wählen die Werte x 1 = 2, x 2 = 0 und x 3 = 2: f ( 2) = 3 ( 2) 2 3 = 9 > 0 f ist in ( ; 1) streng monoton steigend f (0) = 3 < 0 f ist in ( 1; 1) streng monoton fallend f (2) = = 9 > 0 f ist in (1; ) streng monoton steigend v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 51 / 79

52 Lösung III Mit diesem Wissen können wir die Funktion nun skizzieren: v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 52 / 79

53 Rezept für das Monotonieverhalten Wir können somit ein Rezept für das Monotonieverhalten einer Funktion formulieren: 1 Erste und zweite Ableitung berechnen 2 Nullstellen der ersten Ableitung berechnen 3 Diese Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen und ermitteln, ob es sich um Minima oder um Maxima handelt 4 Die Extremwerte liefern uns Intervalle. In diesen Intervallen ändert sich das Monotonieverhalten der Funktion nicht! 5 Ergebnis ermitteln. Dies kann durch Überlegungen der Minima/Maxima erfolgen. Man kann hier auch einen beliebigen Punkt der einzelnen Intervalle wählen und in die erste Ableitung einsetzen. Ist die erste Ableitung in diesem Punkt negativ, so ist die Funktion in diesem Intervall streng monoton fallend, ist sie positiv ist die Funktion in diesem Intervall streng monoton steigend. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 53 / 79

54 Übung I Gegeben Sei die Funktion f (x) = 3x 2. 1 Suchen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte. 2 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. 3 Wo schneidet der Graph die x- bzw. y-achse? v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 54 / 79

55 Lösung I Suchen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte: 1 Erste und zweite Ableitung berechnen f (x) = 6x f (x) = 6 2 Nullstellen der ersten Ableitung berechnen f (x) = 3x 2 3x = 0 x = 0 Wir wissen nun: f (0) = 0 ist ein Kandidat für eine Extremstelle! 3 Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen f (0) = 6 > 0 Hier liegt ein Minimum vor! 4 y-koordinaten der Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen f (0) = 0 lokales Minimum: (0, 0) v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 55 / 79

56 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. Zeichnen wir uns die Extremstelle auf: Daraus folgt sofort: Im Intervall (, 0) ist die Funktion streng monoton fallend, und im Intervall (0, ) ist die Funktion streng monoton steigend. In diesem Fall ist (0, 0) sogar ein globales Minimum.

57 Lösung II Wir untersuchen die Monotonie noch auf die zweite Weise. Die Extrema liefern uns die Intervalle (, 0) und (0, ). Wir wählen aus den Intervallen x 1 = 1 und x 2 = 1 und setzen dies in die erste Ableitung f (x) = 6x ein: f ( 1) = 6 ( 1) = 6 < 0 f ist im Intervall (, 0) streng monoton fallend f (1) = 6 1 = 6 > 0 f ist im Intervall (0, ) streng monoton steigend v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 57 / 79

58 Lösung III Mit diesem Wissen können wir die Funktion nun skizzieren: v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 58 / 79

59 Lösung IV Jetzt müssen wir nur noch die Frage beantworten: Wo schneidet der Graph die x- bzw. y-achse? Man sieht sofort, dass für beide Fragen nur (0, 0) die Antwort sein kann! y-achse: f (0) = 0 Schnittpunkt mit y-achse: (0, 0) x-achse: f (x) = 0 3x 2 = 0 Schnittpunkt mit der x-achse: (0, 0). v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 59 / 79

60 Übung II Gegeben Sei die Funktion f (x) = 1 2 x 3 3x x Suchen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte. 2 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. 3 Wo schneidet der Graph die x- bzw. y-achse? v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 60 / 79

