Anwendungen komplexer Zahlen

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1 nwendungen komplexer Zahlen rbeitsblatt Dieser bschnitt eignet sich für fächerübergreifenden Unterricht mit Physik. In der Physik, speziell der Elektrotechnik, ist das chnen mit komplexen Zahlen ein wichtiges Hilfsmittel. Vorwissen Verwende die Euler sche Formel für e i x, um den gegebenen usdruck in der Form a + b i anzugeben. i π_ a) e π_ b) e i 3 c) e i 0 d) e i ω t Gleichmäßige Kreisbewegungen bzw. harmonische Schwingungen können durch die Sinusfunktion beschrieben werden. () Wiederhole die folgenden Begriffe mithilfe der beiden Diagramme. Die mplitude ist die größte Entfernung vom Ruhezustand. Die Schwingungsdauer T (in Sekunden) ist die Zeit für eine Umdrehung bzw. Schwingung. Die Frequenz f (in Hertz) ist die nzahl der Umdrehungen bzw. Schwingungen pro Sekunde. Die Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) ω ist gleich dem Winkel (im Bogenmaß), der pro Sekunde überstrichen wird. ω t entspricht dem Winkel φ, den der Zeiger in der Kreisbewegung zum Zeitpunkt t überstrichen hat. Die Phasenverschiebung φ 0 gibt an, um welchen Winkel die Position zum Zeitpunkt t = 0 von der Ruhelage abweicht bzw. um welchen Winkel eine Schwingung gegenüber einer anderen verschoben ist. () Bestimme mithilfe der beiden Diagramme für die Schwingungen s und s die Werte für, T, f, ω sowie die Phasenverschiebung φ 0 von s gegenüber s. s Sekunden φ 0 s Sekunden 06 Verlag E. DRNER, Wien Dimensionen Mathematik 7

2 Neues Wissen Überlagerung von harmonischen Schwingungen Bewegt sich ein Punkt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) ω auf einem Kreis mit dem Radius, so können die Koordinaten des Punktes mit ( cos (ω t) sin (ω t) ) angegeben werden. Du kannst den Endpunkt dieses rotierenden Zeigers z als komplexe Zahl auffassen und in der Form z = ( cos (ω t) + i sin (ω t) ) = e i ω t angeben. Der aginärteil von z beschreibt eine harmonische Schwingung, also eine Sinusfunktion in bhängigkeit von ω t. In der Schwingungslehre wird die Überlagerung von Schwingungen untersucht, die beispielsweise auftreten, wenn zwei Steine ins Wasser geworfen oder mehrere Töne gleichzeitig erzeugt werden. Eine grundlegende Frage dabei lautet: Wie überlagern sich zwei Schwingungen z und z mit derselben Winkelgeschwindigkeit ω, aber mit unterschiedlichen mplituden und und mit einer Phasenverschiebung φ? Mathematisch bedeutet Überlagerung, dass die uslenkungen zu jedem Zeitpunkt addiert werden. n Wasser- und Schallwellen kann diese Überlagerung beobachtet werden, da sich diese Wellen in ihrer mplitude je nach Phasenverschiebung verstärken, abschwächen oder auch auslöschen. Es kann dadurch zu Wasserwellen von großer Höhe und zu Schallwellen von großer Lautstärke kommen. ωt z 3 Zeigerdiagramm Welche Schwingung ergibt sich, wenn zwei Schwingungen z und z überlagert werden, wobei z gegenüber z die Phasenverschiebung φ hat? z (t) = e i ω t ( R) z (t) = e i ( ω t + φ ) ( R) z φ z 3 Für die Summe gilt: (t) = z (t) + z (t) = e i ω t + ei (ω t + φ) = e i ω t + e i ω t e i φ = ( + e i φ ) e i ω t = e i α Nach den Potenzregeln umformen Herausheben und zusammenfassen, sodass der Klammerausdruck einer neuen komplexen mplitude entspricht. 06 Verlag E. DRNER, Wien Dimensionen Mathematik 7

3 Die Grafik zeigt, dass die neue Schwingung eine von und verschiedene mplitude hat. uch die Phasenverschiebung gegenüber z verändert sich. Die mplitude der neuen Schwingung entspricht dem Betrag der komplexen Zahl. = + e i φ = + cos (φ) + i sin (φ) = ( + cos (φ)) + i ( sin (φ)) alteil aginärteil = ( + cos (φ)) + ( sin (φ)) = + cos (φ) + cos (φ) + sin (φ) = + cos (φ) + z z φ Die Phasenverschiebung α der neuen Schwingung gegenüber z kannst du mit folgenden Überlegungen ermitteln: () nalog zur Vektoraddition erhältst du, indem du die Zeiger z und z addierst. () Betrachte in der Skizze die beiden rechtwinkligen Dreiecke. z z sin(φ) sin(φ) φ α z φ cos(φ) 3 blauen rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel φ sind die Längen der beiden Katheten sin (φ) bzw. cos (φ). φ α z cos(φ) 3 roten rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel α beträgt die Länge der Gegenkathete ebenfalls sin (φ). Die Länge der nkathete setzt sich aus und cos (φ) zusammen. sin (φ) + cos (φ) Für die Phasenverschiebung α von folgt daher: tan (α) = Für die Summe gilt: z (t) + z (t) = e i ω t = e i α e i ω t = ei (ω t + α) Das Ergebnis zeigt dir, dass die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen z (t) = e i ω t und z (t) = e i ( ω t + φ ) mit derselben (Kreis-)Frequenz ω wieder eine harmonische Schwingung mit (Kreis-) Frequenz ω, der mplitude und der Phasenverschiebung α ergibt. Beispiel: Welche mplitude und welche Phasenverschiebung hat die Überlagerung der beiden Schwingungen z (t) = sin (ω t) und z (t) =,5 sin ( ω t + π_ 3 )? Lösung: =,5 sin ( π 3 ) +,5 cos ( π_ 3 ) +,5 cos ( π_ 3 ) +,5 3,04; α = arctan 0,44 rad = 5,3 Die Summe von z und z kann durch (t) = 3,04 e i 0,44 e i ω t = 3,04 e i (ω t + 0,44) angegeben werden. Die mplitude beträgt 3,04 und die Phasenverschiebung gegenüber z hat 0,44 rad. 06 Verlag E. DRNER, Wien Dimensionen Mathematik 7 3

4 3 Bearbeite die ufgaben und Fragestellungen im dynamischen rbeitsblatt www Überlagerung von harmonischen Schwingungen. Komplexe Wechselstromwiderstände In einem Wechselstromkreis mit den Bauteilen Widerstand R, Kondensator C und Spule L stellt sich die Stromstärke I mit einer bestimmten Phasenverschiebung φ zur angelegten Spannung U ein. U ~ R C L Zur Beschreibung dieses Sachverhalts erweisen sich komplexe Zahlen als besonders geeignet. 4 rbeitsblatt www Komplexe Wechselstromwiderstände wird die Verwendung von komplexen Zahlen in der Elektrotechnik erklärt. Bearbeite das rbeitsblatt und löse die dort gestellten ufgaben. Themenvorschlag für eine vorwissenschaftliche rbeit Logarithmus und Potenzen von komplexen Zahlen Herleitung der Cardano-Formel zum Lösen von algebraischen Gleichungen 3. Grades lgebraische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten Komplexe Wechselstromwiderstände (fächerübergreifend mit Physik) ufgaben 5 Berechne die mplitude und die Phasenverschiebung für die Überlagerung der beiden Schwingungen. a) z (t) =, sin (ω t) und z (t) =,3 sin ( ω t π_ ) b) z (t) =,6 sin (ω t) und z (t) =,4 sin (ω t + π) c) z (t) = 3 sin (ω t) und z (t) = sin ( ω t + π_ 4 ) d) z (t) =,5 sin (ω t) und z (t) =,5 sin ( ω t π_ ) e) z (t) =,5 sin (ω t) und z (t) =,5 sin (ω t + π) f) z (t) =,5 sin (ω t) und z (t) =,5 sin (ω t) 06 Verlag E. DRNER, Wien Dimensionen Mathematik 7 4

5 nwendungen komplexer Zahlen rbeitsblatt Lösungen a) _ + _ 3 i b) _ + _ 3 i c) d) cos (ω t) + i sin (ω t) () () Schwingung s : =, T = 4 s, f = _ 4 Hz, ω = π_ rad/s; Schwingung s : =,5, T = 4 s, f = _ 4 Hz, ω = π_ rad/s; φ 0 = 3 π_ 4 3 Nutze das dynamische rbeitsblatt www Überlagerung von harmonischen Schwingungen zur Kontrolle. a) = 3,04; α 0,44 rad b) Die mplituden werden addiert. c) = d) () mplituden werden verdoppelt, Schwingung wird verstärkt (konstruktive Interferenz) () Schwingungen löschen sich gegenseitig aus (destruktive Interferenz) 4 Nutze das dynamische rbeitsblatt www Komplexe Wechselstromwiderstände zur Kontrolle. 5 a),59; α 5,9 rad (,09 rad) b) = 0,; α = 0 rad c) 3,77; α 0,9 rad d) 3,54; α 5,50 rad ( 0,79 rad) e) 0; α = 0 rad f) = 4; α = 0 rad 06 Verlag E. DRNER, Wien Dimensionen Mathematik 7 5