1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./ in den Übungsgruppen

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1 Hannover, den 7. Februar 2002 Aufgabe. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./ in den Übungsgruppen (2, 2, 3 Punkte) Der Vektorraum V = C[, ] sei mit dem üblichen Skalarprodukt f, g = f(t)g(t) dt versehen. { 0 für t 0 a) Es seien f, f 2 V definiert durch f (t) = t und f 2 (t) = t für t > 0. Berechnen Sie den Abstand von f und f 2. b) Können Sie Funktionen 0 h V angeben, die zu f und f 2 orthogonal sind? c) Es sei U := {f V ; f(x) = f( x) für alle x [, ] }. (U ist ein Teilraum von V, der Raum der geraden Funktionen; kein Beweis nötig.) Bestimmen Sie das orthogonale Komplement U von U in V. (3, 3 Punkte) a) Es sei U = Span {(0,, 0, i), (i, 0,, 0), (0, i, i, 0)} und x, y = t x y das Standard- Skalarprodukt im C 4. Bestimmen Sie orthonormale Basen von U und von U. b) Es sei P 3 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grade 3. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von P 3 (bezüglich f, g = 0 f(t)g(t) dt). (2, 4 Punkte) a) Es sei A SO(3) und F sei diejenige orthogonale Abbildung mit A = M E (F ), wobei E die Standardbasis des IR 3 ( ist. Nach ) Satz 9.2 gibt es ( dann eine Orthonormalbasis B des IR 3 mit M B (F ) =, wobei A ) O cos α sin α O A =. sin α cos α Zeigen Sie: cos α = ( Spur (A) ). 2 b) Bezüglich der Standardbasis E werde F : IR 3 IR 3 dargestellt durch M E (F ) = Geben Sie eine Basis B an, so daß M B (F ) die Gestalt aus Satz 9.2 besitzt. Beschreiben Sie die Wirkung der Abbildung F im IR 3. (3, 3 Punkte) Eine quadratische Hyperfläche im IR 2 bzw. IR 3 sei gegeben durch die Gleichung (Q). Bringen Sie Q durch orthogonalen Koordinatenwechsel auf die Gestalt λ y 2 + λ 2 y2 2 + c = 0 bzw. λ y 2 + λ 2 y2 2 + λ 3 y3 2 + c = 0. Geben Sie eine geometrische Deutung der Hyperfläche an. a) (Q) x 2 + 4x x 2 + x 2 2 = 9 b) (Q) 4x 2 + 2x x 2 + 4x x x 3 + 2x 2 x 3 + 4x 2 3 = 6

2 Hannover, den 8. April Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 5./ in den Übungsgruppen Aufgabe (3, 3 Punkte) a) Im IR 2 sei F die Spiegelung an der durch y = ax gegebenen Geraden. Bestimmen Sie die Matrix A mit F = h A. ( ) cos α sin α b) Zeigen Sie, dass der durch A = gegebene Endomorphismus F = h sin α cos α A die Spiegelung an der Geraden durch den Ursprung ist, die mit der x-achse den Winkel α einschließt. 2 Bestimmen Sie für die Matrix A = t SAS eine Diagonalmatrix ist eine orthogonale Matrix S O(3), so dass a) Es sei V der euklidische Vektorraum der Polynome vom Grad 2 mit dem Skalarprodukt p, q := p(x)q(x) dx. Der Endomorphismus F : V V sei definiert durch F (p) := p. Bestimmen Sie die zu F adjungierte Abbildung F adj. Ist F selbstadjungiert? (4, 4 Punkte) a) Bestimmen Sie jeweils Index und Signatur der Form, A, wobei (i) A = b) Gegeben sind die Matrizen A = (ii) A = und B = Untersuchen Sie, ob es eine reelle invertierbare Matrix W gibt mit A = t W BW, und bestimmen Sie gegebenenfalls solch eine Matrix W..

3 Hannover, den 5. April Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 22./ in den Übungsgruppen Aufgabe (, 2, 3 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Matrizen auf positive Definitheit: a) A = b) A = c) A = (a ij ) Mat(n, IR) mit a ij = i + j Es sei A eine symmetrische n n-matrix über IR und χ A = n j=0 a j x j sei das charakteristische Polynom von A. Zeigen Sie: A ist genau dann positiv definit, wenn für j = 0,,..., n gilt: ( ) n j a j > 0. (3, 3 Punkte) Bestimmen Sie für f, g K[x] ein normiertes Polynom p mit p = f, g. a) K = IR, f = x 6 x 5 + 2x 4 x 3 + x 2, g = x 5 x 4 + 2x 3 + x 2 x + 2 b) K = IF 2, f = x 6 + x 5 + x 3 + x 2, g = x 4 + x 2 + (7 Punkte) Zeigen Sie: Ein Körper K ist genau dann endlich, wenn jede Abbildung f : K K eine Polynomabbildung ist.