61 Lösung I Suchen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte: 1 Erste und zweite Ableitung berechnen f (x) = 3 2 x 2 6x f (x) = 3x 6 2 Nullstellen der ersten Ableitung berechnen f (x) = 3 2 x 2 6x = 0 x 1 = 1 x 2 = 3 Wir wissen nun: f (1) = 4 und f (3) = 2 sind Kandidaten für Extremstellen! 3 Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen f (1) = 3 < 0 Hier liegt ein Maximum vor! f (3) = 3 > 0 Hier liegt ein Minimum vor! 4 y-koordinaten der Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen f (1) = 4 lokales Maximum: (1, 4) f (3) = 2 lokales Minimum: (3, 2) v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 61 / 79

62 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. Zeichnen wir uns die Extremstellen auf: Ohne viel zu rechnen sieht man sofort, dass im Intervall (1, 3) die Funktion streng monoton fallend sein muss. Im Intervall (, 1) ist die Funktion streng mon. wachsend. Im Intervall (3, ) ist die Funktion streng mon. wachsend.

63 Lösung II Bestätigen wir unsere Beobachtungen rechnerisch. Die Extrema liefern uns die Intervalle ( ; 1), (1, 3) und (3, ). Wir setzen die Werte x 1 = 0, x 2 = 2 und x 3 = 4 in die erste Ableitung f (x) = 3 2 x 2 6x ein: f (0) = 9 2 > 0 f ist in ( ; 1) streng monoton wachsend f (2) = 3 2 < 0 f ist in (1; 3) streng monoton fallend f (4) = 9 2 > 0 f ist in (3; ) streng monoton wachsend v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 63 / 79

64 Lösung III Mit diesem Wissen können wir die Funktion nun skizzieren: v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 64 / 79

65 Lösung IV Jetzt müssen wir nur noch die Frage beantworten: Wo schneidet der Graph die x- bzw. y-achse? Dies wissen wir aber schon wie es geht: y-achse: f (0) = 2 Schnittpunkt mit y-achse: (0, 2) x-achse: f (x) = x 3 3x x + 2 = 0 das lösen wir nun mit dem Solver unseres Taschenrechners und bekommen: Schnittpunkt mit der x-achse: ( 0.36, 0). v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 65 / 79

66 Wiederholung konkav und konvex Krümmung einer Funktion Definition (Konkavität) Für f (x) < 0 nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich ab. Der Graph der Funktion ist also konkav oder rechtsgekrümmt. Definition (Konvexität) Für f (x) > 0 nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich zu. Der Graph der Funktion ist konvex oder linksgekrümmt. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 66 / 79

67 Wiederholung konkav und konvex Merksatz Konkav/Konvex Konkav ist der Buckel vom Schaf v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 67 / 79

68 Beispiel Konkav Beispiel einer rein konkaven Funktion: f (x) = x 2 1 f (x) = x 2 2 f (x) = 2x 3 f (x) = 2 Folglich ist die Funktion f (x) = x 2 immer konkav, da ihre 2. Ableitung immer kleiner als 0 ist. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 68 / 79

69 Beispiel Konvex Beispiel einer rein konvexen Funktion: f (x) = x 2 1 f (x) = x 2 2 f (x) = 2x 3 f (x) = 2 Folglich ist die Funktion f (x) = x 2 immer konvex, da ihre 2. Ableitung immer größer als 0 ist. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 69 / 79

70 Beispiel Konvex UND Konkav I Beispiel einer Funktion, die konkav und konvex ist: f (x) = x 3 x 2. f (x) = x 3 x 2 f (x) = 3x 2 2x f (x) = 6x 2 Wann ist die 2. Ableitung kleiner (bzw. größer) Null? 6x 2 < 0 x < 1 3 Daraus folgt: Für x < 1 3 Für x > 1 3 ist die Funktion konkav. ist die Funktion konvex. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 70 / 79

71 Beispiel Konvex UND Konkav II Um den Übergang von konkav zu konvex zu verdeutlichen, wurde bei x = 1 3 eine gestrichelte Linie eingezeichnet. Dieser Punkt heißt Wendepunkt der Funktion! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 71 / 79

