Prüfungsteil 1, Aufgabe 2. Analysis. Nordrhein-Westfalen 2012LK. Aufgabe a (1) Aufgabe a (2) Aufgabe a (3) Abitur Mathematik: Musterlösung

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1 Abitur Mathematik: Prüfungsteil 1, Aufgabe 2 Nordrhein-Westfalen 2012LK Aufgabe a (1) Anhand der Graphen ist erkennbar, dass sowohl in der Stadt als auch auf Land die Ozonbelastung im Verlauf des Morgens ansteigt, am Nachmittag am höchsten ist, und danach kontinuierlich wieder abnimmt. Die Ozonbelastung im ländlichen Raum ist dabei stets höher ist als in der Stadt. Anstieg und Rückgang der Ozonwerte gehen in der Stadt schneller vonstatten als auf dem Land und der höchste Wert wird etwa 2 Stunden später erreicht (auf dem Land gegen 16 Uhr und in der Stadt erst gegen 18 Uhr). Aufgabe a (2) 0,060,25 10,6 101, und 14 76,168. Um 7 Uhr wird in der Stadt eine Ozonkonzentration von 55 und um 21 Uhr eine Konzentration von 76,168 prognostiziert. Aufgabe a (3) 1. SCHRITT: 1. UND 2. ABLEITUNG BESTIMMEN Gesucht ist das Maximum von auf 0; 14. Eine hinreichende für ein Maximum an der Stelle lautet: 0 und 0. Dabei ist 0,060,25 10,6 101,2 55 0,06 31,8 202,4 0,063 63,6 202,4 1

2 2. SCHRITT: 1. ABLEITUNG SETZEN UND GLEICHUNG LÖSEN 0,06 31,8 202,4 0 31,8 202,4 0 ausklammern 31,8 202,4 0 0 oder 31,8 202,4 0 Lösung der quadratischen Gleichung mit der Formel: 31,8 202, ,9 15,9 202,4 15,9 7,1 8,8 oder 23. Da 23 außerhalb des Modellierungsbereichs liegt, kommen nur 0 und 8,8 als Maximalstellen in Frage. 3. SCHRITT: MAXIMALITÄT AN DEN NULLSTELLEN VON PRÜFEN 0,063 63,6 202,4 8,8 7, lokales Maximum bei 8,8. 4. SCHRITT: BERECHNUNG DER FUNKTIONSWERTE Randwerte oben schon berechnet: 0 55 und 14 76,168. Zum Vergleich: 8,8 181, Dies ist also der größte Wert. Die höchste Ozonkonzentration beträgt etwa 181,75 und wird um 1548 Uhr erreicht. Aufgabe b (1) Der Graph von hat im dargestellten Bereich laut Abbildung zwei Schnittpunkte mit der Geraden 180, die in etwa bei 8,2 und 9,4 liegen. Einsetzen liefert 8,2 180,43 und 9,4 180,38. Für 8,2; 9,4 ist also auf jeden Fall 180. Das bedeutet, dass laut Prognose die Ozonkonzentration mindestens von Uhr bis Uhr oberhalb von 180 liegt, also über eine Stunde lang. Aufgabe b (2) 2

3 Gesucht sind Maximum und Minimum von im dargestellten Bereich. Hinreichende Bedingung für lokales Extremum von an der Stelle : 0 und SCHRITT: 2. ABLEITUNG VON BESTIMMEN 0,063 63,6 202,4 (s.o.) 2. SCHRITT: 2. ABLEITUNG SETZEN UND GLEICHUNG LÖSEN 0, ,6 202, ,6 202,4 0 Die quadratische Lösungsformel liefert ; 4 2 3,9 17,3 63,6 63,6 2428,8 6 63,6 1616, SCHRITT: STEIGUNG AN DEN RÄNDERN DER FUNKTION BERÜCKSICHTIGEN 14 liegt nicht im Modellierungsbereich. Als Maximal oder Minimalstellen von kommen demnach nur und die Randstellen 0 und 14 in Frage. Die zugehörigen Werte von sind 0 0 (s.o.), 3,9 21,9 und 14 39,3. Somit nimmt die Ozonkonzentration bei 3,9 (also gegen Uhr) am stärksten zu und bei 14 (also um Uhr) am stärksten ab. Aufgabe b (3) Die durchschnittliche Ozonkonzentration ist 1 14 d, wobei 0,003 0,159 2, eine Stammfunktion von definiert. Daher ist nach dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung 1 14 d ,003 0,159 2, ,656. Die durchschnittliche Ozonkonzentration liegt bei etwa 130,7. 3

4 Aufgabe b (4) Die Abbildung lässt vermuten, dass der Graph von irgendwo im Bereich 14; 24 die Achse unterschreitet. Tatsächlich ist , Eine negative Ozonkonzentration macht für die Modellierung keinen Sinn. Daher ist die Funktion nicht auf dem ganzen Intervall 0; 24 für die Modellierung geeignet. Aufgabe c 1. SCHRITT: GEGEBENE WERTE NOTIEREN 0,25 5,5 40 Gegeben: 180; 120 Gesucht: 2. SCHRITT: GLEICHUNG LÖSEN 0, , , , : 5,5 Es müsste eine Temperatur von etwas mehr als 34,5 C vorhergesagt werden. Aufgabe d 1. SCHRITT: 1. ABLEITUNG BERECHNEN ; 0,060, ,6 3 2 ; 0, , SCHRITT: NULLSTELLEN DER ABLEITUNG IN ABHÄNGIGKEIT VON 3 31, , oder 31, entspricht keiner Zeit zwischen 14 und 17 Uhr. Nach der quadratischen Lösungsformel ist 31, ,9 252, ,9 252, liegt nicht im Modellierungsbereich. Die Maximalstelle muss also bei 15,9 252,81 2 liegen. 4

5 3. SCHRITT: UNGLEICHUNGEN AUFSTELLEN UND LÖSEN 14 Uhr entspricht 7, 17 Uhr entspricht 10. Es soll also gelten: 7 15,9 252, ,9 252,81 2 5,9 8,9 252,81 2 5,9 79,21 252, ,81 173, , ,8 109 Das Ozonmaximum wird genau dann zwischen 14 und 17 Uhr erreicht, wenn 86,8 109 gilt. 5

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