Lösung 4: Reelle innere Produkte, Normen und Gram-Schmidt Orthogonalisierung

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1 D-MATH Linere Algebr II FS 217 Dr. Meike Akveld Lösung 4: Reelle innere Produkte, Normen und Grm-Schmidt Orthogonlisierung 1. Seien v (i) 1, v (i) 2, v (i) 3 R 3, sodss B i = (v (i) 1, v (i) 2, v (i) 3 ). Der Grm-Schmidt Algorithmus liefert eine orthogonle Bsis B i = (w (i) 1, w (i) 2, w (i) 3 ) von R 3, wobei w (i) 1 = v (i) 1, w (i) 2 = v (i) 2 v(i) 2,w(i) w (i) w(i) 1 und w (i) 3 = v (i) 1 2 gegebenen Beispiele resultiert 1 3 v(i) 3,w(i) 1 w (i) w(i) 1 v(i) 3,w(i) w (i) w(i) Für die ) b) w (1) 1 = w (2) 1 = 5 2, w (1) 2 = 1 5 8, w (1) 3 = , w (2) 2 = 1 3 3, w (2) 3 = ) Wir berechnen für induktiv ds Integrl I n := lim b xn e x dx, wobei wir verwenden, dss x n e x ls Produkt stetiger Funktionen stetig uf R und somit uf kompkten Intervllen integrierbr ist. Es ist [ ] b e x dx = e x = (e b 1) = 1 e b nch dem Fundmentlstz der Anlysis und folglich ist I = 1. Mn berechnet mittels prtieller Integrtion für n, dss x n+1 e x dx = x n+1 ( e x )dx Bitte wenden!

2 { = b n+1 e b (n + 1) } x n e x dx. Angenommen wir wissen bereits, dss lim b xn e x dx = n!, ws wir für den Fll n = bereits überprüft hben, dnn folgt us der in der Anlysisübung bewiesenen Ttsche lim b b e = für lle >, dss I n+1 = lim b (n + 1) und somit folgt die Behuptung. x n e x dx = (n + 1)! b) Wegen der Linerität des Integrls, ist ds Integrl p(x)e x dx nch Teilufgbe ) für lle Polynomfunktionen uf R wohldefiniert, und d ds Produkt zweier Polynome ein Polynom ist, ist p, q wohldefiniert für lle p, q P (R). Aus der Linerität des Integrls und d für p 1, p 2, q P (R) und λ R punktweise (p 1 + λp 2 )(x)q(x) = p 1 (x) + λp 2 (x)q(x) gilt, folgt p 1 + λp 2, q = = = (p 1 + λp 2 )(x)q(x)e x dx p 1 (x)q(x)e x + λp 2 (x)q(x)e x dx p 1 (x)q(x)e x dx + λ = p 1, q + λ p 2, q. p 2 (x)q(x)e x dx D p 1, p 2, q P (R) und λ R beliebig wren, ist, liner im ersten Argument. D wegen der Kommuttivität von R gilt p(x)q(x) für lle x R, ist p, q = p(x)q(x)e x dx = und d p, q beliebig wren, ist, symmetrisch. q(x)p(x)e x dx = q, p, Es bleibt, die Positivität zu beweisen. Wegen der Monotonie der Integrtion und der Positivität von p(x) 2 e x, folgt p, p für lle p P (R) und die Linerität der Integrtion impliziert, dss, = gilt. Sei nun p P (R) von verschieden. Dnn existiert nch dem Fundmentlstz der Algebr ein x (, ), sodss p(x ). Sei σ := 1p(x 2 ) 2 e x. D x p(x) 2 e x stetig ist uf R, existiert ein δ >, sodss (x δ, x + δ) (, ) und für lle x (x δ, x + δ) gilt p(x) 2 e x > σ. Wegen der Monotonie des Integrls folgt < 2δσ = x +δ x δ σdx x +δ x δ p(x) 2 e x dx p(x) 2 e x dx = p, p. Siehe nächstes Bltt!

