Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

Transkript

1 Dr. A. Caspar ETH Zürich, August BIOL-B GES+T PHARM Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total Total Vollständigkeit Bitte wenden!

2 Wichtige Hinweise zur Prüfung Prüfungsdauer: 3 Stunden. Erlaubte Hilfsmittel: A4-Seiten (nicht Blätter! mit persönlichen, von Hand geschriebenen Notizen. Keine (TaschenRechner. Wörterbuch für fremdsprachige Studierende. Bitte beachten Sie folgende Punkte: Tragen Sie jetzt Ihren Namen in das Deckblatt ein und geben Sie es am Ende der Prüfung als vorderstes Blatt Ihrer Arbeit ab. Legen Sie Ihre Legi offen auf den Tisch. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Soweit nicht anders angegeben, begründen Sie Ihre Lösungen. Dabei können Sie bekannte Formeln aus der Vorlesung und den Übungen ohne Herleitung verwenden. Schreiben Sie nicht mit Bleistift, rotem oder grünem Kugelschreiber. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgaben ist Ihnen freigestellt. Ordnen Sie jedoch am Ende der Prüfung die Aufgaben für die Abgabe. Wir erwarten nicht, dass Sie alle Aufgaben lösen. Versuchen Sie einfach Ihr Bestes! Verweilen Sie nicht zu lange bei einer Aufgabe, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet. Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe (MC-Aufgabe sind jeweils 4 Aussagen/Antworten angegeben, davon sind jeweils genau korrekt. Eine MC-Aufgabe ist genau dann korrekt gelöst, wenn Sie die korrekten Antworten mit und die inkorrekten mit kennzeichnen. Sie müssen also bei jeder MC- Aufgabe genau 4 Kreuze setzen und jedes muss jeweils an der en Stelle sein. Zum Beispiel ist folgende MC-Aufgabe nur mit diesen 4 Kreuzen korrekt gelöst. Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Bei den MC-Aufgaben werden nur die Antworten auf den Aufgabenblättern bewertet. Die Antworten in den MC-Aufgaben müssen nicht begründet werden. Viel Erfolg! Siehe nächstes Blatt!

3 Aufgaben. ( Punkte Die Antworten in dieser Aufgabe müssen Sie nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. a Gegeben seien die Funktionen f und g mit f(x = x3 5 x und g(x = x + x +. Berechnen Sie: b Berechnen Sie lim (f(x g(x =. x h lim =. h h Hinweis: Eine Möglichkeit ist, den Bruch geschickt zu erweitern und eine binomische Formel anzuwenden. c Gegeben sei Es gilt f(π = mit π = 3, 4... f(x = sin3 (x cos(x + sin(x cos(x. Bestimmen Sie zwei Nullstellen x, x der Funktion g mit g(x = e f(x. x = x =. d Seien a > eine reelle Zahl und f eine Funktion mit f(x = Für welches a ist f stetig in x =? a =. e Berechnen Sie das bestimmte Integral { x 4 a+x falls x <, falls x x x 3 dx =. Bitte wenden!

4 f MC-Aufgabe Gegeben seien zwei Funktionen f : D f R, f(x = e x, g : D g R, g(x = x, dabei sind D f der grösstmögliche Definitionsbereich von f und D g der von g. Wir betrachten die Kompositionen f g : D f g R, g f : D g f R, f g(x = f(g(x, g f(x = g(f(x. Dabei sind D f g der grösstmögliche Definitionsbereich der Komposition f g und D g f der grösstmögliche Definitionsbereich der Komposition g f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen oder sind und kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. Die Definitionsbereiche sind gleich: D f g = D g f. Die Kompositionen sind gleich: g f = f g. Die Ableitungsfunktionen sind gleich: (g f = (f g. Die Kompositionen f g und g f haben eine gemeinsame Extremalstelle. g MC-Aufgabe Die Fläche A sei die rechte Hälfte der Kreisscheibe um Null mit Radius R =, das heisst, A = {(x, y R x + y, x }. y R x A Welche der folgenden Integrale haben denselben Wert wie der Flächeninhalt von A? Kreuzen Sie die entsprechenden Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. π π x dx. x dx. dϕ. dϕ. Siehe nächstes Blatt!

5 . (8 Punkte Die Antworten in dieser Aufgabe müssen Sie nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. Hier bezeichnet i die imaginäre Einheit. Es gilt also i =. a MC-Aufgabe Welche der folgenden Gleichungen sind? Kreuzen Sie die entsprechenden Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. i 7 = i 9. i 8 = i. i 5 = i 9. i = i. b MC-Aufgabe Die Skizze unten zeigt ein Gebiet B in der komplexen Ebene mit B = {z = re iϕ C r 4, π ϕ 5π }. y B i x Entscheiden Sie, für welche Zahlen z und z das Produkt z = z z in B liegt: z = z z B? Kreuzen Sie die entsprechenden Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. z = i und z =. z = i und z = + i. z = 5e π 5 i und z = e π 6 i. z = 3e π 3 i und z = e π 4 i. Bitte wenden!

6 c Gegeben sei das Polynom P (z = 5z + 3z 6 + 4z 7 z + 3. Es gilt P (i =. Bestimmen Sie eine weitere Nullstelle z von P. z = d Bestimmen Sie die Lösungen z, z und z 3 der Gleichung z 3 = 7 in kartesischer Darstellung. z =, z =, z 3 =. Siehe nächstes Blatt!

7 3. ( Punkte a MC-Aufgabe Gegeben sei die Matrix A = 3 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen oder sind und kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an.. Alle Eigenwerte von A sind verschieden von. Die Spaltenvektoren von A sind linear abhängig. Es ist det(a =. Die Matrix A ist invertierbar. b MC-Aufgabe Gegeben sei die Matrix A = ( 4 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen oder sind und kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an.. Der Vektor Der Vektor Der Vektor ( i ( i ( + i i ist ein Eigenvektor von A. ist ein Eigenvektor von A. = ( ( + i ( + i ( i ist ein Eigenvektor von A. Der Vektor ( + i + i = ( ( + i i ( + i ist ein Eigenvektor von A. Bitte wenden!

8 c Gegeben sei die Matrix A = 3. i Ein Eigenwert von A ist λ =. Bestimmen Sie einen zugehörigen Eigenvektor. ii Zeigen Sie, dass v = 3 ein Eigenvektor von A ist und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert. d Gegeben sei das homogene lineare Gleichungssystem A x = mit α x α x =. 4 α x 3 Bestimmen Sie alle α R, für die das lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung hat. Siehe nächstes Blatt!

9 4. ( Punkte a MC-Aufgabe Betrachten Sie die Differentialgleichung y (x 8y (x 36y(x = ( und das System von Differentialgleichungen { y (x = a y (x + b y (x y (x = c y (x + d y (x } ( wobei a, b, c, d reelle Konstanten sind. In welchen Fällen können Sie das System ( mit Hilfe der Differentialgleichung ( lösen? (Sie müssen diese Lösungen nicht bestimmen. Kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. Für a = 7, b =, c = 53, d =. Für a =, b = 53, c =, d = 7. Für a = 5, b = 6, c = 6, d = 4. Für a =, b =, c =, d =. b Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems mittels Trennung der Variablen. y (x = x xy(x + xy (x, y( =, Hinweis: Klammern Sie x aus und verwenden Sie eine binomische Formel. c Wir betrachten die folgende Differentialgleichung y (x + x y(x e x +x =. (3 i Schreiben Sie die dazugehörige homogene Differentialgleichung auf und bestimmen Sie deren allgemeine Lösung. ii Bestimmen Sie nun die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (3 mittels Variation der Konstanten. Bitte wenden!

10 5. (8 Punkte Gegeben sei die Funktion f : R R, (x, y f(x, y mit f(x, y = 3x 3 + y 9x + 4y. a Bestimmen Sie die kritischen Punkte von f. b Entscheiden Sie nur für den kritischen Punkt mit positiver x-koordinate, ob es sich um ein lokales Minimum, lokales Maximum, oder einen Sattelpunkt handelt. c Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen G f von f im Punkt (,,. d Bestimmen Sie x so, dass der Punkt (x,, auf der Tangentialebene aus Teil c liegt. e MC-Aufgabe Die Fläche A sei die rechte Hälfte der Kreisscheibe um Null mit Radius R =. y R x A Welche der folgenden Integrale berechnen den Flächeninhalt von A? Kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. dx dy mit B = {(x, y R x, x y x }. B x dx dy mit B = {(x, y R x, x y x }. B dr dϕ mit B B = {(x, y = (r cos(ϕ, r sin(ϕ R r, π ϕ π }. r dr dϕ mit B B = {(x, y = (r cos(ϕ, r sin(ϕ R r, π ϕ π }. Siehe nächstes Blatt!

11 6. ( Punkte a y (, σ 3 (, σ σ (, (, (, In der Skizze oben sehen Sie drei ebene Kurven σ, σ und σ 3, welche den Rand des dunklen Dreiecks beschreiben. Geben Sie für σ, σ und σ 3 jeweils eine Funktion an, welche die Kurve parametrisiert. Berücksichtigen Sie dabei die Durchlaufrichtung. Schreiben Sie Ihre Antwort direkt auf das Aufgabenblatt: ( σ : t σ (t =, t ( σ : t σ (t =, t ( σ 3 : t σ 3 (t =, t x b Gegeben seien drei ebene Kurven γ, γ und γ 3 parametrisiert durch ( t γ : t γ (t =, t, ( t γ : t γ (t =, t, t ( γ 3 : t γ 3 (t =, t, t Zeichnen Sie die Kurven γ, γ und γ 3 in ein Koordinatensystem. Geben Sie dabei auch jeweils die Durchlaufrichtung an. Bitte wenden!

12 c Seien γ, γ und γ 3 die Kurven aus Teilaufgabe b. Durchlaufen wir erst γ, dann γ und dann γ 3, erhalten wir eine geschlossene Kurve γ. Sei K : R R das Vektorfeld K : (x, y K(x, y = (P (x, y, Q(x, y = (x + y sin(xy, y + x sin(xy. i Berechnen Sie mit der Formel von Green das Kurvenintegral für das Vektorfeld K entlang γ: K dγ = (x + y sin(xydx + (y + x sin(xydy. γ γ ii Berechnen Sie das Kurvenintegral für das Vektorfeld K entlang γ K dγ = (x + y sin(xydx + (y + x sin(xydy. γ γ iii Das Kurvenintegral für K entlang γ 3 ist gleich, K dγ =. Verwenden Sie γ 3 dies und Ihre Ergebnisse aus i und ii, um das Kurvenintegral für das Vektorfeld K entlang γ zu berechnen: K dγ = (x + y sin(xydx + (y + x sin(xydy. γ γ Hinweis: Falls Sie i und / oder ii nicht lösen konnten, rechnen Sie mit K dγ = γ und / oder K dγ =. γ