Kapitel 1: Fehleranalyse, Kondition, Stabilität

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1 Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 1: Fehleranalyse, Kondition, Stabilität Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 2015

2 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 1/18 Fehlerquellen Modellierungsfehler z.b. Ohmsches Gesetz u = Ri berücksichtigt nicht die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Messfehler z.b. digitaler Temperatursensor misst nur erste Nachkommastelle genau (+ zusätzliche Zeitverzögerung) beschränkte Rechengenauigkeit des Computers (üblicherweise 16 Stellen Genauigkeit) Ungenauigkeiten beim Lösungsverfahren z.b. Flächenberechnung unter einer Kurve (Integral) mittels summierter Trapezregel (siehe Kapitel 7) Entscheidende Frage Wie beeinflussen obige Fehler das Ergebnis numerischer Rechnungen?

3 1.1 Kondition

4 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 2/18 Einfluss von Fehlern Konkrete Frage Numerisches Verfahren soll F (p) bestimmen. Aber p ist fehlerbehaftet: p = p + p Frage: Wie weit weicht nun F ( p) von F (p) ab? Wie weit Mathematische Abstandsbegriff Norm

5 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 3/18 Erinnerung: Norm Definition (Norm) Sei V ein Vektorraum. : V [0, ) heißt Norm : 1) v = 0 v = 0 (Definitheit) 2) λv = λ v λ R, v V (absolute Homogenität) 3) v 1 + v 2 v 1 + v 2 v 1,v 2 V (Dreiecksungleichung) Bemerkungen Verallgemeinert den bekannten Betrag x auf allgemeine Vektorräume. Der Abstand zwischen zwei Vektoren v,w V ist definiert als v w

6 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 4/18 Beispiele für Normen a) Euklidische Norm im R n x 1 x 2 := x 12 + x x 2 x 2 n wobei x =. b) Betragssummennorm (1-Norm) im R n x n c) Maximumsnorm ( -Norm) im R n x 1 := x 1 + x x n x := max x i i=1,...,n d) Supremumsnorm ( -Norm) auf Funktionenraum f := sup f (t) wobei f : I R, I R ein Interval t I

7 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 5/18 Induzierte Matrixnorm Definition (Induzierte Matrixnorm) Sei M R m n und eine Norm auf R m bzw. R n. Dann heißt M := max x =1 Mx die induzierte Matrixnorm (und ist tatsächlich eine Norm auf dem Vektorraum R m n ). Bemerkungen Für induzierte Matrixnormen gilt: Mx M x d.h. die Normen sind kompatibel. Es gibt Matrixnormen, die nicht induziert sind, z.b. die Frobenius-Matrixnorm M F := m i=1 n j=1 m ij 2

8 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 6/18 Beispiele für induzierte Matrixnormen a) Zeilensummennorm M = max i=1,...,m n m ij j=1 welche durch auf R m bzw. R n induziert wird b) Spaltensummennorm M 1 = welche durch 1 induziert wird c) Spektralnorm M 2 = welche durch 2 induziert wird Konkrete Beispiele Tafel max j=1,...,n m m ij i=1 λ max (M M)

9 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 7/18 Konditionszahl Definition (Relative Konditionszahl) Sei F : R n R m differenzierbar und eine Norm auf R n bzw. R m. Die relative Konditionszahl von F bezüglich im Punkt p R n ist rel (p) := F (p) p F (p) κ Gut und schlecht gestellte Probleme κ rel (p) klein Problem gut gestellt (p) groß Problem schlecht gestellt κ rel Bemerkung Konditionszahl ist unabhängig von tatsächlich benutzter Lösungsmethode!

10 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 8/18 Kondition der Addition Addition F : R 2 R, ( p1 p 2 ) p 1 + p 2 Mit = 1 ist Also κ rel (p) = F (p) p [1 1] p = F (p) p 1 + p 2 [1 1] = 1 und p = p 1 + p 2. κ rel (p) = p 1 + p 2 = 1 p 1 + p 2 falls p 1 und p 2 gleiches Vorzeichen.

11 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 9/18 Problem der Auslöschung Kondition beliebig schlecht bei verschiedenen Vorzeichen Haben p 1 und p 2 verschiedene Vorzeichen, kann Addition beliebig schlecht gestellt sein. Konkretes Beispiel: p = ( ) ( ) , p = Relativer Fehler in Eingangsdaten (bzgl. -norm): ( 1 p p 1) = ( ) p = = 0, ABER: F (p) F ( p) F (p) = 1 ( 1) 1 = 2 0,0001

12 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 10/18 Kondition der Multiplikation Multiplikation F : R 2 R, ( p1 ) p p 1 p 2 2 κ rel (p) = [ p 2 ( ) p1 ] p 2 p 1 p 1 p 2 = 1 =... = 1 + max{ p 1, p 2 } min{ p 1, p 2 } Scheinbar schlecht gestellt für p 1 p 2 oder p 1 p 2 ABER: F (p) F ( p) F (p) = p 1 p 2 (p 1 + p 1 ) (p 2 + p 2 ) p 1 p 2 = p 1 p 2 + p 2 p 1 p 1 p 2 p 2 p 2 + p 1 p 1 = ( p1 p 1 p 2 p 2 d.h. bezüglich komponentenweisen relativen Fehler sehr gut gestellt! ) 1,

13 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 11/18 Kondition einer Matrix Matrix-Vektor-Multiplikation F : R n R n, p Mp für eine invertierbare Matrix M R n n κ M p rel (p) = Mp = M M 1 Mp M M 1 Mp Mp Mp = M 1 M Definition (Kondition einer Matrix) Sei M R n n eine invertierbare Matrix. Die Kondition von M (bezüglich ) ist κ(m) := M 1 M

14 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 12/18 Beispiel: Schnitt zweier Geraden x 2 g 2 x 2 x 1 g 1 g 2 g 1 x 1 g 1 : a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 g 2 : a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2

15 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 12/18 Beispiel: Schnitt zweier Geraden x 2 g 2 x 2 x 1 g 1 g 2 g 1 x 1 Ax = b x = A 1 b =: F (b)

16 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 12/18 Beispiel: Schnitt zweier Geraden x 2 g 2 x 2 x 1 g 1 g 2 g 1 x 1 A x = b + b

17 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 12/18 Beispiel: Schnitt zweier Geraden x 2 g 2 x 2 x 1 g 1 g 2 g 1 x 1 Ax = b x = A 1 b =: F (b) A = [ ] 0,3 1, b = 1 0,1 ( ) 0,5 2,5 κ 2 rel = A A 1 1,2 A = [ ] 0,3 1, b = 0,5 1 ( ) 0,5 0,5 κ 2 rel = A A 1 11,6

18 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 13/18 Einfluss der Fehler in den Matrixeinträgen Nach Definition gilt für Lösung x = x + x von A x = b + b dass x x κ(a) b b. Was passiert bei zusätzlichen Störungen in der Matrix A? Satz (Sensitivität von linearen Gleichungssystemen) Sei x = x + x die Lösung von (A + A) x = b + b, wobei Dann gilt A < 1 / A 1. ( x x κ(a) A 1 A 1 A A + b ). b

19 1.2 Stabilität einer Berechnung

20 Definition Stabilität Jede am Computer realisierte Berechnung F (p) stellt sich als Kette von elementaren Rechenschritten dar: F (p) = F N (F N 1 ( F 2 (F 1 (p)) )) ( ) Definition (Stabilität) Eine konkrete numerische Berechnung (Algorithmus) gegeben durch ( ) heißt stabil, wenn der durch die Einzelschritte erzeugte Fehler einen Gesamtfehler ergibt, der nicht wesentlich größer als die Kondition von F ist. Bemerkung Sei F (p) = F 2 (F 1 (p)). Dann gilt für die relativen Fehler δ F1, δ F2, δ p : δ F1 κ F1 (p) δ p δ F = δ F2 κ F2 (F 1 (p)) δ F1 κ F2 (F 1 (p)) κ F1 (p) δ p D.h. ( ) ist stabil, wenn die relative Konditionen von F i alle klein sind. HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 14/18

21 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 15/18 Beispiel Stabiliät Stabilität kann sehr stark von verwendetet Berechnungsmethode abhängen. Konkretes Beispiel: F (p) = p + 1 p für p 1 Tafel Schlussfolgerung Mathematisch einfachste Darstellung ist nicht immer die numerisch beste!

22 1.3 Zahlendarstellung am Computer

23 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 16/18 Basis, Exponent und Mantisse Fakt Jede reelle Zahl x R \ {0} lässt sich bezüglich Basis b N \ {0,1} wie folgt darstellen: ( ) x = ± d i b i b e i=1 wobei d 1 0, d 2, d 3,... {0,1,..., b 1} und e Z ist der Exponent. Die Zahl x b e = d i b i [b 1,1) heißt Mantisse b = 10 Dezimaldarstellung b = 2 Binärdarstellung i=1 π = ( ) 10 1 = ( ) 2 2

24 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 17/18 Maschinenzahlen Computer kann nur mit endlich vielen Daten arbeiten, d.h. nur folgende endliche Menge reeller Zahlen können dargestellt werden: Definition (Maschinenzahlen) ( m ) x = ± d i b i b e, M(b,m,r,R) := x R i=1 d 1,...,d m {0,1,...,b 1}, d 1 0, r e R wobei m N die sogenannte Mantissenlänge Häufig benutzter Datentyp double gemäß IEEE Standard 754: b = 2, m = 52, 1022 e 1023 (11 bit), ein Vorzeichenbit insgesamt 64 bit

25 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 1, Folie 18/18 Größte und kleinste Maschinenzahlen Größte und kleinste Maschinenzahlen b r 1 = 0, b r =: x MIN ist kleinste Zahl in M(b,m,r,R) b R 0,aa... a b R =: x MAX, a := b 1, ist größte Zahl in M(b,m,r,R) Rundung [ ] : R M(b,m,r,R), x [x] Es gilt für alle x [x MIN,x MAX ]: [x] x x b (m 1) =: eps (relative) Maschinengenauigkeit 2 Für Datentyp double gilt: x MIN = , x MAX , eps = ,

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