3 c) Wir konstruieren die gewünschte Orthonormlbsis per Induktion. Sei p P (R), dnn existiert R, sodss p(x) = für lle x R, und folglich ist p, p = 2 e x dx = 2 und us p, p = 1 folgt {±1}. Schliesslich impliziert die Bedingung für den Leitkoeffizienten, dss = 1, so dss p durch die Anforderungen deg(p) = und p, p = 1 vollständig bestimmt ist. Angenommen, wir wissen bereits, dss eindeutig bestimmte p,..., p n P (R) existieren, sodss deg(p k ) = k sowie p k, p l = δ kl für k, l n und sodss der Leitkoeffizient positiv ist. Dnn sind p,..., p n liner unbhängig und bilden folglich eine Bsis von P n (R) P n+1 (R). Angenommen, p P (R) ht die Eigenschft, dss deg(p) = n + 1, dnn ist {p,..., p n, p} eine Bsis von P n+1 (R). Dnk dem Grm-Schmidt Orthognilisierungsverfhren existiert ein p n+1 P n+1 (R), sodss p,..., p n+1 eine Orthonormlbsis von P n+1 (R) ist, und wegen ( n+1 ) deg α k p k mx{deg(p k ) k n + 1} k= folgt deg(p n+1 ) = n + 1, d nsonsten {p,..., p n+1 } kein Erzeugendensystem von P n+1 (R) sein knn. Wir müssen lso nur zeigen, dss p n+1 durch p,..., p n bis uf Vorzeichen eindeutig bestimmt ist. Sei q P n+1 (R) ein weiteres Polynom mit deg(q) = n + 1, sodss p,..., p n, q eine Orthonormlbsis von P n+1 (R) ist. D p,..., p n+1 eine Bsis ist, ist n+1 q = α k p k k= für Koeffizienten α,..., α n+1 R. Es gilt nch Annhme für l n, dss n+1 = q, p l = α k p k, p l = α l k= und folglich ist lso q = α n+1 p n+1. Nch Vorussetzung ist 1 = q, q = α 2 n+1 p n+1, p n+1 = α 2 n+1 und folglich ist α n+1 {±1}. Dies zeigt, dss p n+1 bis uf Vorzeichen eindeutig durch p,..., p n bestimmt ist. Die Existenz und die Eindeutigkeit der gewünschten orthonormlen Menge folgt nun per Induktion. Die Menge {p n n N {}} ist ein Erzeugendensystem und die Drstellung eines Polynoms ls Linerkombintion ist eindeutig, denn jedes beliebige Polynom q P (R) ist Element von P n (R) für genügend grosse n N {}. Für jedes solche n existiert eine eindeutige Drstellung ls Linerkombintion von Elementen in {p,..., p n }, d letztere Menge eine Bsis von Bitte wenden!

4 P n (R) ist. Insbesondere ist die Linerkombintion nicht von n bhängig, d jede Linerkombintion von Elementen in {p,..., p n } uch eine Linerkombintion von Elementen in {p,..., p n+k } für k N ist. d) Wir hben in Teilufgbe c) bereits p = 1 bestimmt. Wir wenden nun ds Grm- Schmidt Orthogonlisierungsverfhren für die Monombsis {1, X, X 2 } n, ws wie oben gezeigt nch Normlisierung und Korrektur des Vorzeichens die gewünschte Orthonormlbsis liefert. Wir verwenden Teilufgbe ) und erhlten: denn X, 1 = 1 p 1 = X 1, X 1, X 1 = X, X 2 X, 1 + 1, 1 = Für die Berechnung hben wir verwendet, dss nch Teilufgbe ) für beliebige m, n N {} gilt X n, X m = X n+m, 1 = (n + m)!. Ähnlich finden wir Folglich ist X 2, 1 = 2 und X 2, X 1 = X 3, 1 X 2, 1 = 4. p 2 = 1 2 (X2 4(X 1) 2) = 1 2 (X2 4X + 2), denn X 2 4X = = (x 2 4x + 2) 2 e x dx (x 4 8x 3 + 2x 2 16x + 4)e x dx =4! 8 3! + 2 2! 16 1! + 4! = Dies ist eine Version der Cuchy-Schwrz Ungleichung. Wir wissen us der Anlysis, dss für stetige ϕ, ψ, g von [, b] nch R ds Integrl ϕ, ψ := ϕ(x)ψ(x)g(x)dx wohldefiniert ist, und dss für stetige ϕ 1, ϕ 2, ψ : [, b] R und λ R gilt ϕ 1 + λϕ 2, ψ = ϕ 1, ψ + λ ϕ 2, ψ wegen der Linerität der Integrtion. Zudem gilt für ϕ, ψ : [, b] R die Gleichung ϕ(x)ψ(x) = ψ(x)ϕ(x) punktweise für x [, b], und folglich ist für stetige ϕ, ψ ϕ, ψ = ψ, ϕ. Siehe nächstes Bltt!

