3 Grenzwerte. 3.1 Grenzwerte von Folgen

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1 03-grezwerte.cdf 3 Grezwerte 3. Grezwerte vo Folge Kovergez Mache Folge zeige ei spezielles Verhalte, we der Idex sehr groß wird. Sie äher sich eier bestimmte Zahl. Betrachte wir zum Beispiel die Folge a. We ma sich die erste Folgegleider aschaut, 0, , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, so erket ma, dass sich diese Brüche der Zahl äher. Ma sagt auch, dass die Folge koverget ist, oder geauer, dass sie gege kovergiert. Stellt ma die Folge graphisch dar, so äher sich die eizele Pukte eier waagerechte Gerade a Etwas weiger offesichtlich ist das bei der rekursiv defierte Folge Q 0 0, Q Q 2.

2 03-grezwerte.cdf 2 Sie berechet die Summe der Kehrwerte der erste Quadratzahle, Q k. 2 k Die erste Folgeglieder sid Q Q Q Q Q Hier ist zuächst keie besodere Regelmäßigkeit erkebar. We ma die Folge graphisch darstellt, sieht ma jedoch ei ähliches Verhalte wie im erste Beispiel. Die Folge ähert sich eier bestimmte Zahl Q Welche Zahl das ist, ist icht sofort offesichtlich. We Sie sich och ie vorher mit dieser Folge beschäftigt habe, werde Sie vermutlich auch icht errate, dass es sich um die Zahl Π hadelt. Kovergete Folge kee Sie bereits im Zusammehag mit Näherugsverfahre, auch we Sie sie bisher icht so geat habe. Ziel eier Näherug ist es, eie bestimmte Zahl, meist die Lösug eier Gleichug, auf möglichst viele Kommastelle zu bereche. Die Strategie besteht dari, mit

3 03-grezwerte.cdf 3 eier grobe Näherug zu begie, ud diese schrittweise zu verfeier, um so eie immer geauere Näherug zu bekomme. Das etspricht der rekursive Defiitio eier Folge. Ei bekates Beispiel ist das Herosche Verfahre zur Berechug eier Wurzel. Um die Wurzel aus 2 zu bestimme, beutzt ma die rekursiv defiierte Folge w 0, w 2 w 2. w Die Rekursiosformel beruht auf eier eifache Idee. Ma hat irgedeie Zahl w. We dies scho die Wurzel aus 2 ist, da ist w 2 2, also w 2 w. We icht, da ist etweder w zu klei ud 2 w zu groß, oder w ist zu groß ud 2 w zu klei. Ma bildet da de Mittelwert aus diese beide Zahle, um eie bessere Näherug zu bekomme. Als Afagswert ka ma jede beliebige positive Zahl wähle. Tatsächlich ähert sich die Folge der gesuchte Wurzel. Bereits ach vier Schritte stimme die erste sechs Nachkommastelle, ach füf Schritte scho die erste elf Stelle. w w w w w w Ei aderes Beispiel kee Sie sogar scho aus der Grudschule. Das übliche Verfahre der schriftliche Divisio ist auch ei Näherugsverfahre, das auf eier Folge beruht. Damit lässt sich der Quotiet vo zwei gaze Zahle bereche, wobei i jedem Schritt eie weitere Dezimalstelle etsteht. Machmal bricht das Verfahre ab, das heißt, die Folge erreicht bereits ach edlich viele Schritte die gesuchte Zahl exakt. Asoste etsteht eie Folge vo Zahle, die sich dem Quotiete immer mehr aäher, ih aber ie exakt erreiche. Gaz allgemei ka ma eie icht abbrechede Dezimalzahl als spezielle Darstellug eier Folge betrachte, die sich eier bestimme Zähl ähert. Zum Beispiel ähert sich die Folge 0.2, 0.27, 0.272, , , , , , der Zahl 3. Die übliche Schreibweise mit dem Periodestrich ka ma als Kurzschreibweise für diese Folge verstehe, oder geauer, als Schreibweise für de Grezwert dieser Folge, also für die Zahl, der sie sich ähert. Aufgabe 3.. Für eie geometrische Folge mit Afagswert a ud Wachstumsfaktor q gilt c a q. Für welche Werte vo a ud q ist diese Folge koverget, ud gege welche Zahl kovergiert sie da? Aufgabe 3..2

