Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen

Transkript

1 Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 11, Friedhelm Meyer auf der Heide 1

2 Randomisierte Algorithmen Friedhelm Meyer auf der Heide 2

3 Beispiel: Quicksort Eingabe: S={s 1,,s n } N. Algo: Falls n=0, gebe leere Folge aus; falls n=1, gebe s 1 aus. Sonst: - erzeuge Splitelement s i, i {1,,n} - vergleiche jedes s j, j i, mit s i, erzeuge dadurch S 1 ={s j, s j < s i } und S 2 ={s j, s j > s i } - sortiere S 1 und S 2 rekursiv - gebe sortiertes S 1, s i, sortiertes S 2 aus. Laufzeit: Hängt von Schritt 1 (Wahl des Splitelements) ab. Best case: Splitelement ist immer der Median Laufzeit O(n logn) Worst case: Splitelement ist immer das Minimum Laufzeit O(n 2 ) Average case: Splitelement ist s 1, Eingabe ist zufällige Permutation Durchschnittliche Laufzeit O(n logn) Friedhelm Meyer auf der Heide 3

4 Ist durchschnittliche Laufzeit ein interessantes Kostenmaß? Beispiel: Quicksort mit s 1 als Split-Element. Absteigend sortierte Folge ist ein schlechtester Fall. Ist sie eine typische Eingabe? Friedhelm Meyer auf der Heide 4

5 Ist durchschnittliche Laufzeit ein interessantes Kostenmaß? Bester Fall Durchschnitt schlechtester Fall Wo liegt der typische Fall? Hängt von Problem und Algorithmus ab, ist meist nicht formal beschreibbar. Friedhelm Meyer auf der Heide 5

6 Randomisierte Algorithmen Beispiel: Quicksort mit zufälligem s i als Split-Element. Es gibt keine guten oder schlechten Eingaben mehr!!! Es gibt nur noch gute oder schlechte Ergebnisse der Zufallsexperimente im Algorithmus! Wir betrachten Algorithmen, die Zufallszahlen benutzen, und davon den Verlauf der Rechnung abhängig machen, sog. probabilistische oder randomisierte Algorithmen. Friedhelm Meyer auf der Heide 6

7 Beispiel: Randomisierter Quicksort Eingabe: S={s 1,,s n } N. Algo: Falls n=0, gebe leere Folge aus; falls n=1, gebe s 1 aus. Sonst: - erzeuge zufälliges Splitelement s i, i {1,,n} - vergleiche jedes s j, j i, mit s i, erzeuge dadurch S 1 ={s j, s j < s i } und S 2 ={s j, s j > s i } - sortiere S 1 und S 2 rekursiv - gebe sortiertes S 1, s i, sortiertes S 2 aus. Laufzeit (Wir messen die Zahl der Vergleiche): Die Laufzeit hängt von der Ergebnissen der Zufallsexperimente ab. Wir berechnen die erwartete Laufzeit bei zufälliger Wahl der Splitelemente Friedhelm Meyer auf der Heide 7

8 Erwartete Laufzeit des randomisierten Quicksort Wir müssen E(X i,j ) berechnen. Wir müssen p i,j berechnen. Friedhelm Meyer auf der Heide 8

9 Erwartete Laufzeit des randomisierten Quicksort Wann wird S (i) mit S (j) verglichen? Es gibt nur eine Chance: Betrachte die Situation, wenn Quicksort für eine Teilmenge S aufgerufen wird mit 1. S (i), S (j) S (und damit {S (i), S (i+1),, S (j-1), S (j) } S ) 2. Als Splitelement wird ein S (r) gewählt mit i r j. Nur in dieser Situation kann S (i) mit S (j) verglichen werden. Wann passiert das wirklich? Genau wenn r=i oder r=j gilt! Also: Friedhelm Meyer auf der Heide 9

10 Erwartete Laufzeit des randomisierten Quicksort Friedhelm Meyer auf der Heide 10

11 Erwartete Laufzeit des randomisierten Quicksort Friedhelm Meyer auf der Heide 11

12 Ein elementares Beispiel Best case: 1, worst case: n-k+1 Best case: 1 worst case, (tritt mit W keit 0 ein) erwartete Zahl von Versuchen: (n-k)/k +1 Friedhelm Meyer auf der Heide 12

13 Ein elementares Beispiel Friedhelm Meyer auf der Heide 13

14 Thank you for your attention! Friedhelm Meyer auf der Heide Heinz Nixdorf Institute & Computer Science Department Fürstenallee Paderborn, Germany Tel.: +49 (0) 52 51/ Fax: +49 (0) 52 51/ Friedhelm Meyer auf der Heide 14