5 D die Abbildung g durchus sein knn, erfüllt die Abbildung (ϕ, ψ) ϕ, ψ nur ϕ, ϕ für lle stetigen ϕ : [, b] R, ber wir können us ϕ, ϕ = nicht schliessen, dss ϕ überll verschwindet. Eine solches semidefinites inneres Produkt, lso eine Abbildung V V R, (v, w) v, w, mit den Eigenschften 1. v 1, v 2, w V λ R : v 1 + λv 2, w = v 1, w + λ v 2, w, 2. v, w V : v, w = w, v, 3. v V : v, v, erfüllt ebenflls die Cuchy-Schwrz Ungleichung: Sei nämlich λ R beliebig, dnn ist v, w 2 v, v w, w. λv + w, λv + w = λ 2 v, v + 2λ v, w + w, w. Dies ist ein qudrtisches Polynom, ds nur positive Werte nnimmt. Insbesondere besitzt es höchstens eine reelle Nullstelle und somit ist die Diskriminnte nicht-positiv. Ds heisst: 4 v, w 2 4 v, v w, w wie gewünscht. 4. ) Es ist per definitionem v + w 2 = v + w, v + w = v, v + 2 v, w + w, w = v 2 + w v, w und folglich gilt v + w 2 = v 2 + w 2 genu dnn, wenn v, w =. Der Stz von Pythgors lutet: Seien v, w R 2 zueinnder senkrecht, dnn ist v+w 2 = v 2 + w 2. D v, w genu dnn zueinnder senkrecht stehen, wenn ds stndrd innere Produkt zwischen v und w verschwindet, folgt der Stz von Pythgors sofort us dem, ws wir eben gezeigt hben. b) Wir berechnen v + w 2 + v w 2 = v + w, v + w + v w, v w = v, v + 2 v, w + w, w + v, v 2 v, w + w, w =2 v w 2. Die Bedeutung der Prllelogrmmgleichung ergibt sich m besten nhnd eines Bildes (siehe Abbildung 1). Bitte wenden!