4 03-grezwerte.cdf 4 Sid die Folge koverget oder icht? Falls Sie das icht sofort ahad der Defiitio oder der erste Folgeglieder erkee köe, stelle Sie sie graphisch oder tabellarisch dar. a 5 b c d e f k k Aufgabe 3..3 Die Folge A ud B sid rekursiv wie folgt defiiert, A 2 2, B 2 4, A A B, B 2 A B A B. Beachte Sie, dass i der Rekursiosformel für A die beide Vorgäger A ud B vorkomme, i der Rekursiosformel für B aber das A mit dem gleiche Idex ud der Vorgäger B. Sie müsse die Folgeglieder also i der Reihefolge A 3, B 3, A 4, B 4, A 5, B 5, bereche. Stelle Sie beide Folge gemeisam i eier Tabelle dar. Köe Sie errate, gege welche Zahl beide kovergiere? Aufgabe 3..4 Gegebe sid ei Eiheitskreis, also ei Kreis mit Radius, sowie ei ieres regelmäßiges 2 -Eck, desse Ecke auf dem Kreis liege, sowie ei äußeres regelmäßiges 2 -Eck, desse Seite de Kreis jeweils i der Mitte berühre. A sei die Fläche des iere 2 -Ecks, ud B sei die Fläche des äußere 2 -Ecks.

5 03-grezwerte.cdf 5 A 2 A 3 A 4 B 2 B 3 B 4 Für 2 sid die Vielecke Quadrate mit de Fläche A 2 2 ud B 2 4. Zeige Sie, dass für die übrige Vielecke die folgede Rekursiosformel gelte. A A B, B 2 A B A B. Der Grezwert Was geau bedeutet es, we ma sagt, dass sich eie Folge eier bestimmte Zahl ähert? Betrachte wir als Beispiele die beide Folge a, b. Stellt ma beide graphisch dar, so erket ma, dass sich die eie der Null, die adere der Eis ähert.

6 03-grezwerte.cdf a b Ma köte zuächst feststelle. dass sich die Folge a der 0 ähert, weil der Abstad der Folgeglieder zur 0 immer kleier wird. Jedes Folgeglied liegt äher a der 0 als sei Vorgäger. Der Abstad zum Grezwert wird also i jedem Schritt kleier. Aber das ka icht die etscheidede Eigeschaft sei. De die Folge b hat diese Eigeschaft auch. Auch für sie gilt, dass jedes Folgeglied kleier ist als sei Vorgäger, ud damit äher a der 0 liegt. Aber die Folge ähert sich icht der 0, soder der. Eifach ur zu sage, dass der Abstad zum Grezwert immer kleier wird, trifft also icht das, was ma sich uter der Aäherug a eie Grezwert vorstellt. Tatsächlich kommt es icht darauf a, dass der Abstad immer kleier wird, soder darauf, dass er beliebig klei wird. Was ist damit gemeit? Betrachte wir och eimal die Folge b, die sich icht dem Grezwert 0 ähert. Der Abstad zur 0 wird zwar mit jedem Schritt kleier. Aber er wird ie kleier als. Ud folglich auch ie kleier als 2 oder kleier als 000. Der Abstad zur 0 wird also immer kleier, aber er wird icht beliebig klei. Bei der Folge a ist das aders. Der Abstad der Folgeglieder zur 0 wird irgedwa kleier als 000. Nämlich ab dem Folgeglied a 00. Er wird auch irgedwa kleier als Nämlich ab dem Folgeglied a Er wird sogar beliebig klei. Wir köe irgedeie Abstad vorgebe, also eie beliebig kleie positive reelle Zahl Ε, ud wir werde immer eie Idex fide, vo dem a die Folgeglieder kleier sid als dieses Ε. Wir müsse dazu ur eie atürliche Zahl fide, so dass Ε ist. Das ist der Fall, we Ε ist. Wir müsse also de Kehrwert vo Ε bilde, ud die ächste größere atürliche Zahl wähle. Ab diesem Idex sid alle Folgeglieder kleier als Ε ud liege somit äher als Ε a der 0. Im Prizip habe wir damit scho erklärt, was ei Grezwert ist. Es ist eie Zahl, der die Folge auf die gerade beschriebee Weise beliebig ahe kommt. Um diese grudlegede Idee möglichst allgemei zu formuliere, ist es ützlich, eie spezielle Begriff eizuführe. Defiitio 3.. Umgebug