72 Wendepunkte I Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Betrachten wir dies nun wieder anhand unserer GeoGebra Simulation. GeoGebra v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 72 / 79

73 Wendepunkte II Die Beobachtungen führen uns zu folgendem Satz: Satz (Wendepunkte) Sei f : D R R eine differenzierbare Funktion mit x D. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt: f (x) = 0 und f (x) 0 v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 73 / 79

74 Wendepunkte III Für die Berechnung der Wendepunkte gibt es ein einfaches Rezept: 1 Zweite Ableitung berechnen 2 Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen 3 Dritte Ableitung berechnen 4 Die in Schritt 2 berechneten x-werte in die dritte Ableitung einsetzen ist die dritte Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt 5 Die berechneten x-werte in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die y-koordinaten der Wendepunkte zu berechnen. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 74 / 79

75 Beispiel Angenommen wir wollen die Funktion f (x) = x 3 auf Wendepunkte hin untersuchen. 1 Zweite Ableitung berechnen f (x) = 3x 2 f (x) = 6x 2 Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen: f (x) = 6x = 0 x = 0 3 Dritte Ableitung berechnen: f (x) = 6 4 Die in Schritt 2 berechneten x-werte in die dritte Ableitung einsetzen: f (0) = 6 0 im Punkt x = 0 liegt ein Wendepunkt vor! 5 Die berechneten x-werte in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die y-koordinate des Wendepunktes zu berechnen: f (0) = 0 3 = 0 Wendepunkt bei (0, 0) v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 75 / 79

76 Beispiel II Die Funktion besitzt an der Stelle (0, 0) einen Wendepunkt. Im Koordinatensystem ist die Funktion f (x) = x 3 eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert. Für x < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt oder konkav. Für x > 0 ist die Funktion linksgekrümmt oder konvex. Es wird deutlich, dass der Wendepunkt x = 0 der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 76 / 79

77 Übung I Untersuchen Sie die Funktion f (x) = 3 3x + x 3 auf Wendepunkte! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 77 / 79

78 Übung II 1 Zweite Ableitung berechnen f (x) = x 3 3x + 3 f (x) = 6x 2 Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen: f (x) = 6x = 0 x = 0 3 Dritte Ableitung berechnen: f (x) = 6 4 Die in Schritt 2 berechneten x-werte in die dritte Ableitung einsetzen: f (0) = 6 0 im Punkt x = 0 liegt ein Wendepunkt vor! 5 Die berechneten x-werte in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die y-koordinate des Wendepunktes zu berechnen: f (0) = 3 Wendepunkt bei (0, 3) v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 78 / 79

79 Übung II Untersuchen Sie die Funktion f (x) = 2 3 x 3 + 3x 2 + 4x auf Wendepunkte! v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 78 / 79

80 Übung III 1 Zweite Ableitung berechnen f (x) = 2x 2 + 6x + 4 f (x) = 4x Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen: f (x) = 4x + 6 = 0 x = Dritte Ableitung berechnen: f (x) = 4 4 Die in Schritt 2 berechneten x-werte in die dritte Ableitung einsetzen: f ( 3 2 ) = 6 0 im Punkt x = 3 2 liegt ein Wendepunkt vor! 5 Die berechneten x-werte in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die y-koordinate des Wendepunktes zu berechnen: f ( 3 2 ) = 3/2 Wendepunkt bei ( 3 2, 3 2 ) v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 79 / 79

81 Übung III Gegeben Sei f (x) = 1 4 x 3 3x 4. 1 Suchen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte. 2 Wo ist der Graph streng monoton steigend/fallend. 3 Wo schneidet der Graph die x- bzw. y-achse? 4 Berechnen Sie die Wendepunkte 5 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 79 / 79

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der

Mehr

Anwendungen der Differentialrechnung

Anwendungen der Differentialrechnung KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................

