Deckungskapital. Proseminar Versicherungsmathematik. TU Graz. 11. Dezember 2007

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1 Deckungskapital Gülnur Adanç Proseminar Versicherungsmathematik TU Graz 11. Dezember

2 Inhaltsverzeichnis 1 Deckungskapital Prospektive und Retrospektive Methode Prospektive Methode Retrospektive Methode Die Rekursive Darstellung Das Überlebensrisiko

3 Deckungskapital 2 1 Deckungskapital Definition: Das Deckungskapital ist die zu einem bestimmten Zeitpunkt vorhandene Summe der - mit dem Rechnungszins verzinslich angesammelten - Sparbeiträge. Die Sparbeiträge einer Kapitalbildenden Lebensversicherung werden vom Versicherer vereinnahmt, mit dem Rechnungszins der Deckungsrückstellung verzinst und zur Finanzierung des garantierten Erlebensfallkapital verwendet. Das Deckungskapital ist auch jenes Kapital, das die Versicherung zur Abdeckung des Risikos benötigt, das sie durch den Versicherungsvertrag eingegangen ist.

4 Deckungskapital Prospektive und Retrospektive Methode Prospektive Methode Das prospektive Deckungskapital ist die Differenz zwischen dem Barwert der zugesagten Leistungen des Versicherungsunternehmers einerseits und dem Barwet der vom Versicherungsnehmer zu leistenden Prämien andererseits. Anmerkung: Die Prospektive Methode ist der Barwert (abgezinst mit dem Rechnungszins) der zukünftigen Leistungen, die bereits durch Beitragszahlungen durch den Versicherungsnehmer gedeckt sind. Ist die Prospektive Methode größer 0, so bestehen Reserven. Der Versicherungsnehmer hat in der Vergangenheit mehr Beiträge eingezahlt als für die Deckung der Leistungen nötig war. Ist die Prospektive Methode kleiner 0, so hatte der Versicherungsnehmer in der Vergangenheit Anspruch auf Leistungen die höher waren als seine Beiträge. Ins prospektive Deckungskapital gehen Schätzungen über das zukünftige Zinsniveau ein, die sich von Jahr zu Jahr ändern können.

5 Deckungskapital Retrospektive Methode Darunter versteht man die Deckungsrückstellungen, die aufgrund der aufgezinsten Einnahmen (Beiträge) und der rechnungsmäßigen Ausgaben (Kostenzuschläge, Risikobeiträge) ermittelt werden. Anmerkung: Die Prämien werden nach den gleichen Rechnungsgrundlagen ermittelt wie die Leistungsbarwerte, damit das Äquilavenzprinzip anwendbar ist. Hier wird im Gegensatz zum prospektiven Deckungskapital in die Vergangenheit geschaut. Im retrospektiven Deckungskapital gehen nur fixe, das heißt bekannte Größen ein.

6 Deckungskapital Die Rekursive Darstellung Das (Netto)deckungskapital einer allgemeinen Versicherung am Ende des Jahres k kv = c k+j+1 v j+1 jp x+k q x+k+j Π k+j v j jp x+k j=0 j=0 c k+j+1... Das im k + j + 1 -ten Versicherungsjahr versicherten Kapital v j+1... Diskontierungsfaktor zu einem j + 1 Jahre früheren Zeitpunkt j P x+k... j-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines x + k - Jährigen qx + k + j... 1-Jährige Sterbenswahrscheinlichkeit eines x + k + j-jährigen k+j... Jährliche Prämie Beziehung zum Deckungskapital am Ende des Jahres k + h. Wir spalten die ersten h Summanden ab, und substituieren von jp x+k = h P x+k j h P x+k+h und führen einen neuen Summationsindex ein : j = j-h So erhält man eine Beziehung zwischen k V und k+h V h 1 kv + Π k+j v j jp x+k = j=0 h 1 c k+j+1 v j+1 jp x+k q x+k+j + h P x+k v h k+hv j=0 Im Spezialfall h = 1 lautet die rekursive Formel für das Deckungskapital kv + Π k = c k+1 vq x+k + k+1 V vp x+k

7 Deckungskapital 6 Das Deckungskapital kann aber auch für den allgemeinen Fall rekursiv berechnet werden. Es gibt 2 Möglichkeiten ; Man berechnet 1 V, 2 V... wobei 0 V = 0 Bei einer Versicherung mit beschränkter Dauer n kann man n 1 V, n 2 V... berechnen, in dem man vom bekannten Wert n V ausgeht. Eine etwas andere Interpretation ergibt sich, wenn wir umschreiben als kv + Π k = c k+1 vq x+k + k+1 V vp x+k kv + Π k = k+1 V v + (c k+1 k+1 V )vq x+k * Hier wird der Betrag von k+1 V budgetiert. * c k+1 k+1 V ist der Nettobetrag, der für das Risiko steht; wird als Risikosumme bezeichnet. * Prämie kann in zwei Komponenten zerlegt werden. Π k = k+1 V v k V + (c k+1 k+1 V )vq x+k Π k = Π s k + Πr k * wobei Π s k = k+1 V v k V die sogenannte Sparprämie * und Π r k = (c k+1 k+1 V )vq x+k die Risikoprämie ist In dem wir Π s k = k+1 V v k V mit (1 + i) j k multiplizieren und über k summieren (k = 0, 1,..., j 1) erhalten wir j 1 jv = (1 + i) j k Π s k k=0 d.h. das Deckungskapital ist der aufgezinste Wert der Sparprämien der vorangegangenen Versicherungsjahre. Wir schreiben kv + Π k = k+1 V v + (c k+1 k+1 V )vq x+k als Π k + d k+1 V = ( k+1 V k V ) + Π r k Die Prämie dient zusammen mit dem Zins dazu das Deckungskapital zu erhöhen und einen Betrag in der Höhe der Risikoprämie bereitzustellen.

8 Deckungskapital 7 Die Gleichung mit (1 + i) multipliziert, ergibt kv + Π k = k+1 V v + (c k+1 k+1 V )vq x+k Π k + i( k V + Π k = ( k+1 V v k V ) + (c k+1 k+1 V )q x+k

9 Deckungskapital Das Überlebensrisiko Wir schreiben kv + Π k = c k+1 V q x+k + k+1 V vp x+k Hier wird der Betrag c k+1 budgetiert. Im Überlebensfall wirde der zusätzliche Betrag von k+1v c k+1 fällig. Im Versicherungsjahr kann k + 1 zerlegt werden in einen Sparprozess und eine einjährige Erlebensfallversicherung von k+1 V c k+1. als kv + Π k = c k+1 vq x+k + k+1 V v k+1 V P x+k kv + Π k = k+1 V v + (c k+1 k+1 V )vq x+k k kann aufgefasst werden als Summe von der Sparkomponente und einer Überlebensrisikoprämie Π k = c k+1 k V + ( k+1 V c k+1 )V P x+k Die Sparkomponente ist in vielen Fällen negativ. Die Überlebensrisikoprämie: Π s k = c k+1 k V Π r k = ( k+1 V c k+1 )V P x+k Ferner können wir schreiben als weitere Bedeutungen kv + Π k = c k+1 + ( k+1 V c k+1 )V P x+k Π k + dc k+1 = (c k+1 k V ) + Π r k - Umwandlung der Versicherung in eine prämienfreie Versicherung - Betrachte lebenslängliche Todesfallversicherung für x der Höhe 1 - finanziert durch jährliche Prämien P x - Angenommen die versicherte Person ist zur Zeit k am Leben und möchte ab diesem Zeitpunkt keine Prämien zahlen - k V x kann als NEP (Nettoeinmalprämie) für eine lebenslängliche Todesfallversicherung verwendet werden die Versicherungssumme : kv x A x+k = 1 Px P x+k - Π die nächste Prämie - c k+1 das im Todesfall versicherte Kapital - k+1 V der neue Stand des Sparkontos

10 Deckungskapital 9 Literatur [1] Gerber: Lebensversicherungmathematik, Springer-Verlag (1986) [2] Grundmann,Luderer:Formelsammlung Finanzmathematik,Versicherungsmathematik,Wertpapieranalyse [3] Schmidt: Versicherungsmathematik, Springer-Verlag (2002) [4] Isenbart, Münzner: Lebensversicherungsmathematik für Praxis und Studium [5] May: Lebensversicherungsmathematik