Abiturprüfung Mathematik 2013 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 2 Lösungen

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Klaudia Fried
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1 1 Abiturprüfung Mathematik 2013 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 2 Lösungen klaus_messner@web.de

2 2 Aufgabe A 2.1 Ein zunächst leerer Wassertank einer Gärtnerei wird von Regenwasser gespeist. Nach Beginn eines Regens wird die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion r mit r t = e 0,5t e t ; 0 t 12 beschrieben (t in Stunden seit Regenbeginn, r(t) in Liter pro Stunde). a) Bestimmen Sie die maximale momentane Zuflussrate. In welchem Zeitraum ist diese Zuflussrate größer als 2000 Liter pro Stunde? Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab? (6 VP)

3 3 b) Wie viel Wasser befindet sich drei Stunden nach Regenbeginn im Tank? Zu welchem Zeitpunkt sind 5000 Liter im Tank? (3 VP) c) Zur Bewässerung von Gewächshäusern wird nach 3 Stunden begonnen, Wasser aus dem Tank zu entnehmen. Daher wird die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Tank ab diesem Zeitpunkt durch die Funktion w mit w t = r t 400; 3 t 12 beschrieben (t in Stunden seit Regenbeginn, w(t) in Liter pro Stunde). Wie viel Wasser wird in den ersten 12 Stunden nach Regenbeginn entnommen? Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge im Tank ab? Bestimmen Sie die maximale Wassermenge im Tank. (4 VP)

4 4 Aufgabe A 2.2 Gegeben sei die Funktion f mit f x = sin π x für 0 x 1. Der Graph von f begrenzt mit der x-achse eine Fläche mit Inhalt A. Berechnen Sie A exakt. Der Graph einer ganzrationalen Funktion g zweiten Grades schneidet die x- Achse bei x = 0 und x = 1 und schließt mit der x-achse eine Fläche ein, deren Inhalt halb so groß wie A ist. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von g. (4 VP)

5 5 Lösung Aufgabe A 2.1 a) Maximale momentane Zuflussrate Geben Sie den Funktionsterms bei Y 1 im GTR ein und lassen Sie sich den Graphen im y-intervall [0; 3000] und im t-intervall [0; 12] zeichnen. Mit 2ND CALC MAXIMUM erhalten Sie die maximale Zuflussrate bei t = 1,38 mit einem Wert von r(t) = 2500 (Litern pro Stunde) y Skizze des Graphen von r t = e 0,5t e t r t t Ergebnis: Nach ca. 1,38 Stunden erreicht die Zuflussrate ihren maximalen Wert von Litern pro Stunde.

6 6 Zeitraum für Zuflussrate > 2000 Geben Sie bei Y 2 im GTR den Wert 2000 ein und lassen Sie sich damit zusätzlich zum Graphen von r(t) die Gerade y = 2000 zeichnen. Mit 2ND CALC INTERSECT bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte mit dem Graphen von r(t) bei t 1 = 0,647 und t 2 = 2,571. y Skizze des Graphen von r t = e 0,5t e t y = 2000 t 1 t 2 r t t Ergebnis: Für 0,647 < t < 2,571 liegt die Zuflussrate über Litern pro Stunde.

7 r t = e 0,5t e t Wahlteil 2013 Analysis A 2 7 Zeitpunkt der stärksten Abnahme Zu- und Abnahme der momentanen Zuflussrate wird durch die Funktion r (t) angegeben. Geben Sie nun bei Y 2 im Y-Editor den Ausdruck nderiv(y 1,X,X) an und lassen Sie sich den Graphen der Ableitung im y-intervall [ 700; 700] und im x-intervall [0; 12] zeichnen. Mit 2ND CALC MINIMUM bestimmen Sie den minimalen Wert bei t = 2,77. Ergebnis: Etwa beim Zeitpunkt t = 2,77 nimmt die Zuflussrate am stärksten ab. y Skizze des Graphen von r t r t t

8 8 b) Wassermenge nach drei Stunden Die gesuchte Wassermenge ist gegeben durch V = r t dt 0 3 y Skizze des Graphen von r t = e 0,5t e t Diesen Ausdruck geben Sie im GTR im Berechnungsmodus in der Form fnint(y 1,X,0,3) ein und erhalten den gerundeten Wert r t t Ergebnis: Nach 3 Stunden befinden sich etwa Liter Wasser im Tank.

9 9 Zu welchem Zeitpunkt sind Liter im Tank? Die Wassermenge zum Zeitpunkt T im Tank ist gegeben durch V(T) = r t dt. Gesucht ist 0 also ein T mit V(T) = Geben Sie hierzu den Ausdruck fnint(y 1,X,0,X) bei Y 2 und 5000 bei Y 3 im GTR ein und lassen Sie sich die Graphen Y 2 und Y 3 zeichnen. Y 2 gibt die Wassermenge zum Zeitpunkt T an. T Mit 2ND CALC INTERSECT bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Kurven und erhalten T = 2,46. y Skizze des Graphen von V(T) V T T Ergebnis: Nach etwa 2,46 Stunden befinden sich Liter Wasser im Tank.

10 w t = r t 400 Wahlteil 2013 Analysis A 2 10 c) Wasserentnahme in den ersten 12 Stunden Die Funktion w(t) gilt drei Stunden nach Regenbeginn und beschreibt die momentane Änderungsrate bestehend aus der Zuflussrate r(t) und einem konstanten Abfluss von 400 Litern pro Stunde. In den ersten 3 Stunden nach Regenbeginn gibt es noch keinen Abfluss. Von der dritten bis zur zwölften Stunde, also neun Stunden lang, fließen 400 Liter Wasser pro Stunde ab, das sind dann = Liter Wasser. Ergebnis: Nach den ersten 12 Stunden sind Liter Wasser abgeflossen.

11 11 Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge im Tank ab? Die Funktion w(t) beschreibt die Änderungsrate der y Wassermenge. Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Werte bedeuten Abfluss. Gesucht ist also die erste Nullstelle von w(t) im Bereich 3 t 12 bei der positive Werte in negative Werte übergehen. Geben Sie hierzu den Funktionsterm von w(t) im GTR z.b. bei Y 2 ein und lassen Sie sich den Graphen im x-intervall [1; 12] und y-intervall [ 600; 2500] zeichnen. Mit 2ND CLAC ZERO erhält man die Nullstelle bei x = 6,35. w t = r t 400 t Ergebnis: Nach etwa 6,35 Stunden nimmt die Wassermenge im Tank ab.

12 12 Maximale Wassermenge im Tank Wie in der vorigen Teilaufgabe gezeigt, nimmt die Wassermenge zum Zeitpunkt t = 6,35 erstmals ab, d.h. dass sich zum Zeitpunkt t = 6,35 das meiste Wasser im Tank befindet. Damit ist die Wassermenge gegeben durch: V max = 0 3 r t dt 6,35 + w t dt Wenn man r t bei Y 1 und w t bei Y 2 einträgt liefert der GTR nach Eingabe des Ausdrucks fnint(y 1,X,0,3)+ fnint(y 2,X,3,6.35) den Wert 7.841,59. Ergebnis: Die maximale Wassermenge im Tank beträgt etwa Liter. 3

13 13 Lösung Aufgabe A 2.2 Flächeninhalt y f x = sin π x Es gilt: A = 1 sin πx dx 1 = 1 π cos πx 0 A 0 = 1 π cos π 1 π cos 0 x = 1 π 1 π = 2 π Ergebnis: Die gesuchte Fläche beträgt exakt 2 π FE.

14 f x = sin π x 0 x 1 14 Funktionsgleichung für g Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die allgemeine Form g x = ax 2 + bx + c. Die x-achse wird bei x = 0 und x = 1 geschnitten, d.h. es gilt g(0) = 0 und g(1) = 0. Aus g(0) = 0 erhält man c = 0. Aus g(1) = 0 erhält man I. a + b = 0. Die Fläche zwischen x = 0 und x = 1 ist gegeben durch A 2 = 0 1 ax 2 + bx dx 1 = 1 3 ax bx2 0 = 1 3 a b Laut Aufgabenstellung soll A 2 halb so groß sein, wie die Fläche A aus dem vorangehenden Aufgabenteil. Somit gilt II. 1 3 a b = 1 π.

15 15 Aus I. a + b = 0 folgt b = a. Eingesetzt in Gleich II. folgt 1 3 a 1 2 a = 1 6 a = 1 π und damit a = 6 π sowie b = 6 π. Ergebnis: Der Funktionsterm von g lautet g x = 6 π x2 + 6 π x.

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