Mehr

Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2

Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2 Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 x( x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x( x) < 0 x < 0 oder x > Also ist g auf (0,) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (, ) strengmonotonfallend.außerdemistg

Mehr

Abb lokales Maximum und Minimum

Abb lokales Maximum und Minimum .13 Lokale Extrema, Monotonie und Konvexität Wir kommen nun zu den ersten Anwendungen der Dierentialrechnung. Zwischen den Eigenschaten einer Funktion, dem Verlau des zugehörigen Graphen und den Ableitungen

Mehr

Mathemathik-Prüfungen

Mathemathik-Prüfungen M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie

Mehr

3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte

3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte 166 FUNKTIONSUNTERSUCHUNGEN 3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte Einführung (1) Anschauliche Erklärung des Begriffs Wendepunkt Bei Motorradrennen lässt sich beobachten, wie sich die Motorradfahrer beim

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.

)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x. Analysis Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK (abgeändert). Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x )e ( x ). a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen

Mehr

2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen

2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen 2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen In der Abbildung sehen Sie die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = x 2 und g (x) = _ 1 x 2 4 sowie die Graphen der Ableitungsfunktionen

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung II

Differenzial- und Integralrechnung II Differenzial- und Integralrechnung II Rainer Hauser Dezember 011 1 Einleitung 1.1 Ableitung Die Ableitung einer Funktion f: R R, x f(x) ist definiert als f (x) = df(x) dx = d f(x + h) f(x) f(x) = lim dx

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=

Mehr

Lösungen ==================================================================

Lösungen ================================================================== Lösungen ================================================================== Aufgabe Bestimme f '(x) a) f(x) = e x f '(x) = e x ( ) = 4 e c x b) f(x) = x e x f '(x) = e x ( ) = + e x c) f(x) = 3 e (x+)

Mehr

Lösungen Kapitel A: Funktionen

Lösungen Kapitel A: Funktionen Lösungen Kapitel A: Funktionen Arbeitsblatt 01: Abhängigkeiten entstehen a) Zu Beginn des Tages befinden sich 10 Besucher am Strand. Bis um 4 Uhr nachts haben alle den Strand verlassen. Um 6 Uhr sind bereits

Mehr

Abschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II

Abschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II Analysis NT GS - 0.06.06 - m06_ntalsg_gs.mcd Abschlussaufgabe 006 - Nichttechnik - Analysis II.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fx ( ) mit ID f = ID g = IR. ( ) = x und gx ( ) = fx ( ) +. Zeigen Sie,

Mehr

Abkürzungen & Begriffe

Abkürzungen & Begriffe A Bedeutungen Abkürzungen & Begriffe Abzisse ist ein normaler x-wert [ Ordinate] arcsin, arccos, arctan sind die korrekten Bezeichnungen für: sin -, cos -, tan -. [Die üblichen Bezeichnungen sin -, cos

Mehr

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale

Mehr

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1 b) Stetigkeit Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D Sei a D f heißt stetig in a, falls gilt lim f() = f(a) a f heißt stetig auf D, wenn f in jedem

Mehr

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten . Feststellungsprüfung Nachprüfung 19.0.005 1. Untersuchen Sie die Funktion p ( ) = + 16 auf Monotonie und geben Sie auf Grund dieses Ergebnisses die Lage des Scheitels an. (10. Der Graph einer ganz rationalen

Mehr

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =

Mehr

Musteraufgaben Fachoberschule 2017 Mathematik

Musteraufgaben Fachoberschule 2017 Mathematik Musteraufgaben Fachoberschule 07 Funktionsuntersuchung /8 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 0,05x 0,75x +,x +,8 und dem Definitionsbereich x [0;0]. Der Graph G f der Funktion

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind.

