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Nadine Reuter
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1 Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Wahlteil Analysis 7 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 6 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 6

2 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten, Integrale berechnen, Eponentialgleichung, Differenzialrechnung Analytische Geometrie: Gleichungssysteme, Lage zwischen Gerade und Ebene, Abstandsberechnungen Aufgabe : Die Funktion f mit f() = sin() muss mit der Quotientenregel abgeleitet werden Mit u() = sin() und v() = erhält man: u () = cos() und v () = Durch Einsetzen in die Formel f () = u' () v() u() v'() v() folgt: f () = f () = cos() sin() cos() sin() Aufgabe : Es ist: ( ) 4 d = ( ) 5 5 = ( ) =, Aufgabe : Lösung der Gleichung 4e + 6e 4 = : Die Substitution u = e führt auf die Gleichung 4u + 6u 4 = Mit der Formel u, = b ± b a 4ac erhält man die Lösungen: u =,5 und u = Zur Berechnung der gesuchten -Werte muss man diese Lösungen jeweils in die Gleichung e = u einsetzen (Rücksubstitution) und nach auflösen: Mit u =,5 erhält man: e =,5 = ln,5 Mit u = gibt es keine weitere Lösung Ergebnis: Die Gleichung 4e + 6e 4 = hat die Lösung = ln,5 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

3 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 4: a) Wie das Schaubild von g aus dem Schaubild von f hervorgeht: Zunächst spiegelt man das Schaubild von f an der -Achse Die entsprechende Funktionsgleichung lautet dann f () = e Anschließend spiegelt man das Schaubild von f an der y-achse Die entsprechende Funktionsgleichung lautet f () = e Und schließlich verschiebt man das Schaubild von f noch um LE in y-achsenrichtung und erhält so das Schaubild von g mit g() = e + b) Nachweis, dass sich die Schaubilder von g und f in P( ) berühren: Wenn sich die Schaubilder von f und g im Punkt P( ) berühren sollen, muss gelten: (I) f() = g(), (II) f () = g () und (III) f() = Mit f () = e und g () = e erhält man: (I) f() = g(): e = e + = + = ; wahre Aussage (II) f () = g (): e = e = ; wahre Aussage (III) f() = e = ; das ist die y-koordinate von P Aufgabe 5: Begründung der Aussagen: () Es ist f() = F () Da die Funktionswerte von f im Intervall positiv sind, ist die Steigung von F in diesem Intervall auch positiv Also ist F monoton wachsend 4 y Schaubild von f () Da f im Intervall,5,5 drei Stellen mit der Steigung m = hat, muss f drei Nullstellen haben () Es gilt: f' () d = [f()] = f() f() = = (Hinweise: Die Werte f() = und f() = können im Schaubild von f abgelesen werden Man beachte: Die Stammfunktion von f ist f) (4) Da bei = die Steigung von f null ist, muss das Schaubild von f durch den Punkt O( ) gehen Dieser Punkt ist nun deshalb ein Hochpunkt von f und kein Tiefpunkt, weil die Steigungen von f in unmittelbarer Nähe links und rechts der Stelle = jeweils negativ sind Das heißt, dass die Funktionswerte von f in unmittelbarer Nähe von O( ) ebenfalls negativ sein müssen Das Schaubild von f muss demnach in O( ) einen Hochpunkt haben (vgl Zeichnung) y Hochpunkt von f' O Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

4 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 6: Lösung des Gleichungssystems: Zunächst muss das Gleichungssystem auf Stufenform gebracht werden (Gauss-Verfahren) (I) 5 + = 7 (II) 5 = (III) + = (IV) 5 + = 7 (V) = (I) + (II): 4 = 4 (VI) = (I) + 5 (III): + = (VII) 5 + = 7 (VIII) 4 = 4 (IX) = (V) + (VI): = Aus Gleichung (IX) folgt, dass es unendlich viele Lösungen für gibt: = t, mit t IR Einsetzen von = t in Gleichung (VIII) ergibt: 4t = 4 = t Einsetzen von = t und = t in Gleichung (VII) ergibt: 5 + t t = t = 7 + 5t 5 = 5 + 5t :( 5) = t Die Lösungsmenge ist also: IL = { ( t ; t ; t) mit t IR} Deutung der Lösungsmenge: Die drei Gleichungen des Gleichungssystems können als Koordinatengleichungen dreier Ebenen betrachtet werden Die Lösungsmenge ist dann die Schnittgerade der drei Ebenen Die Punkte der Schnittgeraden werden von der Lösungsmenge beschrieben: P t ( t t t) Die Gleichung der Schnittgeraden ist somit g: = + t Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 4

5 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 7: a) Nachweis, dass E und g parallel zueinander sind: Möglichkeit : Berechnung der Schnittmenge zwischen E und g Die Schnittmenge zwischen E und g kann leicht mit der Koordinatengleichung von E berechnet werden Mit dem Normalenvektor n = lautet die Koordinatengleichung E: + 4 = d 4 Den Wert für d erhält man durch Einsetzen des Ebenenpunkts A( 4 ) zu d = = Einsetzen der Koordinaten der Geradenpunkte P t (7 + t 5 4t 7 + t) in die Koordinatengleichung E: + 4 = ergibt: (7 + t) + 5 4t 4 ( 7 + t) = 56 + t + 5 4t + 4t = = falsche Aussage! Somit haben E und g keine gemeinsamen Punkte Das heißt, die Gerade g muss parallel zur Ebene E verlaufen; was zu zeigen war Möglichkeit : Vergleich des Normalenvektors von E mit dem Richtungsvektor von g Der Normalenvektor der Ebene ist n = 4 Der Richtungsvektor der Gerade ist v = 4 Das Skalarprodukt zwischen n und v ist: 4 = 4 4 = 4 Somit stehen beide Vektoren senkrecht aufeinander Die Gerade g verläuft also entweder parallel zur Ebene E oder sie liegt in der Ebene E (siehe Zeichnung) Um zu prüfen, ob die Gerade g wirklich parallel zu E verläuft, muss man noch eine Punktprobe mit einem Geradenpunkt machen; zum Beispiel mit P(7 5 7): Einsetzen der Koordinaten von P(7 5 7) in E: + 4 = ergibt: = falsche Aussage! v n v g g' E Somit muss g parallel zu E verlaufen; was zu zeigen war b) Berechnung des Abstands von E zu g: Den Abstand von g zu E bestimmt man durch Einsetzen der Koordinaten des Geradenpunkts P(7 5 7) in die Hesse-Normalenform der Ebene E: ( 7) Man erhält d g-e = = = ( 4) Ergebnis: Die Ebene E hat von der Gerade g den Abstand d = LE bzw + 4 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 5

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