2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

Transkript

1 21 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, dh Y = f (X ) Beispiele: Berechnungen: Y aus X berechnen; zb X = zwei Vektoren, Y = Skalarprodukt Dokument drucken: X = Dokument; Y = Befehle/Daten, die den Drucker dazu bringen, ein Dokument zu drucken Rastern von Grafiken: X = Repräsentation eines Objekts; Y = Farbintensitätswerte von Pixeln Die Art und Weise, wie diese Transformationen durchgeführt werden, ist durch die Programme festgelegt, die vom Prozessor ausgeführt werden: Eingabe X Programm Prozessor Ausgabe Y X und Y sind Datenstrukturen (Skalare, Vektoren, Matrizen oder sonstige Zusammenfassungen), dh Ansammlungen von Daten Als Datentypen werden Zahlen oder Zeichen verwendet 21 Analoge und digitale Darstellung von Werten Digitale Darstellung ) Verwendung von Binärzahlen

2 21 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, dh Y = f (X ) Beispiele: Berechnungen: Y aus X berechnen; zb X = zwei Vektoren, Y = Skalarprodukt Dokument drucken: X = Dokument; Y = Befehle/Daten, die den Drucker dazu bringen, ein Dokument zu drucken Rastern von Grafiken: X = Repräsentation eines Objekts; Y = Farbintensitätswerte von Pixeln Die Art und Weise, wie diese Transformationen durchgeführt werden, ist durch die Programme festgelegt, die vom Prozessor ausgeführt werden: Eingabe X Programm Prozessor Ausgabe Y X und Y sind Datenstrukturen (Skalare, Vektoren, Matrizen oder sonstige Zusammenfassungen), dh Ansammlungen von Daten Als Datentypen werden Zahlen oder Zeichen verwendet 21 Analoge und digitale Darstellung von Werten Digitale Darstellung ) Verwendung von Binärzahlen

3 80 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 22 Festkommazahlen Festkommazahlen sind Zahlen, bei denen das Komma an einer zuvor festgelegten/vereinbarten Stelle steht Vorzeichenlose Festkommazahlen Vorzeichenlose Festkommazahlen haben kein Vorzeichen, dh sie sind stets positiv Der Wert v (v = value) einer vorzeichenlosen Festkommazahl ergibt sich zu: 5+77 v =(a n 1 b n a 1 b 1 + a 0 b 0 ) b i O n ist die Stellenzahl, dh die maximale Menge an Ziffern, mit denen die Zahl dargestellt werden kann b ist die Basis des Zahlensystems, zb 10 für das Dezimalsystem (Ziffern 09) oder 2 für Binärzahlen Ziffern an der Stelle j haben die Wertigkeit b j Die Koffizienten a j sind die Ziffern an den Stellen j Die Werte der Ziffern liegen im Bereich 0(b 1) und geben an, wie oft die Wertigkeit der jeweiligen Stelle zum Wert der Zahl beiträgt Der Wert von i legt die Position des Kommas fest: i =0: Dieser Fall ist der Normalfall: Durch Multiplikation mit b i = b 0 =1 bleibt v = a n 1 b n a 1 b 1 + a 0 b 0 Das Komma steht hinter der Einer-Stelle und wird weggelassen Es werden ganze Zahlen mit den Werten 0, 1,, b n 1 dargestellt i > 0: Durch Multiplikation mit b i können größere Zahlen dargestellt werden, jedoch auf Kosten geringerer Genauigkeit Die Ziffern der Zahl werden um i Stellen nach links geschoben, die frei werdenden Positionen werden mit Nullen aufgefüllt Das Komma wird weggelassen Darstellungsbeispiel einer Festkommazahl für n = 8 und i = 3: xxxxxxxx000 Die Zeichen x stehen dabei jeweils für eine der Ziffern a n 1 a 0 i < 0: Da i < 0, entspricht die Multiplikation mit b i einer Division durch b i, dh das (nach der Einer-Stelle implizit stehende) Komma wird um i Stellen nach links geschoben Die Genauigkeit erhöht sich auf Kosten der größtmöglich darstellbaren Zahl Darstellungsbeispiel für n =8und i = 3: xxxxx,xxx Im folgenden werden nur noch Dezimalzahlen (b = 10) und Binärzahlen (b = 2) betrachtet

4 22 Festkommazahlen 81 Nachfolgender Zahlenring zeigt die Zuordnung von Binär- zu Dezimalzahlen für diese Kodierung: Richtung steigender a%ty ao # % 11 4 Werte Die Darstellung zeigt: Bei Binärwerten tritt ein Überlauf auf, wenn sich der Wert des höherwertigsten Bits, auch MSB (most significant bit) genannt, ändert Die Richtung steigender Werte ist bei beiden Kodierungen gleich; Beispiel: = =