6 Abbildung 1 Eine Illustrtion der Prllelogrmmgleichung. In R 2 folgt die Prllelogrmmgleichung beispielsweise us dem Kosinusstz. c) Wir hben bereits in Teilufgbe b) gezeigt, dss die Prllelogrmmgleichung gilt, wenn die Norm durch ein inneres Produkt induziert ist. D.h. insbesondere, dss es usreicht zu zeigen, dss jede Norm, die die Prllelogrmmgleichung erfüllt, ein inneres Produkt induziert. Sei lso eine solche Norm gegeben. Wir definieren wie im Hinweis v, w := 1 4 ( v + w 2 v w 2 ). Es gilt v, v = 1 4 ( 2v 2 2 ) = v 2 und folglich ist, positiv. Die Symmetrie folgt sofort, d v + w = w + v sowie v w = w v. Wir müssen lso nur beweisen, dss die Abbildung im ersten Argument liner ist. Hierfür befolgen wir die Schritte us dem Hinweis. i) Es ist nch Definition, w = 1 4 ( + w 2 w 2) = 1 4 ( w 2 ( 1) 2 w 2) =. ii) Hier verwenden wir die Prllelogrmmgleichung und erhlten 4 v 1 + v 2, w + 4 v 1 v 2, w = v 1 + v 2 + w 2 v 1 + v 2 w 2 + v 1 v 2 + w 2 v 1 v 2 w 2 = v 1 v 2 + w v 1 + w v v 1 v 2 w 2 2 v 1 w 2 2 v v 1 v 2 + w 2 v 1 v 2 w 2 =2 ( v 1 + w 2 v 1 w 2) =8 v 1, w. Nch Division beider Seiten durch 4 folgt die Behuptung. Siehe nächstes Bltt!

7 Wir bemerken die folgenden Spezilfälle: iii) Wir berechnen v 1 = v 2 2v 1, w = 2 v 1, w, v 1 = v 2, w = v 2, w. 2 v 1, w + 2 v 2, w = v 1 + v 2, w + v 1 v 2, w + v 2 + v 1, w + v 2 v 1, w = v 1 + v 2, w + v 1 v 2, w + v 1 + v 2, w + (v 1 v 2 ), w =2 v 1 + v 2, w und die Behuptung folgt nch Division durch 2. iv) Sei zuerst n N. Wir wissen, dss die Aussge für n = 1, 2 whr ist. Wir beweisen die Aussge per Induktion. Angenommen n > 2 und sei die Aussge whr für lle k N mit 1 k < n. Flls 2 n gilt, dnn existiert k N, sodss n = 2k und es ist 1 k < n. Folglich gilt nch Induktionsvorussetzung nv, w = 2(kv), w = 2 kv, w = (2k) v, w = n v, w und die Behuptung ist für n bewiesen. Flls 2 n, dnn gilt n = 2k + 1 für ein k N mit k + 1 < n. Es folgt us Teil (ii), sowie der Induktionsvorussetzung, dss (n + 1) v, w =2 (k + 1)v, w = (k + 1)v + kv, w + (k + 1)v kv, w = nv, w + v, w und es folgt n v, w = nv, w. Sei nun n Z\N, und sei n, d letzterer Fll bereits in (i) behndelt wurde. Dnn ist n = m für ein m N und folglich ist wegen der bemerkung in (ii) und der Diskussion des Spezilflls n N nv, w = mv, w = mv, w = m v, w = n v, w. v) Wegen dem eben gezeigten, gilt n 1 v, w = n 1 v, w = v, w. n n vi) Sei r = n m mit n Z und m N, dnn gilt wegen (iv) und (v) r v, w = n ( 1 v, w ) = n 1 v, w = n( 1 v), w = rv, w. m m m Bitte wenden!

8 vii) Es ist nch Definition und unter Verwendung der Prllelogrmm- und der Dreiecksungleichungen 4 v, w = v + w 2 v w 2 =2 v + w 2 2 v 2 2 w 2 2( v + w ) 2 2 v 2 2 w 2 = 4 v w und die gewünschte Aussge folgt nch Division durch 4. viii) Es gilt λ v, w λv, w (vi) = λ v, w r v, w + rv, w λv, w (iii) = (λ r) v, w (λ r)v, w (λ r) v, w + (λ r)v, w (vii) λ r v w + (λ r)v w = 2 λ r v w. ix) Wir wissen, dss, symmetrisch und positiv ist, und wir hben bereits gezeigt, dss für lle w V die Abbildung v v, w dditiv ist. Wir müssen lso nur noch zeigen, dss für lle v, w V und für lle λ R gilt λv, w = λ v, w. Seien v, w V und λ R gegeben. Sei ε > beliebig. D Q R dicht ist, existiert ein r {Q}, sodss 2 λ r v w < ε. Insbesondere ist lso nch (viii) λ v, w λv, w 2 λ r v w < ε. D ε beliebig wr, folgt λ v, w λv, w = und folglich ist λ v, w = λv, w. D λ R und v, w V beliebig wren, folgt die Linerität in der ersten Komponente und somit ist, ein inneres Produkt. Es wurde bereits für die Positivität gezeigt, dss v 2 = v, v, und somit ist durch, induziert. 5. ) Angenommen T sei nicht injektiv. Dnn ist Ker(T ) {} und folglich existiert v V \ {}, sodss T (v) =. Also ist D eine Norm ist, ist ds bsurd. = = T (v) = v. Siehe nächstes Bltt!

