Lösungen der Trainingsaufgaben aus. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge

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Mathilde Reuter
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1 Lösungen der Trainingsaufgaben aus Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge

2 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens Version 22. Dezember 2016 Lösung zu Aufgabe 1.1 Gemäß Abbildung 1.1 und der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(α) = a c ; cos(α) =b c ; tan(α) =a b ; (1.1) sin(β) = b c ; cos(β) =a c ; tan(β) = b a. (1.2) Ferner gilt wegen γ =90 mit dem Satz des Pythagoras c 2 = a 2 + b 2 (1.3) sowie mit α + β + γ = 180 α + β =90. Damit lassen sich alle weiteren Größen (in LE bzw. Grad) berechnen. (i) Gemäß (1.2) gilt: c = b sin β = 15 sin 56 18,09. Dann lässt sich mithilfe von (1.2) die fehlende Seitenlänge mittels des Tangens berechnen: a = b tan β = 15 tan 56 10,12. Weiterhin ist α =90 β =34.

3 1 2 Kapitel 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens C a Gegenkathete des Winkels α Ankathete des Winkels α b β B c α Hypotenuse A Abbildung 1.1: Rechtwinkliges Dreieck aus Abbildung 1.2. (ii) Gemäß (1.3) gilt: Gemäß (1.1) gilt: tan α = a b = 3 5 Damit gilt β =90 α 59,04. (iii) Gemäß (1.1) gilt: c = = 34 5,83. = α =arctan ( ) 3 30,96. 5 a =tan(α) b =tan(45 ) 4=1 4=4. Alternativ ergibt sich a = b =4aus α =45, da ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt (d.h. α = β =45 ). Weiter folgt: (iv) Gemäß (1.2) gilt: c = = 32 5,66. b =tan(β) a =tan(15 ) 7 1,88. Gemäß der Winkelsumme ist α =90 β =75 und mit (1.2) folgt c = a cos β = 7 cos 15 7,25. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017

4 1 3 (v) Gemäß (1.3) gilt: b = c 2 a 2 = = 11 3,32. Gemäß (1.2) gilt: cos β = a c = 5 6 = β = arccos ( ) 5 33,56. 6 Damit ist α =90 β 56,44. (vi) Gemäß (1.2) gilt: a = c cos β =10 cos 60 =5, b = a tan β =5 tan 60 =5 3 8,66. Weiterhin ist α =90 β =90 60 =30. (vii) Mit β =90 α =90 70 =20 folgt aus (1.2): Weiterhin gilt gemäß (1.1): b = a tan β =9 tan 20 3,28. c = a sin α = 9 sin 70 9,58. (viii) Gemäß (1.2) gilt: sin β = b c = 5 8 = β =arcsin ( ) 5 38,68. 8 Damit ist α =90 α 51,32, so dass mit (1.3) folgt a = c 2 b 2 = = 39 6,24. (ix) Gemäß (1.1) gilt: a = c sin α =11 sin 33 5,99. Weiterhin ist β =90 α =90 33 =57, so dass mit (1.1) folgt: b = c sin β =11 sin 57 9,23. E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017 Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge

5 1 4 Kapitel 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens Lösung zu Aufgabe 1.2 (i) Gemäß Satz 1.8 gilt für eine Gerade der Form y = mx + b,dass m =tanα, wobei α den Steigungswinkel bezeichnet. Damit gilt: 5=tanα = α =arctan(5) 78,69. (ii) Gemäß der Zwei-Punkte-Form einer Geraden bzw. Satz 1.8 gilt: m = y 2 y 1 = 4 1 x 2 x 1 ( 1) 2 = 3 3 = 1. Dann folgt analog zum ersten Aufgabenteil, dass (iii) Gemäß Satz 1.9 gilt: Zunächst gilt: α =arctan( 1) = 45. g (x 0 )=tanα = α =arctan(g (x 0 )). g (x) =3x 2 +4x = g (2) = =20. Damit folgt: α = arctan(20) 87,14. (iv) Wegen f (x) =4x 3 +1muss an der Stelle x 0 gelten: tan m = tan 45 =4x =f (x 0 ) x 0 = 3 = =0. Mit f(x 0 )=f(0) = =3 hat die Tangente die Steigung m = tan 45 =1und verläuft durch den Punkt (0, 3). Es folgt somit, dass durch t(x) =x +3, x R, die gesuchte Tangentengleichung gegeben ist. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017

6 1 5 Lösung zu Aufgabe 1.3 Gemäß Satz 1.14 ist die Umrechnungsformel für einen im Gradmaß gemessenen Winkel α und x den entsprechend im Bogenmaß gemessenen Winkel gegeben durch x = 180 α α = x 180. (1.4) Bezeichne α jeweils den im Gradmaß gemessenen Winkel. (i) α = =20 (ii) α = 180 = 180 (iii) α = = 270 (iv) α = =18 (v) α = = 135 (vi) α = = 210 Lösung zu Aufgabe 1.4 Hier wird ebenfalls die Umrechnungsformel (1.4) verwendet. x bezeichne den im Bogenmaß gemessenen Winkel. (i) x = (ii) x = (iii) x = (iv) x = (v) x = (vi) x = = = = = = = E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017 Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge

7 1 6 Kapitel 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens Lösung zu Aufgabe 1.5 Gemäß Abschnitt gilt für einen Winkel α im Bogenmaß und den zugehörigen Kreisbogen b die Formel α b = r 180, wobei r die Länge des Radius bezeichnet. (i) Bezeichne b die Länge des Kreisbogens in dm. Dann gilt: b = = ,56. Damit gilt für den Umfang U =2r + b in dm: U = = ,56. (ii) Alle Längen seien in cm angegeben. Aus der Formel für den Umfang erhält man sofort: r = U b = = Weiterhin kann die Formel für die Bogenlänge nach α umgestellt werden: α = b 180 r = ,89. (iii) Alle Längen seien in m angegeben. Zunächst kann die Formel für den Umfang eines Kreises U Kreis =2r nach r umgestellt werden: r = U Kreis 2 = 15. Mit Umrechnungsformel 1.14 lässt sich die Formel für die Bogenlänge b in Abhängigkeit des Winkels im Bogenmaß herleiten: α b = r 180 = r 180 α = r x, wobei x den im Bogenmaß gemessenen Winkel bezeichnet (vergleiche dazu auch die Einleitung von Abschnitt 1.3.4). Es gilt also: b = 15 3 =5. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017

8 1 7 Lösung zu Aufgabe 1.6 C γ b a A α c β B Der Sinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck stets sin α a = sin β b = sin γ c gilt. Seien nun in der Folge alle Längen in Längeneinheiten [LE] gegeben. (i) Laut Sinussatz gilt: sin β = b a sin α = 5 3 sin 24 0,6779 = β arcsin(0,6779) 42,68. Damit ergibt sich für den fehlenden Winkel γ: γ = 180 α β ,68 = 113,32. Es folgt erneut mit dem Sinussatz: c = sin γ sin α a 6,77. (ii) Laut Sinussatz gilt: sin β = b c sin γ = 10 sin 4 45 = = 2 5 Für α folgt: α ,43 = 118,57. Dann folgt erneut mit dem Sinussatz: a = sin α sin γ c 12,42. (iii) Laut Sinussatz gilt: a = sin α sin β sin 36 b = 14 11,85. sin 44 = β =arcsin ( 2 ) 16,43. 5 E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017 Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge

9 1 8 Kapitel 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens Der fehlende Winkel ergibt sich aus γ = = 100. Dann gilt erneut mit dem Sinussatz: (iv) Laut Sinussatz gilt: c = sin γ sin β sin 100 b = 14 19,85. sin 44 sin γ = c a sin α = 6 9 sin 95 0,6641 = γ arcsin(0,6641) 41,61. Damit ergibt sich für den fehlenden Winkel Mit dem Sinussatz folgt wiederum: (v) Laut Sinussatz gilt: β ,61 = 43,39. b = sin β sin α a 6,21. sin γ = c b sin β = 7 11 sin 80 0,6267 = γ arcsin(0,6267) 38,81. Dann gilt für den fehlenden Winkel Mit dem Sinussatz folgt: α ,81 =61,19. a = sin α sin β b 9,77. (vi) Für den fehlenden Winkel folgt γ = =82. Dann gilt mit dem Sinussatz b = sin β sin 33 c = 12 6,6 sin γ sin 82 und (vii) Laut Sinussatz gilt: a = sin α sin γ sin 65 c = 12 10,98. sin 82 sin α = a 13 sin β = b 5 sin 110 2,44. Da der Sinus nur Werte zwischen 1 und 1 annimmt, existiert kein Dreieck mit den angegebenen Maßen. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017

10 1 9 (viii) Laut Sinussatz gilt: sin α = a c sin γ = 2 3 sin 78 0,6521 = α arcsin(0,6521) 40,7. Dann ergibt sich für den fehlenden Winkel β ,7 =61,3. Es gilt erneut laut des Sinussatzes: b = sin β sin γ c 10,76. (ix) Es ergibt sich sofort für den fehlenden Winkel γ = = 110. Dann gilt laut des Sinussatzes und b = sin β sin α c = sin γ sin α sin 25 a = 10 5,98 sin 45 sin 110 a = 10 13,29. sin 45 E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017 Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge

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