5 n zi zi 82 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Aufgaben Die folgenden Aufgaben betrachten Binärzahlen, dh b =2 a) Welches ist die kleinste darstellbare vorzeichenlose Festkommazahl? : b) Wieviele unterschiedliche vorzeichenlose Festkommazahlen können mit n Bit dargestellt werden? i: xxxxxx c) Geben Sie für i =0den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl in Abhängigkeit von n an d) Geben Sie für n =8und i =2den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an 00 = = ( zn ) zhti =1024 Bit e) Betrachten Sie den Zahlenring Wie kann man einen Überlauf von vorzeichenlosen Zahlen feststellen? Carry : out f) Sind alle Abstände vorzeichenloser Binärzahlen zum nächst kleineren und nächst größeren Nachbarn gleich weit entfernt? Skizzieren Sie für i = 2 und n = 3die entsprechenden Werte auf dem Zahlenstrahl - 4=1020 an Stelle MSBU hat den Well 0 0,25 0,5 On : 1 1,25^5 A :

6 22 Festkommazahlen 83 Im Folgenden gilt i =0 g) Wandeln Sie für n =8folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um Dezimal 0 Binär vorzeichenlos h) Berechnen Sie = x3 im Binärsystem, n = ibelanf ^01^111^ ^1^ gehsuiht 4,375 16,i= -3 i) Berechnen Sie in vorzeicher Binärkodierung, n =8 0^ oj mm625

7 84 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen T j) Berechnen Sie in vorzeichenloser Binärkodierung, n =8-3 k) Wandeln Sie für n = 6 und i = 3 folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um : Dezimal Binär vorzeichenlos 0 0,125 1,75 3,375 5 % NO Orn Orr T l) Geben Sie für n =6und i =3den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an

8 22 Festkommazahlen 85 T m) Wandeln Sie für n = 8 und i = 0 folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um Dezimal Binär vorzeichenlos T n) Wandeln Sie für n = 6 und i = 3 folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um Dezimal Binär vorzeichenlos 0 0,375 7, ,5 17,625

9 86 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen darzustellen: Vorzeichen und Betrag Einer-Komplement Zweier-Komplement Vorzeichen und Betrag Bei dieser Darstellung werden Vorzeichen und Betrag der Zahl separat abgespeichert: Das Vorzeichen wird repräsentiert durch das höherwertigste Bit: Hat das Bit den Wert 0, ist die Zahl positiv, hat das Bit den Wert 1, ist die Zahl negativ Der Betrag der Zahl wird durch die restlichen Bits dargestellt Ob eine Zahl positiv oder negativ ist, kann direkt am MSB abgelesen werden Zur Negation einer Zahl muss nur das höherwertigste Bit geändert werden Ein Problem bei dieser Darstellung ist die doppelte Null: ) ) 0 Nachfolgende Abbildung zeigt für n =4die Zuodnung von Binär- zu Dezimalzahlen Für positive Zahlen ist die Richtung steigender Werte für Binär- und Dezimalzahlen die selbe Für negative Zahlen ist die Richtung jedoch unterschiedlich; Beispiel: = : Bewegung im Uhrzeigersinn = 1 10 : Bewegung gegen den Uhrzeigersinn Ergebnis falsch: =

10 key 22 Festkommazahlen negativ positiv Aufgaben a) Welche Auswirkungen hat es, dass für negative Zahlen die Richtung steigender Werte nicht übereinstimmt? Zahm in Darstellmg n Voaeidun / Beki homers mill unit seller Hardware vorzcidrenlose bearbeikt Werder wie Zahler b) Ist der Wertebereich symmetrisch? Begründung! Jon, da Betray pos idenksch

11 - thr - 2h 88 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen c) Geben Sie den Wertebereich für i =0in Abhängigkeit von n an, 0,0 " -: d) Kodieren Sie für n =8und i =0die folgenden Zahlen binär in der Darstellung Vorzeichen und Betrag On Dezimal Binär Vorzeichen/Betrag 0:01 e) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen in der Darstellung Vorzeichen und Betrag Dezimal -2,25 0 5,5 Binär Vorzeichen/Betrag T f) Kodieren Sie für n =8und i =0die folgenden Zahlen binär in der Darstellung Vorzeichen und Betrag Dezimal Binär Vorzeichen/Betrag

12 22 Festkommazahlen 89 T g) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen in der Darstellung Vorzeichen und Betrag Dezimal Binär Vorzeichen/Betrag -3,75-0,5 7,25