4 Hannover, den 22. April Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 29./ in den Übungsgruppen Aufgabe Es sei A = Zeigen Sie, dass A idempotent ist, berechnen Sie Eigenwerte und Eigenräume von A und beschreiben Sie den Homomorphismus f mit f = h A. Es sei K ein Körper mit + 0. Dann sind für A Mat (n, K) äquivalent: (i) A 2 = E (ii) (E A) ist idempotent. 2 (iii) A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit Diagonalelementen ±. (3, 3 Punkte) Es sei N Mat(n, K) nilpotent. Zeigen Sie: a) Ist N 0, so ist N nicht diagonalisierbar über K. b) Ist µ K beliebig und N 0, so ist auch µe + N nicht diagonalisierbar über K. (4, 3 Punkte) Es seien A, B Mat(n, ( K). ) Er 0 a) Es sei B =. Zeigen Sie, dass AB und BA das gleiche charakteristische 0 0 Polynom haben. b) Zeigen Sie, dass χ AB = χ BA generell gilt.

5 Hannover, den 29. April Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 6./ in den Übungsgruppen Aufgabe (je 3 Punkte) Bestimmen Sie jeweils das Minimalpolynom von A: a) A = b) A Mat(n, K) idempotent (3, 2, 2 Punkte) Es sei P = x n + a n x n a 0 K[x] mit n und A = a 0 a a 2... a n 2 a n. Zeigen Sie: a) P = χ A. b) P = µ A c) Ist λ Eigenwert von A, so ist t (, λ, λ 2,..., λ n ) Eigenvektor von A zu λ. Es sei A Mat(n, K) und für das Minimalpolynom µ A gelte: Ist P ein Teiler von µ A, so ist deg(p ) = 0 oder deg(p ) = n. Zeigen Sie, dass dann K[A], versehen mit der Addition und Multiplikation von Matrizen, ein Körper ist. (je 3 Punkte) Bestimmen Sie jeweils eine Spektralzerlegung für die Matrizen A i Mat(3, IR): A = , A 2 =

6 Hannover, den 6. Mai Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 3./ in den Übungsgruppen Aufgabe (je 2 Punkte) Geben Sie möglichst einfache Matrizen an, die die Eigenwerte und 2 besitzen und für die a) algebraische und geometrische Vielfachheit beider Eigenwerte gleich sind. b) algebraische und geometrische Vielfachheit von übereinstimmen, von 2 aber nicht. c) algebraische und geometrische Vielfachheit bei beiden Eigenwerten verschieden sind. Bitte schreiben Sie nicht nur die Matrizen auf, sondern begründen Sie, warum Sie die von Ihnen angegebenen Matrizen gewählt haben. Es sei λ ein Eigenwert von A Mat(n, K) und P K[x]. Zeigen Sie, dass dann P (λ) ein Eigenwert von P (A) ist. (4, 2 Punkte) a) Zeigen Sie: Ist A Mat(n, K) diagonalisierbar über K, so ist Rang(A) =Rang(A k ) für alle k. b) Gilt in a) auch die Umkehrung? (8 Punkte) Bestimmen Sie für die Matrix A = Zerlegung A = H + N Mat(3, IR) die Jordan-Chevalley-

7 Hannover, den 3. Mai Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 27./ in den Übungsgruppen Aufgabe (7 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgenden Matrizen A, B Mat(4, IR) gleichzeitig diagonalisierbar sind und geben Sie eine Matrix W GL(4, IR) an, so dass W AW und W BW Diagonalmatrizen sind. A = , B = (4, 2 Punkte) Es sei (G, ) eine Gruppe und U sei eine Untergruppe von G. Auf G ist eine Relation durch a b a b U definiert. a) Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation auf G ist. b) Beschreiben Sie für G = S 3 (die symmetrische Gruppe) und für U = A 3 die Äquivalenzklassen bzgl.. (3, 3 Punkte) a) Es sei V = IR 5 und U = Span {e + e 2, e e 4 }. Bestimmen Sie eine Basis von V/U und schreiben Sie für a mit t a = (5, 2, 3, 5, ) den Vektor a + U V/U als Linearkombination dieser Basis. b) V sei K Vektorraum, U sei Untervektorraum von V. Zeigen Sie: Sind a + U,..., a n + U linear unabhängig, so sind auch die Repräsentanten a,..., a n linear unabhängig. Gilt auch die Umkehrung? (4, 2 Punkte) Es sei A = und a = 0, a 2 = a) Berechnen Sie U(h A, a ), U(h A, a 2 ) und das kleinste l IN mit A l = 0. b) Berechnen Sie Ker A k für jedes k IN.

