Die Modulgruppe SL(2, Z)

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1 Die Modulgruppe SL(2, Z Corina Mettler Universität Freiburg (Schweiz 18.Oktober 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Die Modulgruppe Möbiustransformationen Die Modulgruppe Γ Fundamentalbereich

2 1 Einleitung ln diesem Seminar werden wir uns mit geometrischen, algebraischen und kombinatorischen Eigenschaften der Gruppe der Möbiustransformationen der oberen Halbebene beschäftigen. 2 Die Modulgruppe 2.1 Möbiustransformationen Die Möbiustransformation ist eine konforme Abbildung, die wir schon in der Analysis III kennengelernt haben: f : C C f(z az + b cz + d mit a,b,c,d C und ad bc 0, C C { }. f wäre auf z d c definiert. Wir haben also ( d f und f( a c c und z nicht Die resultierende rationale Funktion heisst Möbiustransformation. Sie ist überall auf C analytisch mit Ausnahme eines einfachen Pols auf z d c. Bei z haben wir keinen Pol, ausser wenn c 0 ist. Theorem 1 Möbiustransformationen bilden einen Kreis oder eine Gerade auf einen Kreis oder eine Gerade ab. Beweis Wir betrachten die Gleichung Az z + Bz + B z + C 0 wo A und C reell. Die Punkte auf Kreisen erfüllen diese Gleichung wenn A 0, und die Punkten auf Geraden erfüllen diese Gleichung wenn A 0. Wenn wir nun w f(z setzen, mit f(z az+b cz+d. Also für z, setzen wir f 1 (w in die Kreisgleichung ein, dann bekommen wir wieder eine Gleichung der Form A w w + B w + B w + C 0 mit A und C reell. Was zeigt, dass Möbiustransformationen Kreise oder Geraden auf Kreise oder Geraden abbilden. Wir können annehmen, dass ad bc 1, weil wenn wir die Koeffizienten a,b,c,d einer Möbiustransformation mit einer Konstante 0 multiplizieren, bleibt sie unverändert. Jede Möbiustransformation kann in Form einer 2 2-Matrix dargestellt werden ( a b A 1

3 Dann ist det A ad bc 1. Wir machen keinen Unterschied in der Schreibweise. Wenn ( a b A schreiben wir z az + b cz + d Wenn A und B Matrizen sind, welche den Möbiustransformationen f und g entsprechen, dann ist es einfach zu zeigen, dass das Matrizenprodukt AB der Komposition f g, mit (f g(z f(g(z entspricht. Daraus folgt dass die inverse Matrix ( A 1 d b c a von A, der Inversen f 1 (z dz b cz + a von f entspricht. Woraus wiederum folgt, dass die Inverse existiert. Also können wir folgern, dass die Menge der Möbiustransformationen mit ad bc 1 eine Gruppe bezüglich der Komposition von Abbildungen formt. Dies leitet zum nächsten Kapitel über, wo wir uns mit einer sehr wichtigen Untergruppe beschäftigen, wobei a,b,c,d ganze Zahlen sind. 2.2 Die Modulgruppe Γ Die Menge aller Möbiustransformationen der Form τ aτ + b cτ + d mit a, b, c, d Z, und ad bc 1, wird die Modulgruppe genannt und mit Γ bezeichnet. Die Gruppe kann also durch 2 2-Matrizen repräsentiert werden, wobei det A ad bc 1 und a, b, c, d Z. Wir haben gesehen dass A 1 existiert und Koeffizienten in Z hat, ad bc 1, a, b, c, d Z, die Identitätsmatrix besteht auch aus ganzen Zahlen, das Matrizenprodukt AB, wobei A und B Koeffizienten in Z haben, hat wieder Koeffizienten in Z, also ist Γ eine Gruppe. { ( a b Also Γ wird durch SL(2, Z A Γ operiert auf die obere Halbebene: /a, b, c, d Z, ad bc 1 } dargestellt. Γ H H (A, τ Aτ aτ + b cτ + d Das nächste Theorem zeigt, dass Γ durch zwei Transformationen erzeugt wird: T τ τ + 1 und Sτ 1 τ 2

4 Theorem 2 Die Modulgruppe Γ wird durch zwei Matrizen ( ( T und S erzeugt. Also jedes A in Γ kann in dieser Form A T n 1 ST n 2 S ST n k mit n i ganzen Zahlen, geschrieben werden. Diese Darstellung ist aber nicht eindeutig. Beweis Um dieses Theorem zu beweisen, reicht es, die Matrizen ( a b A in Γ mit c 0 zu betrachten. Falls wir ein c 0 haben, können wir alle Koeffizienten von A mit 1 multiplizieren und bekommen so ein c 0. Wir wenden Induktion auf c an. Wenn c 0, dann ist ad 1, also a d ±1 und A ( ±1 b 0 ±1 ( 1 ±b 0 1 T ±b also hat A die gewünschte Form. Wenn c 1 dann ist ad b 1, also b ad 1 und ( ( ( ( a ad 1 1 a d A 1 d T a ST d Wenn c 1 dann haben wir (c, d 1 weil ad bc 1 Wenn wir d durch ividieren,haben wir eine Division mit Rest und bekommen eine Gleichung der Form d cq + r, wo 0 < r < c Wir bekommen also ( AT q a b ( 1 q 0 1 ( a aq + b c r multiplizieren wir diesen Ausdruck mit S, bekommen wir: ( ( ( AT q a aq + b 0 1 aq + b a S c r 1 0 r c Wir haben nun an der Stelle links unten ein r mit 0 < r < c. Wenden wir diese Vorgehensweise weiter an, wird die Stelle unten links immer kleiner weil 0 < r < c, bis wir ein c 1 haben. Und weil für c 1: A T a ST d, ist A von der Form A T n 1 ST n 2 S ST n k 3

5 2.3 Fundamentalbereich Wir erinnern daran, dass die Modulgruppe Γ SL(2, Z auf der oberen Halbebene operiert. Sei nun G eine Untergruppe der Modulgruppe Γ. Zwei Punkte τ und τ auf der oberen Halbebene H sind äquivalent unter G wenn τ Aτ für ein A in G. Dies ist eine Äquivalenzrelation weil G eine Gruppe ist. Diese Äquivalenzrelation teilt die obere Halbebene H in eine disjunkte Menge von Äquivalenzklassen, genannt Orbits oder Bahn. Der Orbit Gτ ist die Menge aller komplexen Zahlen der Form Aτ mit A G. (Gτ {Aτ/A G} Wir wählen einen Punkt von jedem Orbit; die Vereinigung von all diesen Punkten wird fundamentale Menge von G genannt. Um mit Mengen mit schönen topologischen Eigenschaften zu arbeiten, ändern wir das Konzept etwas und definieren ein Fundamentalbereich folgendermassen: Definition 1 Sei G eine Untergruppe der Modulgruppe Γ. Eine offene Teilmenge R G von H wird Fundamentalbereich von G genannt, wenn folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind: a Keine zwei verschiedenen Punkte von R G sind äquivalent unter G b Wenn τ H dann gibt es einen Punkt τ im Abschluss von R G so dass τ äquivalent zu τ unter G ist. Theorem 3 Die offene Menge R Γ {τ H/ τ > 1, τ + τ < 1} ist ein Fundamentalbereich von Γ. Zusätzlich haben wir, wenn A Γ und wenn Aτ τ für τ R Γ, dann ist A I. Also nur die Identität hat Fixpunkte in R Γ. Abbildung 1: Fundamentalbereich von SL(2,Z auf H Um dieses Theorem beweisen zu können, brauchen wir folgendes Lemma und das darauffolgende Theorem. Beweisvorbereitungen: Lemma 1 Gegeben sind, ω 2 nicht reell Ω { mω 1 + nω 2/m, n Z } 4

6 Dann existiert ein fundamentales Paar (,ω 2 äquivalent zu (,ω 2 so dass ( ( ( ω2 a b ω 2 mit ad-bc1 ω 1 und so dass ω 2, + ω 2 ω 2, ω 2 ω 2 Beweis Wir ordnen die Elemente von Ω, beginnend mit 0 und aufsteigend mit den Distanzen vom Nullpunkt, also Ω {0, v 1, v 2,...} mit 0 < v 1 v 2... und arg (v n < arg (v n+1 wenn v n v n+1 Sei v 1 und sei ω 2 das erste Element dieser Sequenz, welches kein Vielfaches von ist. Denn das Dreieck mit den Ecken 0,, ω 2 enthält, ausser dieser Ecken, kein anderes Element von Ω. Also ist (, ω 2 ein fundamentales Paar, welches die Menge Ω aufspannt. Es existieren also ganze Zahlen a,b,c,d mit ad bc ±1 so dass ( ( ( ω2 a b ω 2 Wenn ad bc 1, können wir urch -c, d durch -d und durch ersetzen, und dieselbe Gleichung gilt, ausser dass jetzt ad bc 1. Wegen der Weise, wie wir und ω 2 gewählt haben, und weil ± ω 2 Perioden in Ω sind, die in der Sequenz später als ω 2 auftauchen, ist ihre Länge, beziehungsweise ihr Betrag, grösser als der von ω 2 : ω 1 ω 2 und ± ω 2 ω 2 Theorem 4 Wenn τ H, dann existiert eine komplexe Zahl τ in H äquivalent zu τ unter Γ so dass τ 1, τ + 1 τ und τ 1 τ Beweis Sei 1, ω 2 τ. Wir wenden das Lemma 1 auf die Menge der Perioden Ω {m + nτ /m, n Z} an. Also nach dem Lemma 1 existiert ein fundamentales Paar (, ω 2 so dass ( ( ( ω2 a b τ 1 und so dass ω 2, ± ω 2 ω 2. Lösen wir die obere Gleichung auf, erhalten wir: ω 2 aτ + b cτ + d Sei nun τ ω 2, dann erhalten wir τ ω 2 aτ +b cτ +d Aτ 5

7 Also ist τ Aτ, woraus folgt, dass τ und τ äquivalent sind. Setzt man nun τ ω 2 in die Gleichungen vom Lemma 1 ein, erhält man: τ 1, τ ± 1 τ Bemerkung 1 Die τ in H, die τ ± 1 τ erfüllen, erfüllen auch τ + τ 1. Nun haben wir genug Vorbereitungen getroffen, um den Beweis des Theorem 3 durchführen zu können. Beweis von Theorem 3 Das Theorem 4 zeigt, dass wenn τ H, dann gibt es einen Punkt τ im Abschluss von R Γ, der äquivalent ist zu τ unter Γ. Um zu zeigen dass keine zwei verschiedene Punkte auf R Γ äquivalent unter ( Γ sind, machen wir dazu einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen an, a b τ Aτ mit A Γ. Wir zeigen zuerst dass Im(τ < Im(τ wenn τ R Γ und c 0. Wir haben Wenn τ R Γ und c 0, haben wir Im(τ Im(τ cτ + d 2 cτ + d 2 (cτ + d(c τ + d c 2 τ τ + cd(τ + τ + d 2 > c 2 cd + d 2 Wenn d 0 finden wir cτ + d 2 > c 2 1. Und wenn d 0 bekommen wir c 2 cd + d 2 ( c d 2 + cd cd 1 also wieder cτ + d 2 > 1. Also aus c 0 folgt cτ + d 2 > 1 und Im(τ < Im(τ. In anderen Worten, jedes Element A von Γ mit c 0 erhöht den Wert jedes Punktes τ in R Γ auf der imaginären Achse. Wir haben angenommen, dass beide, τ und τ, äquivalente, innere Punkte von R Γ sind. Also sind τ aτ + b cτ + d und τ dτ b cτ + a Wenn nun c 0, gilt Im(τ < Im(τ und Im(τ < Im(τ. Also haben wir einen Widerspruch und deshalb muss c 0 sein. Daraus folgt ad 1, a d ±1, und ( ( a b ±1 b A T ±b 0 ±1 Daraus folgt aber wiederum, dass b 0 weil τ und τ sind beide in R Γ. Also gilt A I und deshalb ist τ τ. Wir haben also gezeigt, dass keine zwei verschiedenen Punkte auf R Γ äquivalent sind unter Γ. Wenn nun Aτ τ für ein τ R Γ, dann zeigt dasselbe Argument, dass c 0, a d ±1, also A I. Was zeigt, dass nur die Identität Fixpunkte in R Γ hat. 6

8 Abbildung 2: Fundamentalgebiet unter der Transformation der Modulgruppe Das Bild zeigt das Fundamentalgebiet von R Γ und einige Bilder unter Transformationen der Modulgruppe. Jedes Element von Γ bildet Kreise oder Geraden, auf Kreise oder Geraden ab. Weil die Randkurven von R Γ Kreise, orthogonal zu der reellen Achse, sind, gilt dasselbe für jedes Bild f(r Γ unter den Elementen f von Γ. Die Menge aller Bilder f(r Γ, mit f Γ, ist die Menge von nichtüberlappenden, offenen Regionen, welche, zusammen mit ihren Randpunkten, ganz H aufspannen. Bemerkung 2 Zwei verschiedene Punkte a und b aus R Γ sind genau dann äquivalent (modulo Γ, falls sie auf dem Rand von R Γ liegen und falls gilt. Das heisst es gibt zwei Fälle: b ā 1 a Re a 1 2 und b a + 1, b Re a und b a 1 (a und b liegen sich auf den beiden Vertikalkanten von R Γ gegenüber. 2 a b 1 und b ā (a und b liegen sich auf der Kreislinie von R Γ gegenüber. Literatur [1] T.Apostel: Modular fonctions and Dirichlet series in number theory, Springer, 1976 [2] E.Freitag, R.Busam: Funktionentheorie 1, Springer Verlag,