13 90 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Einer-Komplement Bei dieser Darstellung werden zur Negierung einer Zahl alle Bits invertiert Um eine eindeutige Unterscheidung zwischen positiven und negativen Zahlen zu gewährleisten, ist der Betrag der Zahlen auf 2 n 1 1 beschränkt Dadurch kann das Vorzeichen der Zahl wieder direkt am MSB abgelesen werden (0 ) positiv; 1 ) negativ) Der Vorteil dieser Darstellung im Vergleich der Darstellung Vorzeichen und Betrag liegt darin, dass die Kodierung der negativen Zahlen in derselben Richtung erfolgt wie die Kodierung der positiven Zahlen, so dass positive und negative Zahlen auf die gleiche Art und Weise addiert (bzw subtrahiert) werden können negativ positiv

14 - thin 22 Festkommazahlen 91 Aufgaben a) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für i = 0 in Abhängigkeit von n an -0 b) Ist der Wertebereich asymmetrisch?, -10,2 " " -1 nei c) Kodieren Sie für n =8und i =0die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement Dezimal Binär Einer-Kompl ^10101 iuvetiekn ^0^00 d) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen im Einer-Komplement Dezimal Binär Einer-Kompl , invetieren ,

15 92 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen T e) Kodieren Sie für n =8und i =0die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement Dezimal Binär Einer-Kompl T f) Kodieren Sie für n = 6und i = 2 die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement Dezimal Binär Einer-Kompl -3,75-0,5 7,25 g) Zeigen Sie an einem Beispiel, wie sich bei dieser Kodierung zur Addition von Binärzahlen derselbe Algorithmus verwendet lässt wie zur Addition von Dezimalzahlen sowohl bei positiven als auch bei negativen Werten pos : 2^0+3^0 5no =0^01 = vey : -6^0+2^0=-4 > =10112 h) Wann gibt es bei Verwendung der Einer-Komplement-Kodierung Probleme bei der Addition? Doppelte Null : - 2^0+3^0=1^0 7 M =00002

16 22 Festkommazahlen 93 i) Wie könnte man das Problem lösen? Ander Mm z > - hodieruuy 1^0 M^0zc -2^ ^0

17 94 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Zweier-Komplement Beim Zweier-Komplement wird zunächst das Einer-Komplement gebildet und dann noch binär der Wert 1 addiert Auf diese Weise wird die doppelte Null vermieden Der Wertebereich wird asymmetrisch, was jedoch kein Problem darstellt Berechnungen können in dieser Kodierung mit demselben Algorithmus durchgeführt werden wie im Dezimalsystem Aus diesem Grund werden vorzeichenbehaftete Festkomma-Zahlen in der Regel im Zweier-Komplement kodiert : = negativ positiv =belanf Ze kompl - a) Kodieren Sie für n =8und i =0die folgenden Zahlen binär im Zweier-Komplement Dezimal Binär Vorzeichen/Betrag ^101^ ifiueehfunmonon Xi 20 a- 000^0^00 ltberlanfvorzeichenlos

18 22 Festkommazahlen 95 b) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen im Zweier-Komplement Dezimal Binär Vorzeichen/Betrag 00^001-2,25 MOAM 11^ bµomo * 5,5 in T c) Kodieren Sie für n =8und i =0die folgenden Zahlen binär im Zweier-Komplement Dezimal Binär Einer-Kompl T d) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen binär im Zweier- Komplement Dezimal Binär Einer-Kompl -3,75-0,5 7,25

19 Darstellung von Zahlen und Zeichen e) Wie lässt sich ein Überlauf von Zahlen feststellen, die im Zweier-Komplement kodiert sind? post pos hey they = hey = pos f) Berechnen Sie im Zweier-Komplement 53 37= = : = with O ^ ^ A Eaten o ( Y 'jyȧ no )

20 22 Festkommazahlen 97 T g) Berechnen Sie im Zweier-Komplement

21 Darstellung von Zahlen und Zeichen 23 Gleitkommazahlen nach IEEE 754 Durch die fest definierte Kommastelle sind bei Festkommazahlen die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten äquidistant Aus diesem Grund (und aufgrund der endlichen Anzahl an Stellen n) können mit Festkommazahlen nicht gleichzeitig sehr große Zahlen und sehr kleine Zahlen dargestellt werden Bei Gleitkommazahlen ist diese Einschränkung aufgehoben Die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten sind um den Wert 0 herum sehr klein Für große Zahlen werden die Abstände sehr groß, wie in nachstehender Grafik skizziert 0 Erreicht wird diese Eigenschaft dadurch, dass die Position des Kommas nicht festgelegt ist, sondern in der Zahl durch Angabe eines Exponenten e definiert wird Der Exponent legt fest, um wieviel die Kommastelle nach links oder rechts verschoben werden muss Gleitkommazahlen werden wie folgt kodiert: Too s e f Bei 32 Bit breiten Gleitkommazahlen (einfache Genauigkeit) gilt die Aufteilung s = 1 Bit e = 8 Bit f = 23 Bit, bei 64 Bit breiten Gleitkommazahlen (doppelte Genauigkeit) gilt die Aufteilung s = 1 Bit e = 11 Bit :esohieblh f = 52 Bit Als Wert ergibt sich für für normalisierte Gleitkommazahlen (Normalfall) v =( 1) s 1,f 2 e K, für de-normalisierte Gleitkommazahlen (Spezialfall) v =( 1) s 0,f 2 1 K :P na he bei 0, wicht na he bei 1