8 Hannover, den 27. Mai Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 3./ in den Übungsgruppen Aufgabe (3, 2 Punkte) a) Es sei χ A (x) = (x 2) 6 (x + ) 4 und µ A (x) = (x 2) 4 (x + ) 2. Welche möglichen Jordanschen Normalformen kann A Mat(0, IR) besitzen? Welche Möglichkeiten verbleiben für die Jordansche Normalform, wenn zusätzlich dim Eig(A, 2) = dim Eig(A, ) = 2 gilt? b) Charakterisieren Sie die Ähnlichkeitsklassen der zerfallenden (3, 3)-Matrizen über K. (2, 3, 4 Punkte) Bestimmen Sie jeweils die Jordansche Normalform sowie eine Jordanbasis zur Matrix A a) A = 3 6 b) A = 0 0 c) A = Die Matrix A = besitzt 0 als einzigen Eigenwert. Bestimmen Sie mit dieser Information für die Matrix A eine Jordanbasis und die Jordansche Normalform. Es sei V n der Vektorraum der Polynome vom Grade n über IR, und ϕ : V n V n sei definiert durch ϕ(p) = p. Geben Sie eine Basis B an, so daß M B (ϕ) Jordansche Normalform hat.

9 Hannover, den 3. Juni Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 0./ in den Übungsgruppen Aufgabe (4, 3 Punkte) Im projektiven Raum IP = IP(IR 4 ) seien die Punkte P = ( : : 0 : 0), P 2 = ( : 0 : : 0), P 3 = ( : 0 : 0 : ), P 4 = (0 : 0 : : ) sowie die Hyperebene H = {(x 0 : x : x 2 : x 3 ) ; x 0 + x + x 2 + x 3 = 0} gegeben. Sei L ij die von P i und P j aufgespannte Gerade in IP. (i j). Bestimmen Sie: a) L 2 L 34 und L 2 L 34 sowie L 2 L 23 und L 2 L 23. b) H L ij für alle i j. Es seien P = (i : 0 : ), P 2 = (0 : i : 2i), P 3 = (α : : i) IP 2 (C). Bestimmen Sie α C so, dass U = P P 2 P 3 ein eindimensionaler projektiver Unterraum von IP 2 (C) ist, und beschreiben Sie U in der üblichen Form, d.h. bestimmen Sie a, b, c C mit U = {(x 0 : x : x 2 ) IP 2 (C) ; ax 0 + bx + cx 2 = 0}. (2, 3, 2 Punkte) Es sei K ein endlicher Körper mit K = p, und es sei IP = IP(K 3 ). Zeigen Sie: a) IP besitzt genau p 2 + p + Punkte. b) IP enthält genau p 2 + p + Geraden. c) Auf jeder Geraden in IP liegen genau p + Punkte. Zeigen Sie: Jede Projektivität von IP 2 (IR) besitzt mindestens einen Fixpunkt.

10 Hannover, den 0. Juni Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 7./ in den Übungsgruppen Aufgabe In IP = IP 2 (IR) seien die Punkte P 0 = ( : 2 : 0), P = (0 : : 2), P 2 = (0 : 0 : ), E = ( : 0 : ) gegeben. Zeigen Sie, dass (P 0, P, P 2, E) ein projektives Koordinatensystem in IP ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von Q = ( : 2 : 3) und Q 2 = (0 : : ) bezüglich dieses Koordinatensystems. Bestimmen Sie ferner die Koordinaten eines allgemeinen Punktes Q = (x 0 : x : x 2 ) bezüglich dieses Koordinatensystems. (4, 4 Punkte) { IP (IR) IP 3 (IR) Es sei ϕ : (t 0 : t ) (t 3 0 : t 2 0t : t 0 t 2 : t 3 ). a) Zeigen Sie, dass ϕ wohldefiniert ist. b) Zeigen Sie: Im ϕ = {(y 0 : y : y 2 : y 3 ) ; Rang ( y0 y y 2 y y 2 y 3 ) }. (2, 3, 2 Punkte) a) Zeigen Sie, dass es genau eine Affinität f a : IR 3 IR 3 gibt mit f a ( 0 0 ) =, f a ( 2 ) = 2 4, f a ( 3 2 ) = 6 6, f a ( ) = b) Bestimmen Sie eine Matrix A GL (3, IR) und einen Vektor b IR 3, so dass für alle x IR 3 gilt: f a (x) = Ax + b. c) Bestimmen Sie die eindeutig bestimmte Projektivität f : IP 3 (IR) IP 3 (IR) mit f IR 3 = f a und berechnen Sie f(2 : : : 2). Es sei Q = {x = (x 0 : x :... : x n ) IP n (IR) ; q(x) = 0} eine Quadrik in IP n (IR). Zeigen Sie: Sing (Q) = {(x 0 : x :... : x n ) IP n q (IR) ; = 0 für i = 0,,..., n} x i