9 b) Wegen Linerität von, und von T ist, T liner im ersten Argument und sicherlich ist, T = T (), T () =, =. Anlog folgern wir Symmetrie: v, w T = T (v), T (w) = T (w), T (v) = w, v T. Wir müssen lso zeigen:, T ist genu dnn positiv definit, wenn T injektiv ist. Angenommen T ist injektiv, dnn ist T (v) wnn immer v V \ {}, und folglich gilt für solche v wegen der Positivität von,. v, v T = T (v), T (v) >, Angenommen T ist nicht injektiv, dnn existiert ein v V \ {}, sodss T (v) =, und folglich ist v, v T = T (v), T (v) =, lso ist, T nicht positiv definit. Mittels Kontrposition folgt lso die Injektivität von T us der Positivität von, T. c) Zuerst müssen wir zeigen, dss (, ) T wohldefiniert ist. Angenommen v v, w w Ker(T ), dnn ist T (v ), T (w ) = T (v v), T (w ) + T (v), T (w ) }{{} = = T (v), T (w w) + T (v), T (w) }{{} = = T (v), T (w) und somit ist ( v + Ker(T ), w + Ker(T ) ) unbhängig von der Whl des Repräsentnten und lso wohldefiniert. Wir hben bereits zuvor rgumentiert, dss T die Abbildung (v, w) T (v), T (w) symmetrisch, positiv semidefinit und im ersten Argument liner ist, und somit folgen diese Eigenschften uch für (, ) T nch Definition der Vektorrumstruktur uf V/Ker(T ). Es bleibt lso nur zu zeigen, dss us ( v +Ker(T ), v +Ker(T ) ) = uch v Ker(T ) folgt. Allerdings T ist = ( v + Ker(T ), v + Ker(T ) ) = T (v), T (v) T und lso T (v) = wegen der Positivität von,. 6. ) Wir zeigen zuerst, dss die Abbildung Φ : V V, v Φ v, wohldefiniert ist, d.h. wir müssen zeigen, dss Φ v V für lle v V. Dies folgt ber sofort us der Linerität von, im ersten Argument. Seien nämlich w 1, w 2 V und λ R, dnn ist Φ v (w 1 + λw 2 ) = w 1 + λw 2, v = w 1, v + λ w 2, v = Φ v (w 1 ) + λφ v (w 2 ). Bitte wenden!

