Übungsstunde: Informatik 1 D-MAVT
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- Brigitte Bretz
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1 Übungsstunde: Informatik 1 D-MAVT Daniel Bogado Duffner Übungsslides unter: n.ethz.ch/~bodaniel Bei Fragen: bodaniel@student.ethz.ch Daniel Bogado Duffner
2 Ablauf Quiz und Recap Floating Point Binary Representation Funktionen Übung 4 Vorstellung und Tipps Daniel Bogado Duffner
3 If - / Else Ausdrücke 7 Fehler Daniel Bogado Duffner
4 If - / Else Ausdrücke // iostream und using namespace std fehlt //void main geht nicht, muss int sein //Pfeile in die falsche Richtung, std fehlt //falscher Vergleich, kein == //h ist in scope main nicht bekannt und Variable kann auch nicht in der Bedingung deklariert werden //if und else vertauscht, falsche reihenfolge //return nur richtig wenn nicht void //endl ist ohne std nicht bekannt Daniel Bogado Duffner
5 Binäre Darstellung von Floating Point Zahlen binär dezimal /2 1/4 1/8 Darstellung von: 1.9 x bi x - bi Wenn x grösser als 1 ist, wird die binäre Zahl 1, ansonsten 0 - xneu = 2 * (xalt bi) - Bis sich ein x wiederholt oder x = 0 Daniel Bogado Duffner
6 Binäre Darstellung von Floating Point Zahlen Übung: Schreibe die Binäre Darstellung folgender Zahlen: (i) 0.25 (ii) 11.1 Lösung: (i) 0.01 (ii) Daniel Bogado Duffner
7 Ein 10 bit floating point Typ - Beispiel Wir erstellen uns unseren eigenen 10 bit floating point Typ zur Übung Wir wollen so viele verschiedene Nicht Integer Zahlen wie möglich speichern Erster Ansatz: Wissenschaftliche Schreibweise: 2.73 * 10 ^ (12) Wir benutzen aber statt 10 ^ einfach 2 ^ Vor dem. nur ein bit -> wir haben damit 9 weitere bits zur Verfügung 5 bits für die Dezimalzahl, 4 bits für Exponent * 2 ^ 15 = oder * 2 ^ 0 = Man kann das benennen als Floating Point System F(beta, p, e_min, e_max) Bei uns beta=2 (die Basis), p = 6 (Ziffern die kein Exponent sind) e_min = - 8 (unsigned int system für 4 bit), e_max = 7 => F(2,6,-8,7) Daniel Bogado Duffner
8 Ein 10 bit floating point Typ - Beispiel Wir erstellen uns unseren eigenen 10 bit floating point Typ zur Übung Man kann das benennen als Floating Point System F(beta, p, e_min, e_max) Bei uns beta=2 (die Basis), p = 6 (Ziffern die kein Exponent sind) e_min = - 8 (unsigned int system für 4 bit), e_max = 7 => F(2,6,-8,7) ABER: 2 Änderungen: Wir wollen negative Zahlen + Immer nur eine Ziffer vor dem. => F*(2,6,-8,7) -> * 2 ^ 7 (grösste Zahl); *2 ^ 7 (kleinste Zahl) oder * 2 ^ -8 (kleinste positive Zahl) Problem: Darstellung von 0: Lösung Wenn wir Exponent -8 haben, besondere Zahlen, Beispiel: = 0, = + unendlich, = -unendlich und = Keine Zahl => F*(2,6,-7,7) Daniel Bogado Duffner
9 Floating Point System F*(2,24,-126,127) Das echte Float System funktioniert genauso (IEEE 754 Standard) Für Float: F* (2,24,-126,127) Für Double: F*(2,53,-1022,1023) Übung: Grösste und kleinste positive Zahl Welche Zahlen sind nach diesem Standard die grössten und kleinsten Float und Double Zahlen? Lösung: Kleinste Zahl immer 2^e_min also 2 ^ (-126), für double 2 ^ (-1022) Grösste Zahl 2 ^ e_max also bei float: * 2 ^ 127 bzw bei double * 2 ^ 1023 Formel für grösste Zahl: (1 1 β p ) β e max +1 Daniel Bogado Duffner
10 Floating Point Guidelines
11 Guidelines Guideline 1: them «Do not test two floating point numbers for equality, if at least one of was rounded before.» 11
12 Guideline 1 Example Guideline 1: them «Do not test two floating point numbers for equality, if at least one of was rounded before.» Example: This is false double a = 1.1; if (100 * a == 110) std::cout << "no output\n"; 12
13 Guideline 1 Example Guideline 1: them «Do not test two floating point numbers for equality, if at least one of was rounded before.» Example: This is false Problem: 1.1 not representable double a = 1.1; if (100 * a == 110) std::cout << "no output\n"; 13
14 Guideline 1 Example Guideline 1: them «Do not test two floating point numbers for equality, if at least one of was rounded before.» Example: This is false Problem: 1.1 not representable double a = 1.1; if (100 * a == 110) std::cout << "no output\n"; (rounding) 24bit 1.1 = =
15 Guidelines Guideline 1: them «Do not test two floating point numbers for equality, if at least one of was rounded before.» Guideline 2: «Avoid the addition of numbers of extremely different sizes!» 15
16 Guideline 2 Example Guideline 2: «Avoid the addition of numbers of extremely different sizes!» Example: float a = f + 1.0f; if (a > f) std::cout << "This is not output... \n"; 16
17 Guideline 2 Example Guideline 2: «Avoid the addition of numbers of extremely different sizes!» Problem: Example: Significand too short float a = f + 1.0f; if (a > f) std::cout << "This is not output... \n"; 17
18 Guideline 2 Example Guideline 2: «Avoid the addition of numbers of extremely different sizes!» Problem: Example: Significand too short float a = f + 1.0f; if (a > f) std::cout << "This is not output... \n"; 24bit = = = =
19 Guideline 2 Example Guideline 2: «Avoid the addition of numbers of extremely different sizes!» Problem: Example: Significand too short float a = f + 1.0f; if (a > f) std::cout << "This is not output... \n"; (rounding) 24bit = = = =
20 Guidelines Guideline 1: them «Do not test two floating point numbers for equality, if at least one of was rounded before.» Guideline 2: «Avoid the addition of numbers of extremely different sizes!» Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» 20
21 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: Consider sequence x n+1 = 6x n 1 Computing some sequences for given x 0 : e.g. x 0 = 1 x 1 = 5, x 2 = 29, x 3 = 173, e.g. x 0 = 0.2 x 1 = 0.2, x 2 = 0.2, x 3 = 0.2, 21
22 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: Consider sequence x n+1 = 6x n 1 Computing some sequences for given x 0 : e.g. x 0 = 1 x 1 = 5, x 2 = 29, x 3 = 173, e.g. x 0 = 0.2 x 1 = 0.2, x 2 = 0.2, x 3 = 0.2, 22
23 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: Consider sequence x n+1 = 6x n 1 Computing some sequences for given x 0 : e.g. x 0 = 1 x 1 = 5, x 2 = 29, x 3 = 173, e.g. x 0 = 0.2 x 1 = 0.2, x 2 = 0.2, x 3 = 0.2, 23
24 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: Consider sequence x n+1 = 6x n 1 Computing some sequences for given x 0 : e.g. x 0 = 1 x 1 = 5, x 2 = 29, x 3 = 173, e.g. x 0 = 0.2 x 1 = 0.2, x 2 = 0.2, x 3 = 0.2, 24
25 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: Consider sequence x n+1 = 6x n 1 Computing some sequences for given x 0 : e.g. x 0 = 1 x 1 = 5, x 2 = 29, x 3 = 173, e.g. x 0 = 0.2 x 1 = 0.2, x 2 = 0.2, x 3 = C++ claims 0.2, x
26 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: What went wrong? float represents 0.2 as Thus: 6 x but rather: x 1 = x 2 = x 3 =
27 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: What went wrong? float represents 0.2 as Thus: 6 x but rather: x 1 = x 2 = x 3 =
28 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: What went wrong? float represents 0.2 as Thus: 6 x but rather: x 1 = x 2 = x 3 =
29 Guideline 3 Example Guideline 3: «Avoid the subtraction of numbers of similar sizes!» Example: What went wrong? float represents 0.2 as Thus: 6 x but rather: x 1 = x 2 = x 3 = Note how error increases! 29
30 Funktionen Definition und Deklarierung void funktiong ( ); // Deklaration von Funktion g void funktionf ( ) { g( ); // Deklaration und Definiton von F void funktiong ( ) // Definition von g { f( ); Daniel Bogado Duffner
31 Funktionen Pre und Post Bedingungen Durch Pre und Post Bedingungen können wir Funktionen verwenden ohne zu wissen, was eigentlich in der Funktion passiert Beispiel: Cosinus Funktion aus cmath-library // PRE: Wert stellt einen Winkel in radian dar. Ein Radian ist äquivalent zu 180/PI grad // POST: Cosinus von x in radian double cos (double x); Bedingung: Einfügen von Bibliothek #include <cmath> Andere Funktion aus cmath: cos, sin, tan, log, exp, log10, pow, sqrt Bei Funktionen immer dazuschreiben, welche die Pre und Post Bedingungen sind Daniel Bogado Duffner
32 Funktionen Pre und Post Bedingungen Bei Funktionen immer dazuschreiben, welche die Pre und Post Bedingungen sind // PRE: y!= 0 // POST: returns Quotien x/y double quotient (double x, double y){ return x / y; Daniel Bogado Duffner
33 Exercise 1
34 Exercise 1 Find PRE- and POSTconditions for this function. 1. Function: double f (const double i, const double j, const double k) { if (i > j) if (i > k) return i; else return k; else if (j > k) return j; else return k; (From: Script Exercise 79) 34
35 Exercise 1 1. Function: PRE-Condition: (not needed) POST-Condition: // POST: return value is // the maximum of // i,j and k double f (const double i, const double j, const double k) { if (i > j) if (i > k) return i; else return k; else if (j > k) return j; else return k; (From: Script Exercise 79) 35
36 Exercise 1 Find PRE- and POST-conditions for this function. 2. Function: double g (const int i, const int j) { double r = 0.0; for (int k = i; k <= j; ++k) r += 1.0 / k; return r; (From: Script Exercise 79) 36
37 Exercise 1 2. Function: double g (const int i, const int j) { double r = 0.0; for (int k = i; k <= j; ++k) r += 1.0 / k; return r; PRE-Condition: // PRE: 0 not contained in {i,..., j POST-Condition: // POST: return value is the sum // 1/i + 1/(i+1) /j (From: Script Exercise 79) 37
38 Exercise 2
39 Exercise 2 Find 3 mistakes in this program. # include <iostream> double f (const double x) { return g(2.0 * x); bool g (const double x) { return x % 2.0 == 0; void h () { std::cout << result; int main () { const double result = f(3.0); h(); return 0; (From: Script Exercise 82) 39
40 Exercise 2 # include <iostream> Problem 1: g() not yet known scope of g starts later double f (const double x) { return g(2.0 * x); bool g (const double x) { return x % 2.0 == 0; void h () { std::cout << result; int main () { const double result = f(3.0); h(); return 0; (From: Script Exercise 82) 40
41 Exercise 2 # include <iostream> Problem 1: g() not yet known scope of g starts later double f (const double x) { return g(2.0 * x); bool g (const double x) { return x % 2.0 == 0; Problem 2: Modulo no modulo for double void h () { std::cout << result; int main () { const double result = f(3.0); h(); return 0; (From: Script Exercise 82) 41
42 Exercise 2 # include <iostream> Problem 1: g() not yet known scope of g starts later double f (const double x) { return g(2.0 * x); bool g (const double x) { return x % 2.0 == 0; Problem 2: Modulo no modulo for double Problem 3: h() does not «see» result result is out-of-scope void h () { std::cout << result; int main () { const double result = f(3.0); h(); return 0; (From: Script Exercise 82) 42
43 Exercise 3
44 Exercise 3 #include <iostream> What is the return value of this program? You can neglect possible over- or underflows for this exercise. int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 44
45 Exercise 3 #include <iostream> i * f(i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 45
46 Exercise 3 #include <iostream> i * f(i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); f(i) void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 46
47 Exercise 3 #include <iostream> i * f(i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); i*i void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 47
48 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); i*i void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 48
49 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); f(f(i)) void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 49
50 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); f(f(i)) f(i) void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 50
51 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); f(f(i)) i*i void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 51
52 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); f(i*i) i*i void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 52
53 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); f(i*i) void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 53
54 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * f(f(i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); (i*i)*(i*i) void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 54
55 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * ((i*i)*(i*i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); (i*i)*(i*i) void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 55
56 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * ((i*i)*(i*i)) int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 56
57 Exercise 3 #include <iostream> i * (i*i) * ((i*i)*(i*i)) This is int f (const int i) { return i * i; int g (const int i) { return i * f(i) * f(f(i)); void h (const int i) { std::cout << g(i) << "\n"; int main () { int i; std::cin >> i; h(i); return 0; (From: Script Exercise 81) 57
58 Aufgabe 1: Floating Point Darstellung, Umwandlung zwischen Binär und dezimal -> Vorlesungsfolien, Slides hier aus der Übung + Skript Aufgabe 2: Liegt ein Punkt auf der Parabel: - Ist eine Toleranz sinnvoll? Aufgabe 3: Rundung von Float Zahlen -> Wichtig, keine Rundungsfunktion verwenden -> 0 Punkte Aufgabe 4: Selbes Verfahren verwenden wie ganz zu Beginn (der Übung + Vorlesung Slide 20 ff) und in Code formulieren Aufgabe 5: Fehler finden Übung 4 - Tipps und Tricks Daniel Bogado Duffner
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