11 Hannover, den 7. Juni Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./ in den Übungsgruppen Aufgabe (3, 2, Punkte) In IP 2 (IR) seien die folgenden drei Quadriken gegeben: Q = {x = (x 0 : x : x 2 ) ; x x 2 + 8x x 0 x 6x 0 x 2 8x x 2 = 0} Q 2 = {x = (x 0 : x : x 2 ) ; 2x 2 x x 0 x + 2x 0 x 2 + 4x x 2 = 0} Q 3 = {x = (x 0 : x : x 2 ) ; 5x x 2 + 5x x 0 x + 8x 0 x 2 4x x 2 = 0}. a) Bestimmen Sie die zugehörigen Normalformen bzgl. projektiver Äquivalenz. b) Untersuchen Sie, welche der Quadriken (projektiv) äquivalent sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Projektivität ϕ : IP 2 (IR) IP 2 (IR) mit ϕ(q i ) = Q j. c) Berechnen Sie Sing (Q i ) für i =, 2, 3. (, 3, Punkte) { IP Eine Abbildung ϕ sei gegeben durch (C) IP (C) IP 3 (C) ϕ : ((t 0 : t ), (u 0 : u )) (t 0 u 0 : t 0 u : t u 0 : t u ). Zeigen Sie: a) ϕ ist wohldefiniert. b) Im ϕ IP 3 (C) ist eine Quadrik Q. c) Q ist äquivalent zu Q = {(x 0 : x : x 2 : x 3 ) IP 3 (C) ; x x 2 + x x 2 3 = 0}. (je 2 Punkte) Klassifizieren Sie die folgenden affinen Quadriken als affine Teile projektiver Quadriken durch Berechnung von d, u, d, u und Angabe der Normalform gemäß Satz 4. der Vorlesung. Q = {x = (x, x 2 ) IR 2 ; x 2 2x x 2 + 2x x 6x 2 + = 0} Q 2 = {x = (x, x 2 ) IR 2 ; x x 2 4x + 2x 2 4 = 0} Q 3 = {x = (x, x 2 ) IR 2 ; 3x x 2 + 4x 2x = 0} Q 4 = {x = (x, x 2 ) IR 2 ; 6x x x 2 + 9x x 80x 2 = 0} (je 3 Punkte) Wie für die folgenden Quadriken: Q 5 = {x = (x, x 2, x 3 ) IR 3 ; x 2 + 4x x 2 + 2x x x 3 4x 2 x 3 + 4x + 4x 2 + 4x 3 = 0} Q 6 = {x = (x, x 2, x 3 ) IR 3 ; 9x x x 2 + 6x x 20x x = 0} Hinweis: Die Klausur zur Linearen Algebra 2 findet am Do.7.02 von Uhr im Audi Max statt. Teilnahmevoraussetzung: Mindestens 00 Punkte in den Hausübungen.

12 Hannover, den 24. Juni (und letztes) Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe:./ in den Übungsgruppen Aufgabe (3, 3 Punkte) a) Zeigen Sie, daß die affine Quadrik Q = {x = (x, x 2 ) IR 2 ; 2x 2 + 3x x 2 2x 2 2 4x 3x 2 23 = 0} eine Hyperbel darstellt, und geben Sie den Schnittpunkt ihrer Asymptoten (den Mittelpunkt) in x, x 2 Koordinaten an. b) Zeigen Sie, daß die affine Quadrik {x IR 3 ; 5 4 x x2 2+5x x x 2 +(9 2 3)x (2+9 3)x 2 30x = 0} 2 ein Ellipsoid darstellt, und geben Sie dessen Mittelpunkt an. Es sei ax 2 + bx cx x 2 + 2dx + 2ex 2 + f = 0 die allgemeine Gleichung 2. Grades. a c Ferner sei D :=. Zeigen Sie: c b f d e Gilt d a c 0, und besitzt die obige Gleichung mindestens eine Lösung, so be- e c b schreibt die affine Quadrik Q = {(x, x 2 ) IR 2 ; ax 2 + bx cx x 2 + 2dx + 2ex 2 + f = 0} eine Ellipse, falls D > 0 gilt. eine Parabel, falls D = 0 gilt. eine Hyperbel, falls D < 0 gilt. (8 Punkte) U, V und W seien K Vektorräume und Bil (U, V ; W ) := {F : U V W ; F bilinear}. Bil (U, V ; W ) ist in natürlicher Weise ein Vektorraum über K. Zeigen Sie: Bil (U, V ; W ) = Hom (U, Hom (V, W )) = Hom (V, Hom (U, W )). Es seien U und V Vektorräume über K, ferner seien u U und v V mit u v 0 in U V gegeben. Zeigen Sie: u v = u v es gibt λ K \ {0} mit u = λu und v = λ v.