22 23 Gleitkommazahlen nach IEEE Die Konstante K hat bei einfacher Genauigkeit (32 Bit) den Wert K = 127, bei doppelter Genauigkeit (64 Bit) den Wert K = 1023 Eine Gleitkommazahl gilt als normalisiert, wenn beim Exponenten e weder alle Bits gesetzt noch alle Bits gelöscht sind, dh 0 < e < 255 bei 32 Bit 0 < e < 2047 bei 64 Bit Eine denormalisierte Gleitkommazahl liegt vor, wenn e =0und gleichzeitig f > 0 Spezialfälle: 0: e =0 f =0 ±1: s: +1 )0; 1 ) 1 e: alle Bits gesetzt ) 255 bei 32 Bit, 2047 bei 64 Bit f: alle Bits 0 NaN (Not a Number) e: alle Bits gesetzt ) 255 bei 32 Bit, 2047 bei 64 Bit f: > 0

23 100 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Diese Seite ist absichtlich leer

24 23 Gleitkommazahlen nach IEEE Diese Seite ist absichtlich leer

25 102 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Aufgaben Format von Gleitkommazahlen a) Geben Sie das Format von 32 Bit und 64 Bit Gleitkommazahlen an ^0^1 sl e 1 f ze : e 8Bit@3ZBitMBi7ac64M7fiZ3152BitEyn b) Wie berechnet sich der Wert einer 32 bzw 64 Bit breiten normalisierten Gleitkommazahl aus ihrem Bitmuster? Geben Sie den Wert der Konstanten K an! j 27/1023 c) In welchem Bereich liegt e bei normalisierter Zahldarstellung? 3?Bit : Ocec Bit : O<e< 2047 d) Wie wird die Zahl 00 dargestellt in Bezug auf s, e and f? s=e=f=o

26 fnjs zn 23 Gleitkommazahlen nach IEEE e) Was ist eine denormalisierte Gleitkommazahl, wie wird sie kodiert und wie berechnet sich ihr Wert? 01 f e = 0, 1>0 - K f) Welchen Nutzen haben denormalisierte Gleitkommazahlen? Darskllen von Zahler uahe bei 0 ganz g) Wie kodiert man die Gleitkommazahl unendlich? e : alk Bib s : +1 a gesekt f: h) Mit welchen Werten von e und f wird ausgesagt, dass es sich um keine Zahl (NaN = not a number) handelt? f : alk Bib qsekt i) Geben Sie ein Beispiel an, wie es zu einem Ergebnis kommen kann, das keine Zahl ist : a eo

27 104 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Rechnen mit Gleitkommazahlen a) Kodieren Sie 3,625 und 13,5 als 32 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein 3675 : M,1On=nMO1 f e- K e- k - 1+4=1-1^ ,5 : 1^01,1=1,nom 'se- k e - - z 130 s 3,625: 13,5: O

28 23 Gleitkommazahlen nach IEEE b) Berechnen Sie 3, ,5 im Binärsystem bei Verwendung einer 32 Bit Gleitkommakodierung Expownkn an passers : 3,62 fihrendelausn, Ono ei% %omoxg ,5*8000^090% o , walisieoen =) exp = exp :O M ^-00^ ( von uoiehskrfeik ) 4 Bitmuster des Ergebnisses: ^

29 106 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen c) Bestimmen Sie aus dem Ergebnis-Bitmuster das Ergebnis der Addition 3, ,5 T d) Kodieren Sie 1,75 und 5,125 als 64 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein 1,75 5,125

30 23 Gleitkommazahlen nach IEEE T e) Berechnen Sie 1,75 + 5,125 im Binärsystem bei Verwendung einer 64 Bit Gleitkommakodierung Bitmuster des Ergebnisses:

31 108 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen T f) Bestimmen Sie aus dem Ergebnis-Bitmuster das Ergebnis der Addition 1,75 + 5,125