10 Als nächstes überprüfen wir, dss Φ liner ist, d.h. dss für lle v 1, v 2 V, für lle λ R gilt Φ v1 +λv 2 = Φ v1 + λφ v2. Hierfür reicht es zu zeigen, dss für lle w V gilt: Φ v1 +λv 2 (w) = Φ v1 (w) + λφ v2 (w), in welchem Flle die Abbildungen punktweise übereinstimmen und somit identisch sind. Wegen der Linerität und der Symmetrie von, gilt Φ v1 +λv 2 (w) = w, v 1 + λv 2 = v 1 + λv 2, w = v 1, w + λ v 2, w wie gewünscht. = w, v 1 + λ w, v 2 = Φ v1 (w) + λφ v2 (w) Wegen dim(v ) = dim(v ) reicht es zu zeigen, dss Φ injektiv ist. Sei v Ker(Φ ), d.h. Φ v = bzw. Φ v (w) = für lle w V. Dnn ist insbesondere Φ v (v) = und somit = Φ v (v) = v, v. Aus der Positivität von, folgt v = und lso die Injektivität. b) Wir zeigen zuerst, dss für lle w V die Abbildung [, b] R, x f(x), w stetig ist. Sei ε > beliebig und sei w V. Wenn w =, dnn ist die Abbildung die konstnte Nullbbildung und es ist nichts zu zeigen. Sei lso w und insbesondere w. D f nch Annhme stetig ist, existiert für lle x [, b] ein δ >, sodss gilt: x (x δ, x + δ) [, b] f(x) f(x ) < und nch Anwendung von Cuchy-Schwrz folgt für solche x: ε w, f(x), w f(x ), w = f(x) f(x ), w f(x) f(x ) w < ε. Insbesondere ist für lle w V ds Integrl I f (w) := f(x), w dx wohldefiniert. Bechte, dss für beliebige w 1, w 2 V und λ R gilt I f (w 1 + λw 2 ) = = f(x), w 1 + λw 2 dx f(x), w 1 + λ =I f (w 1 ) + λi f (w 2 ). f(x), w 2 dx Siehe nächstes Bltt!

11 Folglich ist I f ( ) V, und nch Teilufgbe ) existiert ein eindeutig bestimmes Element f(x)dx = Φ 1 (I f ) V mit den gewünschten Eigenschften. Die Abbildung ist lso wohldefiniert. Wir berechnen punktweise I f1 +λf 2 (w) = = (f 1 + λf 2 )(x), w dx f 1 (x), w + λ f 2 (x), w dx =I f1 (w) + λi f2 (w), und folglich ist die Abbildung I : C ( [, b], V ) V, f I f, liner und insbesondere folgt die Linerität der Komposition Φ 1 I : f f(x)dx. c) Wir zeigen zuerst, dss für lle v, w V die Abbildung x [, b] F (x)(v), w stetig ist. Wenn w =, dnn ist die Abbildung die konstnte Nullbbildung und Stetigkeit ist klr. Sei lso w und seien x [, b] sowie ε > beliebig. D F v nch Vorussetzung stetig ist, existiert ein δ >, sodss gilt x (x δ, x + δ) [, b] F (x)(v) F (x )(v) < Unter Verwendung von Cuchy-Schwrz folgt lso ε w. F (x)(v), w F (x )(v), w F (x)(v) F (x )(v) w < ε, ws die Stetigkeit beweist, d x und ε beliebig wren. Insbesondere ist lso für lle v, w V ds Integrl I F (v, w) := F (x)(v), w d(x) wohldefiniert. Wegen der Linerität und der Symmetrie von, folgt für lle w 1, w 2 V sowie λ R, dss I F (v, w 1 + λw 2 ) = F (x)(v), w 1 + λw 2 d(x) =I F (v, w 1 ) + λi F (v, w 2 ). Nch Teilufgbe ) existiert lso ein eindeutiges F (x)(v) V, sodss für lle w V gilt I F (v, w) = F (x)(v)dx, w. Bitte wenden!

12 Andererseits gilt wegen der Linerität von F (x) und von, für v 1, v 2, w V und λ R uch I F (v 1 + λv 2, w) = Insbesondere folgt lso = F (x)(v 1 + λv 2 )dx, w = und wegen Teilufgbe ) folgt F (x)(v 1 + λv 2 )dx = F (x)(v 1 + λv 2 ), w dx F (x)(v 1 ), w + λ F (x)(v 2 ), w dx =I F (v 1, w) + λi F (v 2, w). F (x)(v 1 )dx, w + λ F (x)(v 1 )dx + λ sodss die Abbildung F (x)dx : V V definiert durch ( ) F (x)dx (v) := F (x)(v)dx F (x)(v 2 )dx, w F (x)(v 2 )dx, liner ist. Diese Abbildung ht nch Konstruktion die gewünschten Eigenschften.