7 03-grezwerte.cdf 7 Es sei x eie beliebige ud Ε eie positive reelle Zahl. Die Ε-Umgebug vo x ist die Mege aller reelle Zahle, dere Abstad zu x kleier als Ε ist, U Ε x y y x Ε Die 3-Umgebug vo 7 ethält alle reelle Zahle, dere Abstad zur 7 kleier als 3 ist. Also die reelle Zahle zwische 4 ud 0. Die 00-Umgebug vo ethält alle reelle Zahle zwische ud 0 00, also alle, die weiger als 00 vo der etfert sid. Auf dem Zahlestrahl dargestellt ist U Ε x ei Itervall mit der Zahl x i der Mitte ud der Breite 2 Ε. U Die Aussage, dass sich die Folge a der Null ähert, also de Grezwert 0 hat, lässt sich u wie folgt ausdrücke. Wir betrachte irgedeie Umgebug der Null, zum Beispiel U Ud wir frage: Welche Folgeglieder liege ierhalb dieser Umgebug? Wir stelle fest, dass dies für alle a mit 000 der Fall ist. Das heißt, die erste 000 Folgeglieder liege außerhalb, aber die restliche uedlich viele liege ierhalb der Umgebug. We wir eie kleiere Umgebug wähle, zum Beispiel U , da liege u zwar Folgeglieder außerhalb der Umgebug. Aber die restliche, immer och uedlich viele, liege ierhalb der Umgebug. Ud das ist geau die etscheidede Eigeschaft der Folge. Egal, wie klei wir die Umgebug mache, es liege immer ur edlich viele Folgeglieder außerhalb, aber alle adere ierhalb der Umgebug. Um auch diese Eigeschaft möglichst griffig zu formuliere, verwedet ma eie spezielle Sprechweise. Defiitio 3..2 fast alle Eie Aussage gilt für fast alle Elemete eier uedliche Mege, we sie ur für edlich viele Elemete falsch ist. Fast alle bedeutet also alle bis auf edlich viele. Zum Beispiel sid fast alle atürliche Zahle größer als füf, ud fast alle Primzahle sid ugerade. Aber es sid icht fast alle atürliche Zahle durch drei teilbar, de es gibt uedlich viele, die es icht sid. Auf die obige Folge a bezoge heißt das: Egal, wie klei wir Ε mache, es liege immer fast alle Folgeglieder i der Umgebug U Ε 0. Geau das ist die Eigeschaft eier Grezwertes. Defiitio 3..3 Grezwert Eie reelle Zahl a heißt geau da Grezwert eier Folge a, we i jeder Umgebug vo a fast alle Folgeglieder a liege. Ma schreibt da lim a a Aufgabe 3..5 Sid die Aussage wahr oder falsch? Fast alle atürliche Zahle sid größer als siebe. wahr falsch Fast alle gaze Zahle sid größer als siebe. wahr falsch

8 03-grezwerte.cdf 8 Fast alle atürliche Zahle sid Primzahle. wahr falsch Fast alle Prizahle ede auf, 3, 7 oder 9. wahr falsch Fast alle ratioale Zahle sid reell. wahr falsch Fast alle reelle Zahle sid irratioal. wahr falsch Fast alle Wurzel vo atürliche Zahle sid irratioal. wahr falsch Hier klicke, um die Atworte zu prüfe Aufgabe 3..6 Welche Aussage gelte für fast alle atürliche Zahle? a 2 0 b c d e f Aufgabe 3..7 Gegebe ist die Folge 2 4 a 2 4 Bestimme Sie alle atürliche Zahle, für die die Ugleichug a 000 gilt. Aschauliche Beispiele Die Defiitio des Grezwertes lässt sich am beste ahad ihres Graphe veraschauliche. I der folgede dyamische Graphik ist eie Folge dargestellt, die de Grezwert hat. Der schattierte Bereich ist eie Umgebug U Ε g. Sie köe sowohl g veräder, idem Sie die Umgebug als gazes verschiebe, als auch Ε, idem Sie die Räder verschiebe. Die Folgeglieder werde grü oder rot dargestellt, je achdem, ob sie ierhalb oder außerhalb der Umgebug liege.

9 03-grezwerte.cdf U We g ist, köe Sie feststelle: Egal, wie klei Sie die Umgebug mache, es liege immer ur edlich viele Pukte außerhalb. Daher ist der Grezwert dieser Folge. We Sieg auf eie adere Wert eistelle, gilt das icht mehr. Es ist da immer möglich, die Umgebug so klei zu mache, dass uedlich viele Pukte außerhalb liege. Das ächste Beispiel soll zeige, dass es bei eiem Grezwert icht darauf akommt, dass der Abstad der Folge zum Grezwert i jedem Schritt kleier wird. Diese Folge hat de Grezwert 0.5. Aber der Abstad zu diesem Grezwert wird abwechseld kleier ud wieder größer. Trotzdem gilt: Egal, wie klei Ε ist, es liege immer fast alle Pukte i der Umgebug U Ε U Ei Folge ka immer ur eie Grezwert habe. Auf de erste Blick gibt es im folgede Beispiel zwei Zahle, ämlich ud 2, dee die Folge beliebig ahe kommt. Aber keie der beide ist ei Grezwert.

10 03-grezwerte.cdf U Es liege zwar i jeder och so kleie Umgebug vo uedlich viele Pukte, aber icht fast alle. De sobald die Umgebug icht mehr bis zur 2 reicht, liege auch uedlich viele Pukte außerhalb. Daher ist weder och 2 der Grezwert dieser Folge. Sie hat folglich keie Grezwert. Statt desse et ma eie Pukt, i desse Umgebuge stets uedlich viele, aber icht ubedigt fast alle Folgeglieder liege, eie Häufugspukt. Die hier gezeigte Folge hat also zwei Häufugspukte, aber keie Grezwert. Eie Folge ka beliebig viele, sogar uedlich viele Häufugspukte habe, aber immer ur höchstes eie Grezwert. Satz 3..4 Eie Folge hat höchstes eie Grezwert. Der Beweis ist icht sehr schwierig. Ageomme, eie Folge a hat de Grezwert g ud de Grezwert g 2, ud es gilt g g 2. Da wisse wir: I jeder Umgebug vo g liege fast alle Folgeglieder. Ud i jeder Umgebug vo g 2 liege auch fast alle Folgeglieder. Wir setze Ε g 2 g 3. Da ist die Schittmege der Umgebuge U Ε g ud U Ε g 2 leer, wie die folgede Graphik zeigt. U Ε g U Ε g Nu köe aber icht fast alle Folgeglieder i U Ε g liege ud gleichzeitig fast alle Folgeglieder i U Ε g 2. De we fast alle i U Ε g liege, da liege ur edlich viele außerhalb davo, ud folglich auch ur edlich viele i U Ε g 2. Damit habe wir eie Widerspruch zu der Aahme, dass sowohl g als auch g 2 ei Grezwert der Folge ist. Aufgabe 3..8 Stelle Sie i de dyamische Graphe die Umgebuge so ei, dass uedlich viele Pukte ierhalb, aber auch uedlich viele Pukte außerhalb liege. Bei welche Folge ist das möglich, bei welche icht?

11 03-grezwerte.cdf Aufgabe 3..9 Eie reelle Zahl heißt Häufugspukt eier Folge, we i jeder Umgebug vo dieser Zahl uedlich viele Folgeglieder liege. Erkläre Sie diese Defiitio ahad der obe als Beispiel gezeigte Folge mit de Häufugspukte ud 2. Warum ka eie Folge mehrere Häufugspukte habe? Was geht schief, we ma versucht, de Beweis, dass eie Folge ur eie Grezwert habe ka, aalog für Häufugspukte zu führe? Köe Sie eie Folge kostruiere, die uedlich viele Häufugspukte hat? Köe Sie eie Folge kostruiere, so dass jede (positive) reelle Zahl ei Häufugspukt ist? Aschaulich dargestellt heißt das: We ma die Folge als Pukte auf eier Zahlegerade darstellt, da fülle die Pukte die Gerade dicht aus. I jedem och so kleier Itervall liege uedlich viele Pukte. Rechebeispiele Wie weist ma recherisch ach, dass eie Folge eie bestimmte Grezwert hat? Ma muss zeige, dass i jeder Umgebug des Grezwertes fast alle Folgeglieder liege. Dazu muss ma im wesetliche eie Ugleichug aufstelle ud löse. Betrachte wir als Beispiel die zweite weiter obe als b defiierte Folge, die de Grezwert hat. b, lim b. Um achzuweise, dass tatsächlich der Grezwert ist, müsse wir zeige, dass i jeder Umgebug der fast alle Folgeglieder liege. Betrachte wir also eie Umgebug U Ε, wobei Ε eie beliebige positive Zahl ist. Welche Folgeglieder liege i dieser Umgebug? Es sid geau die, die äher als Ε a der liege. Also die, die die Ugleichug b Ε erfülle. Eisetze des Terms ergibt Ε. Das lässt sich vereifache zu Ε. Da sowohl als auch Ε positiv sid, ka ma die Betragstriche weglasse ud die Ugleichug mit mutlipliziere ud durch Ε teile. Das ergibt Ε. Nu ist es sivoll, die Herleitug dieser Ugleichug i der umgekehrte Richtug zu lese. Was wir gezeigt habe, ist

12 03-grezwerte.cdf 2 Ε b U Ε. Das heißt, we größer ist als der Kehrwert vo Ε, da liegt b i der Ε-Umgebug vo. Da fast alle atürliche größer als Ε sid, liege also fast alle Folgeglieder i der vorgegebee Umgebug. Ud da das für jede beliebig kleie Umgebug gilt, ist der Grezwert der Folge b. Im Prizip ka ma stets ach diesem Schema vorgehe. Um zu zeige, dass eie Folge a de Grezwert a hat, schreibt ma die Bedigug a U Ε a als Ugleichug auf. Da zeigt ma, dass diese Ugleichug für fast alle atürliche Zahle gilt. Etweder durch gezieltes Umforme oder durch eie adere Methode. Etscheided ist dabei, dass ma dies für jedes beliebig kleie Ε achweise muss. Wir dürfe also für Ε keie spezielle Zahl eisetze, soder müsse de Nachweis allgemei führe. Als weiteres Beispiel betrachte wir die geometrische Reihe c 0 2 Eie graphische Darstellug zeigt, dass der Grezwert offebar 0 ist U Wir müsse also zeige, dass i jeder Umgebug der 0 fast alle Folgeglieder liege. Wir wähle ei beliebiges positives Ε ud betrachte die Umgebug U Ε 0. Welche Folgeglieder liege i dieser Umgebug? