Physik I TU Dortmund WS2017/18 Gudrun Hiller Shaukat Khan Kapitel 7

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3 Ergänzungen zur Hydrodynamik Fluide = Flüssigkeiten oder Gase - ideale Fluide - reale Fluide mit "innerer Reibung", ausgedrückt durch die sog. Viskosität Strömungen von Flüssigkeiten, d.h. räumliche Verteilung des Geschwindigkeitsvektors, Dichte konstant - laminare Strömung, "wohlgeformte" Geschwindigkeitsverteilung, nicht turbulent - turbulente Strömung, Bildung von Wirbeln, z.t. chaotisch (Verlauf schwer vorhersagbar) vgl. reale Verhältnisse in Rohren, Umgebung von Fahr-/Flugzeugen, Wettergeschehen u t u t p u u g p u u g u Euler-Gleichung (ideale Flüssigkeit) Navier-Stokes-Gleichung (Flüssigkeit mit Viskosität ) Differentialgleichung. Ordnung, nichtlineare Abhängigkeiten hier: Laplace-Operator u u e e e x y z ux y uz x y z auf einen Vektor angewandt: Physik II: Laplace-Operator auf einen Skalar (elektrisches Potenzial) angewandt ist auch ein Skalar, der proportional zur Dichte der elektrischen Ladung ist. 3

4 Viskosität oder Zähigkeit (zur Erinnerung, vgl. Transportphänomene) Zähes Fluid zwischen zwei Platten, linke Platte bei x = 0. Die rechte Platte bei x > 0 wird in z-richtung verschoben. Die hierfür notwendige Kraft pro Fläche ist Fz duz Die Reibungskraft ist F z entgegen der Geschwindigkeit. A dx In diesem Beispiel variiert die Geschwindigkeit u m linear zwischen den Platten. Pa Pa s m/s Allgemeiner: Betrachte drei scheibenförmige Flüssigkeitselemente der Dicke dx, das mittlere bei x 0. Kraft in z-richtung auf das mittlere Element: uz dx uz dx dfz dy dz x0 x0 Bei linearer Variation der Geschwindigkeit x x wäre die Kraft null, aber mit dx uz dx uzx0 uz( x0) x gilt uz dx uz dx dfz dy dz uz uz x x x x u u dy dz dx z z z z dv In drei Dimensionen: Dritter Term auf der rechten Seite der Navier-Stokes-Gleichung df df df dv u da u dm dv Einfache, aber wichtige Anwendung: Strömung in einem Rohr (z.b. Wasserleitung, Pipeline, Blutgefäß). 4

5 Laminare Strömung in einem Rohr mit Radius R: Reibungskraft für einen Flüssigkeitszylinder der Länge L und Radius r = Druckgefälle Stirnfläche du p dr L r L r p du r dr p p p u( r) r dr r C R r u( R) 0 C R L 4 L 4 L Parabolische Geschwindigkeitsverteilung mit Scheitel im Rohrmittelpunkt. Durchflussgeschwindigkeit (Volumen pro Zeiteinheit) R R 4 V p 3 p r r r u( r) dr R r r dr R t 4L L 4 V t p R 8 L Hagen-Poiseuille-Gesetz R Die Viskosität hängt stark von der Temperatur ab: z.b. Wasser Glyzerin 0 C 1,00 mpa s 1480 mpa s 40 C 0,65 mpa s 38 mpa s 60 C 0,47 mpa s 81 mpa s Jean Poisseuille ( ) Gotthilf Hagen ( ) 5

6 Zirkulation und dynamischer Auftrieb Wenn ein Fluid ein Hindernis umströmt, bilden sich oberhalb einer Grenzgeschwindigkeit Wirbel. Die Rotationsgeschwindigkeit nimmt mit dem Abstand vom Zentrum linear zu (wie beim starren Körper). Außerhalb dieses "Wirbelkerns" nimmt sie wieder ab. Die sog. Zirkulation ist definiert als Z u ds Der Satz von Kutta-Joukowski besagt, dass der Auftrieb eines Flugzeugflügels gegeben ist durch F u Z L A wobei r die Dichte des Fluids, u die ungestörte Strömungsgeschwindigkeit und L die Spannweite ist. Vergleich mit der Bernoulli-Gleichung für verschiedene Geschwindigkeit unter und über dem Flügel: 1 1 FA p A uo uu A uo uu uo uu B L u uo uu B L Wenn kann man die Geschwindigkeitsdifferenz mal der Flügelbreite mit der Zirkulation identifiziert, ergibt sich der obige Satz. Die "Herleitung" mit der Bernouilli-Gleichung ist hier sehr grob (dem wird in der Literatur mit einem Auftriebsbeiwert c A Rechnung getragen). Ohne Reibung ist die Zirkulation konstant, d.h. einzelne Wirbel entstehen und vergehen nicht. In der Tat beobachtet man (z.b. im Windkanal) an der Hinterkante einer Tragfläche, die in Bewegung gesetzt wird, einen sog. "Anfahrwirbel", dessen Zirkulation der des Flügels entgegengesetzt ist. 6

7 Ein Auftrieb durch Zirkulation Z 0 kann auch durch Rotation eines Körpers erzeugt werden. Das ist der sog. Magnus-Effekt (Heinrich Gustav Magnus, ). Beispiele sind die seitliche Ablenkung eines rotierenden Fussballs (sog. Bananenflanke) oder Auftrieb durch rotierende Zylinder, sog. Flettner-Rotoren, die bereits in den 190er Jahren als Schiffsantrieb versuchsweise eingesetzt wurden. Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung MS Buckau mit Flettner-Rotoren (194). Der Vortrieb ist optimal, wenn der scheinbare Wind genau von der Seite kommt. Das Umschlagen einer Strömung von laminar nach turbulent hängt geschieht oberhalb einer bestimmten Grenzgeschwindigkeit, die aber von anderen Größen abhängt. Die Reynolds-Zahl erlaubt, diese Grenzgeschwindigkeit abzuschätzen und größere Objekte (z.b. Schiffe, Flugzeuge) auf kleinere Modelle mit ähnlichem Turbulenzverhalten zu skalieren. Reynolds-Zahl Re U L Hier gehen neben der Dicht und Viskosität des Fluids eine charakteristische Geschwindigkeit U und eine charakteristische Länge L ein. Der Übergang von laminar nach turbulent beginnt oberhalb ca. Re 000. Mit 3 L U Re U L L U ergibt sich eine physikalische Interpretation: Der Zähler ist die doppelte kinetische Energie des Fluids mit Volumen L 3, der Nenner ist die Reibungsenergie (Reibungskraft einer Fläche L entlang einer Strecke L). 7

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