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. Funktionen Station 1 Bestimmung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. m = f(x 2 ) f(x 1 )

Mehr

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag, Lineare Funktionen Aufgabe 1: Welche der folgenden Abbildungen stellen eine Funktion dar? Welche Abbildungen stellen eine lineare Funktion dar? Ermittle für die linearen Funktionen eine Funktionsgleichung.

Mehr

Die Summen- bzw. Differenzregel

Die Summen- bzw. Differenzregel Die Summen- bzw Differenzregel Seite Kapitel mit Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln Level Grundlagen Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Aufgabenblatt (7 Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

Wurzelfunktionen Aufgaben

Wurzelfunktionen Aufgaben Wurzelfunktionen Aufgaben. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = 8 (x k ) kx, 0 x gegeben. a) Untersuchen Sie die Funktion f k auf Nullstellen und Extrema. Ermitteln Sie lim f k(x) sowie für 0

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Kapitel 4-6. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Kapitel 4-6. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Mathematik für Kapitel 4-6 Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Kapitel 4 1. Extremwerte 2. Lokale Optimalpunkte 3. Wendepunkte 2 Kapitel 4.1 EXTREMWERTE 3 Extrempunkte und Extremwerte 4 Strikte

Mehr

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Lernzuflucht 24. November 20 L A TEX M. Neumann Folgende Funktion soll in einer Kurvendiskussion bearbeitet werden: f(x) = x 4 2x 2 ; D = R () Diese Funktion

Mehr

12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben!

12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! 12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September 2008 1. Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! a) Untersuche den Graphen von f(x) auf Standardsymmetrien (Punktsymmetrie

Mehr

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1 Gebrochen rationale Funktion f() = +. Der Graph der Funktion f ist punktsmmetrisch, es gilt: f( ) = ( ) + f() = f( ) = + = + = f(). An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol

Mehr

B.7 Kurzzusammenfassung zum Thema Kurvendiskussion

B.7 Kurzzusammenfassung zum Thema Kurvendiskussion B.7 Kurzzusammenfassung zum Thema Kurvendiskussion B.7.a Übersicht Charakteristische Punkte/Verläufe einer Kurve Eine Funktion bzw. Gleichung wird üblicherweise auf folgende charakteristische Punkte analysiert:

Mehr

Extrempunkte eine Einführung

Extrempunkte eine Einführung Extrempunkte eine Einführung Kurzer Überblick Grundsätzlich ist ein Extrempunkt der entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt sein kann ein Punkt am Graphen einer Funktion, dessen Wert (y- Koordinate)

Mehr

LMU MÜNCHEN. Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2016/17. GRUNDLAGENTUTORIUM 5 - Lösungen. Anmerkung

LMU MÜNCHEN. Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2016/17. GRUNDLAGENTUTORIUM 5 - Lösungen. Anmerkung LMU MÜNCHEN Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2016/17 GRUNDLAGENTUTORIUM 5 - Lösungen Anmerkung Es handelt sich hierbei um eine Musterlösung so wie es von Ihnen in einer Klausur erwartet

Mehr

e-funktionen f(x) = e x2

e-funktionen f(x) = e x2 e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f

Mehr

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV.

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV. LINEARE FUNKTIONEN heißt Anstieg oder Steigung heißt y-achsenabschnitt Graphen linearer Funktionen sind stets Geraden Konstante Funktionen Spezialfall Graphen sind waagerechte Geraden (parallel zur x-achse)

Mehr

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I:

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I: Mathematik LK13 Kursarbeit 1 6.11.14 Musterlösung Aufgabe I: Analysis I 1. Spaß mit natürlichen Eponentialfunktionen Gegeben sind die Funktionen f ()=e ( + ) und g ( )=5 e Untersuchen Sie beide Funktionen

Mehr

5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen

5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen .. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion, Fläche zwischen zwei Schaubildern () Untersuchen Sie f(x) x x und g(x) x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkts sowie

Mehr

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist

Mehr

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1 1.) Zeige, dass die Funktion in der Form f() = a 2 + b +c geschrieben werden kann und gebe a, b und c an. a) f() = ( -5) ( +7) b) f() = ( -1) ( +1) c) f() = 3 ( - 4) 2.) Wie heißen

Mehr

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt.

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt. FrauOelschlägel Mathematik8 Lineare Funktionen Ü Datum 1. Die Punkte A 0 4 und liegen auf der Geraden h. und Q8,5,5 B10 0 liegen auf der Geraden g, die Punkte P 0,5 11 Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichungen

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften W. Kippels 10. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Prinzipielle Vorgehensweise.......................... 2 1.2 Lösungsrezepte................................

Mehr

e x D = R a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an.

e x D = R a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an. Aufgabe 1 2e Gegeben ist die Funktion f mit f() = mit dem Definitionsbereich. e D = R + 9 a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von

Mehr

Einführung in die Differentialrechnung I (MD)

Einführung in die Differentialrechnung I (MD) Betrachte den Graphen von f(x) als Profilkurve eines Berges und laufe ihn von "- nach +" ab. An jedem Punkt des Graphen kannst du die Steigung beschreiben und mit dem Anstieg in der Umgebung vergleichen.

Mehr

1 x x2 3 mit D f = IR. Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie das Symmetrieverhalten von G f.

1 x x2 3 mit D f = IR. Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie das Symmetrieverhalten von G f. Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f( x) x x mit D f = IR. Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen

Mehr

1 Die zweite Ableitung

1 Die zweite Ableitung Schülerbuchseite 5 Lösungen vorläuig und deren Graphen Die zweite Ableitung S. Um den Graphen der Ableitung zu skizzieren, sucht man zuerst die Punkte mit waagrechten Tangenten. so erhält man die Nullstellen

Mehr

2. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

2. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner . Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: AG1.1 Wissen über die Zahlenmengen,,, verständig einsetzen können

Mehr

8 Extremwerte reellwertiger Funktionen

8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R

Mehr

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs (Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs. Ableitungs und Integrationsregeln (Folgende 0 Funktionen sind alles Funktionen aus dem Zentralabitur Grundkurs.) a) f(t) = 0,0t e 0,t b) f(t) = t 3

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................

Mehr

67 Grenzwert einer Funktion f in x 0 x 0 [a, b] D(f)

67 Grenzwert einer Funktion f in x 0 x 0 [a, b] D(f) Grenzwerte Stetigkeit Differentiation einer Funktion (Uneigentliche) Grenzwerte von Zahlenfolgen Nrn. 43 47 67 Grenzwert einer Funktion f in x 0 x 0 [a, b] D(f) Die Zahl x 0 ist also als Grenzwert erreichbar

Mehr

Zusammenfassung und Wiederholung zu Geraden im IR ²

Zusammenfassung und Wiederholung zu Geraden im IR ² Seite 1 von 5 Definition einer Geraden Wir zeichnen mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der linearen Funktion f mit f 0,5 1. Fülle hierzu die Wertetabelle fertig aus: 4 3 1 0 1 3 4 f f4 0,54 1 3...,5...

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus:

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Simulation einer mündlichen Prüfung (Analysis schriftl., affine Geometrie / lineare Algebra mündl.) Das komplette Material finden

Mehr

Herzlich Willkommen. GeoGebra für Anfänger

Herzlich Willkommen. GeoGebra für Anfänger Herzlich Willkommen beim Seminar GeoGebra für Anfänger Ihr Name Viel Erfolg! Inhaltsverzeichnis Viel Erfolg!... 1 Ableitung einer Funktion...2...2...2 Tangenten einer Funktion...3...3...3 Kurvendiskussion...4...4...4

Mehr

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Lehrplan: M 11.1.1 Graphen gebrochen-rationaler Funktionen M 11.1.2 Lokales Differenzieren Passende Kapitel im Schulbuch Fokus Mathematik 11:

Mehr

Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R.

Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R. Aufgabe 1 Zahlenmengen, quadratische Gleichungen Gegeben ist eine quadratische Gleichung a 0 mit a R. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus

Mehr

Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung

Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung Lineare Funktionen Eine kurze Wiederholung Mathematik Einführungsphase Eine lineare Funktion ist zunächst einmal eine Funktion, d.h. eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-wert aus einem Definitionsbereich

Mehr

1. Übungsaufgabe zu Exponentialfunktionen

1. Übungsaufgabe zu Exponentialfunktionen 1. Übungsaufgabe zu Exponentialfunktionen Die folgende Funktion y = f(t) = 8 t e stellt die Konzentration eines Stoffes in einer Flüssigkeit dar. y ist die Konzentration des Stoffes in mg / Liter. t ist

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker

Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Übungsblatt Musterlösung Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Wintersemester 06/7 Aufgabe (Definitionsbereiche) Bestimme

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

Funktionen. 1.1 Wiederholung

Funktionen. 1.1 Wiederholung Technische Zusammenhänge werden meist in Form von Funktionen mathematisch erfasst. Kennt man die Eigenschaften verschiedener Funktionstpen, lässt sich im Anwendungsfall das Arbeiten mit diesen erleichtern.

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr

Erfolg im Mathe-Abi 2014

Erfolg im Mathe-Abi 2014 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi 2014 Schleswig-Holstein Übungsbuch Prüfungsaufgaben mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabensatz... 7 2. Aufgabensatz... 12 3. Aufgabensatz... 17 4. Aufgabensatz...

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

Mathematik. Abiturprüfung Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.

Mathematik. Abiturprüfung Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Mathematik biturprüfung 016 Prüfungsteil rbeitszeit: 90 Minuten ei der earbeitung der ufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten nalysis, Stochastik und Geometrie wählt der

Mehr

F u n k t i o n e n Potenzfunktionen

F u n k t i o n e n Potenzfunktionen F u n k t i o n e n Potenzfunktionen Die Kathedrale von Brasilia steht in der brasilianischen Hauptstadt Brasilia wurde von Oscar Niemeyer (*907 in Rio de Janeiro). Die Kathedrale von Brasilia besteht

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

Übungsaufgaben II zur Klausur 1

Übungsaufgaben II zur Klausur 1 Übungsaufgaben II zur Klausur. Ableitungen 0. Führen Sie für g mit f ( +,9 8 eine vollständige Kurvendiskussion (siehe S. 9f durch. Markieren Sie alle von Ihnen bestimmten Punkte in der abschließenden

Mehr

Fit in Mathe. Mai Klassenstufe 11. Funktionsuntersuchungen. b) c) d) e)

Fit in Mathe. Mai Klassenstufe 11. Funktionsuntersuchungen. b) c) d) e) Thema a) Musterlösungen 1 Funktionsuntersuchungen b) c) d) e) Das Steigungsverhalten von Funktionsgraphen kann mit den Begriffen (1) (streng) monoton steigend / fallend. () rechtsgekrümmt oder konkav bzw.

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben

Mehr

Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen

Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen Unter der Kurvendiskussion einer Funktionsgleichung versteht man die Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften ihres Bildes mit anschließender Zeichnung.

Mehr

Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen

Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Etremstellen-Bedingungen Häufig sind Ableitungsfunktionsterme leichter zu handhaben als die Terme der Ausgangsfunktonen, weil sie niedrigere Eponenten

Mehr

Kapitel 8 Einführung der Integralrechnung über Flächenmaße

Kapitel 8 Einführung der Integralrechnung über Flächenmaße 8. Flächenmaße 8.1 Flächenmaßfunktionen zu nicht negativen Randfunktionen Wir wenden uns einem auf den ersten Blick neuen Thema zu, der Ermittlung des Flächenmaßes A von Flächen A, die vom nicht unterhalb

Mehr

Pflichtteil - Exponentialfunktion

Pflichtteil - Exponentialfunktion Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h()

Mehr

Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen)

Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen) Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen) Beispiel 1 Diskutiere die durch f(x) = x2 3x 4 x + 2 gegebene Funktion f. a) Definitionsbereich: Der Nenner eines Bruches darf nicht gleich

Mehr

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion. Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen 7. Juni 201 *Aufgabe 1. Gegeben seien fx, y = xy 2 8e x+y und P = 1, 2. Der Gradient von f ist genau an der Stelle P Null. a Untersuchen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix,

Mehr

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen Grundlagenwissen: Ableitungen, Flächen unter Kurven, Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte.. Bestimmen Sie die Stammfunktion F() der folgenden Funktionen. Die Konstante C darf weggelassen werden. a) f()

Mehr

Funktionen mehrerer Variabler

Funktionen mehrerer Variabler Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen

Mehr

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion

Mehr

Mathematik für Biologen mathematische Ergänzungen und Beispiele Teil I

Mathematik für Biologen mathematische Ergänzungen und Beispiele Teil I Mathematik für Biologen mathematische Ergänzungen und Beispiele Teil I 1. Mengen und Abbildungen In der Mathematik beschäftigt man sich immer -direkt oder indirekt- mit Mengen. Wir benötigen den Mengenbegriff

Mehr

Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2

Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2 Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die

Mehr

Betragsfunktion 6-E1. Vorkurs, Mathematik

Betragsfunktion 6-E1. Vorkurs, Mathematik Betragsfunktion 6-E1 Betragsfunktionen: Aufgabe 6 a) Zeichnen Sie folgende Betragsfunktionen f (x) = x 2, g (x) = x + 1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich dieser Funktionen. b) Wie

Mehr

Lösungsvorschlag - Zusatzaufgaben (2)

Lösungsvorschlag - Zusatzaufgaben (2) HOCHSCHULE KARLSRUHE Sommersemester 014 Elektrotechnik - Sensorik Übung Mathematik I B.Sc. Paul Schnäbele Lösungsvorschlag - Zusatzaufgaben ) a) x ) fx) = D = R \ { } x + Es liegt keine gängige Symmetrie

Mehr

Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015

Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 05 Serie 4. Finden Sie die lokalen Extrema der Funktionen f : R R auf dem Einheitskreis S = {x, y R : x + y = } und geben Sie an, ob es sich um ein lokales Minimum

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

GFS im Fach Mathematik. Florian Rieger Kl.12

GFS im Fach Mathematik. Florian Rieger Kl.12 file:///d /Refs/_To%20Do/12_09_04/NewtonVerfahren(1).html 27.02.2003 GFS im Fach Mathematik Florian Rieger Kl.12 1. Problemstellung NewtonApproximation Schon bei Polynomen dritter Ordnung versagen alle

Mehr

Die allgemeine Sinusfunktion

Die allgemeine Sinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion 1. Die Tageslänge(Zeitdauer zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang) an einem festen Ort verändert sich im Lauf eines Jahres. Die Graphik zeigt diese Veränderung für München.

Mehr

Ableitung und Steigung. lim h

Ableitung und Steigung. lim h Ableitung und Steigung Aufgabe 1 Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x über den Differentialquotienten. f (x f '(x ) lim h h) f (x h ) (x lim h h) h x x lim h hx h h x h(x lim h h h) lim x h h x

Mehr

1 /41. Abschlussprüfung Fachoberschule 2010, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B

1 /41. Abschlussprüfung Fachoberschule 2010, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B , (Mathematik) / Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x x + x 6x+ ; x. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und begründen Sie Ihre Aussage. /. Untersuchen

Mehr

f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.

f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum. Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit

Mehr

c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende.

c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. VP b) Das Schaubild von hat für 36 genau zwei Wendepunkte. c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. 3. Gegeben ist die Funktionenschar mit

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr