Protokoll zum Anfängerpraktikum

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1 Protokoll zum Anfängerpraktikum Elektromagnetischer Schwingkreis Gruppe, Team 5 Sebastian Korff Frerich Max 8.5.6

2 Inhaltsverzeichnis. Einleitung -3-. Versuchsdurchführung -5-. Eigenfrequenz und Dämpfung im Serienkreis Eigenfrequenz Dämpfung -7-. Resonanzverhalten des Serienkreises Resonanz Phasenverschiebung Beantwortung der Fragen -- Literaturverzeichnis Anhang

3 . Einleitung Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus in Reihe geschalteten Kondensator C, einer Spule L und einem Wirkwiderstand R. L R C Abb.: gedämpfter elektromagnetischer Schwingkreis Ist der Kondensator aufgeladen, so entlädt er sich sofort über sofort über R und L, d.h. ein elektrischer Strom I fließt und baut in der Spule ein magnetisches Feld auf. Die im elektrischen Feld von C gespeicherte Energie Ee wird in Magnetfeldenergie Em überführt. Infolge der Selbstinduktivität der Spule L fließt bei entladenem C der Strom I weiter und lädt C wieder auf; allerdings in entgegengesetzter Richtung. Die im magnetischen Feld von L gespeicherte Energie Em fließt auf diese Weise in C zurück. Die elektrische Energie E pendelt also zwischen C und L. Es gilt: () Ee = C U ² Em = L I( t)² Der Betrag der Energie sinkt bei jeder Schwingung, da sich in R ein Bruchteil von E irreversibel in Joule sche Wärme umwandelt. Dieses Hin- und Herfluten der Energie beobachtet man auch bei der mechanischen Schwingung. Es herrscht volle Analogie zwischen mechanischer und elektrischer Schwingung, deshalb kann man die entsprechenden Formeln übernehmen: Elektromagnetisch Elektrische Energie Mechanisch Ee Pot. Energie E pot Magnetische Energie Strom I Induktivität L Kreisfrequenz Widerstand R Kapazität C Em Kin. Energie E kin Geschwindigkeit v Masse m ω = Kreisfrequenz L C Dämpfung b ω Federkonstante D = D m Ladung Q Auslenkung x Abb.: Analogie zwischen elektromagnetischer und mechanischer Schwingung

4 Beim elektrischen Schwingkreis unterscheidet man drei Fälle: ) Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung Hierbei geht der elektrische Widerstand R. Dies ist jedoch nur ein Idealfall. Tatsächlich muss dem Schwingkreis elektr. Energie zugeführt werden, um die auftretenden Verluste zu kompensieren. Für die Eigenkreisfrequenz dieses Idealfalles gilt: () ω =. L C Abb.3: ungedämpfte elektromagnetische Schwingung ) Gedämpfte elektromagnetische Schwingung Hierbei wird ein realer Widerstand R mit endlichem Widerstandswert verwendet. Für die Eigenkreisfrequenz gilt hierbei: (3) ω = L C R² 4 L² Für den elektrischen Strom I gilt: (4) I = I exp( α t) Wobei für den Abklingkoeffizient gilt: R (5) α =. L Abb.4: gedämpfte elektromagnetische Schwingung Die Halbwertzeit T, in der die Spannungsamplitude auf die Hälfte abnimmt, lässt sich folgendermaßen berechnen: (6) T = ln L R

5 3) Aperiodischer Grenzfall Wenn gilt L R entsteht keine elektromagnetische C Schwingung. Abb.5: Aperiodischer Grenzfall Die im elektromagnetischen Schwingkreis auftretenden Verluste können, z.b. durch eine periodische Wechselstromquelle mit U ( t) = U sin( ω t) kompensiert werden.. Versuchsdurchführung. Eigenfrequenz und Dämpfung im Serienkreis Wir untersuchen das Schwingungsverhalten eines Serienkreises bei einmaliger Anregung. Dazu bauen wir eine Schaltung gemäß Abb. 6 auf. Abb.6: Serien-Schwingkreis mit Anregung durch Rechteckspannung U aus Funktionsgenerator FG Damit das Schwingungsverhalten sichtbar wird, messen wir mit Hilfe des Oszilloskops den Spannungsverlauf des Kondensator C. Der Funktionsgenerator FG TOELLNER 74 liefert eine Rechteckspannung von ca. V. Mittels externer Triggerung schaffen wir ein stehendes Bild auf dem Oszilloskop. Der Funktionsgenerator FG besteht aus einer idealen Spannungsquelle G und U C dem Innenwiderstand. Es wird mit einer Amplitude von V und einer R i

6 Frequenz von khz gearbeitet. Der Vorwiderstand dient zur Strombegrenzung und hat k Ω ± %. Der Schwingkreis selber besteht aus Kondensator C und Spule L. R v.. Eigenfrequenz Ziel dieser Messung ist es, die Eigenkreisfrequenz ω des Serienkreises zu ermitteln. Die Schwingungsfrequenz gemessen und als Schwingungskreisfrequenz f wurde nun mit einem Digitalspeicheroszilloskop ω = π f über der Kondensatorkapazität C aufgetragen. Die Spule besitzt eine Induktivität von L = 47 μ H ± 5% und der Widerstand hat einen Wert von R = Ω ± %. Der Wert von C wurde im Bereich,5nF C nf variiert. Zum Vergleich wurde die nach Gleichung (3) theoretisch erwartete Kurve ebenfalls aufgetragen. ω / khz C / nf ω / khz C S / pf,5 34, 8,795 9,8 85,97 3,8 86,434 3,8 86,898 9, 87,635 6,6 87,75 4 4,8 87, ,4 87,784 8,4 87,8,8 87,85 Mittelwert 86,78 ± 5, C / nf Abb.7: Gemessene Eigenfrequenz ω über Kapazität C inkl. theoretischer Kurve Man kann nun erkennen, dass die theoretische Kurve im Bereich < C 3nF etwas über den gemessenen Werten liegt. Das ergibt sich dadurch, dass wir in unseren Berechnungen die Kapazitäten des Oszilloskops, der verwendeten Kabel und die Rest-Kapazität der Dekade nicht berücksichtigt haben. Für

7 diese Störkapazität C S ergibt sich nach Gleichung (3): R² C S = L ω ² + C ( 86,8 ± 5, 5)pF 4L².. Dämpfung Wir messen nun die Halbwertszeit T des Serienkreises als Funktion des Widerstandes R. Dazu verwenden wir den gleichen Aufbau wie in.. (Abb.6). Hierbei ist jedoch die Kapazität C konstant bei C =,3 nf ± % und der Widerstand variabel im Bereich 5Ω R 5Ω. T / / µs R / Ω T / / µs R S / Ω 5 34, 4, 9,8,9 5 3,8,4,8,3 5 9, 8,9 3 6,6 9,3 35 4,8 9, 4 3,4 8,6 45,4 7,5 5,8 Mittelwert 5, 9,8 ±, R / Ω Abb.8: Gemessene Halbwertzeit T/ über Widerstand R inkl. theoretischer Kurve Die starke Abweichung besonders im unteren Bereich der Widerstände lässt sich durch den Störwiderstand R S erklären, der durch Kabel und Messgeräte sowie durch den ohmschen Widerstand der Spule entsteht. Man kann erkennen, dass dieser Störwiderstand R S besonders bei kleinen Werte des verwendeten Widerstandes stark ins Gewicht fällt (siehe auch Abb. 8). Der L Störwiderstand RS ergibt sich aus: R S = ln R 9,8 ±, 5Ω T /

8 . Resonanzverhalten des Serienkreises.. Resonanz Wir wollen das Resonanzverhalten des Serienkreises untersuchen und bauen dafür eine Schaltung gemäß Abb. 9 auf. Abb.9: Schaltung zur Messung von Resonanzkurven am Serien-Schwingkreis Parallel zum Funktionsgenerator FG, der eine sinusförmigen Wechselspannung U (t) mit einer Kreisfrequenz ω und der Amplitude U liefert, wird ein kleiner Widerstand R p gelegt, damit für alle Frequenzen eine relativ konstante Amplitude U zu haben. Das Oszilloskop wird über die wiederrum extern getriggert, damit wir ein stehendes Bild bekommen. Über das Oszilloskop betrachten wir mittels eines Frequenz Sweeps im Bereich khz f khz bei 5ms Dauer einmal die Kondensatorspannung U die Ausgangsspannung U des Funktionsgenerator FG. Der Quotient U /U wird nun drei mal als Funktion der Kreisfrequenz ω = π f mit jeweils unterschiedlichen Widerständen R aufgetragen: und

9 U / U R = Ω ± % 4 R = Ω ± % U / U ω / khz ω / khz 6 4 R = 5 Ω ± % U / U 8 6 Abb.: Amplitudenresonanzkurven für die jeweiligen Widerstände R = {,, 5} Ω ± % ω / khz Die durch die verschiedenen Widerstände hervorgerufenen Dämpfungen der Schwingung sind sehr gut zu erkennen. Das Maximum liegt bei grafischer Auswertung bei allen drei Messreihen jeweils bei ω 47 khz. Erwartungsgemäß hat sich trotz der veränderten Widerstände R die Position der Resonanzfrequenz ω nicht verändert. Nach Gleichung () ergibt sich für die Eigenfrequenz dieses Schwingkreises ω = 46,7 ±,3kHz. Wir liegen also mit unserer Messung in einem guten Bereich und können deshalb sagen, dass uns die Messung gelungen ist... Phasenverschiebung Wir messen nun die Phasenverschiebung zwischen Eingangsspannung U(t) U C und der Kondensatorspannung. Dazu verwenden wir einen Dämpfungswiderstand R = 5Ω und messen die Phasenverschiebung Δt der beiden auf dem Oszilloskop dargestellten Signale für 5 Frequenzwerte im Bereich khz f khz und tragen das Ergebnis grafisch auf:

10 4,5, 4, 3,5 -,5 3, -, Δt / µs,5, φ / rad -,5 -,,5 -,5, -3,, f / khz -3, ω / khz Abb.: Laufzeitdifferenz und Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal eines Serienkreises in Abhängigkeit der Frequenz f Es ergibt sich erwartungsgemäß die schon vom mechanischen Oszillator bekannte Phasenkurve. Wir sehen bei Eigenkreisfrequenz von π ϕ = 9 = wiederum die f = 73,4, 84 khz bzw. ω = 46,7,3kHz. ± ± Es ergeben sich minimale Abweichungen zwischen Theorie und Experiment. Die im vorigen Teil berechneten Störeinflüsse R und C spielen hierbei eine Rolle, obwohl R Ω mit % vom verwendeten Widerstand R = 5Ω relativ S stark ins Gewicht fällt. Die Störkapazität von bei einer verwendeten Kapazität machen. S S ( 86,8 ± 5, ) pf C S = 5 dürfte sich C = nf jedoch nicht deutlich bemerkbar

11 3. Beantwortung der Fragen Frage : siehe Abb., Seite 3 d² x b dx D d² U c ( t) Frage : + + x = für + U C ( t) = dt² m dt m dt² LC ω = LC für D ω = m siehe auch Abb., Seite 3 d² x b dx D Frage 3: + + x = F sin( ω t) dt² m dt m m Frage 4: Es ergibt sich sinngemäß die Energieresonanzkurve E m ( t) = L I ²( t) Frage 5: siehe.. Frage 6: siehe.. Frage 7: siehe..

12 Literaturverzeichnis Breuer, Hans, dtv-atlas Physik, 6. Auflage, Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH & Co. KG München, September 5 Helmers, Dr. Heinz, Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, CvO Universität Oldenburg, Institut für Physik, April 6

13 Anhang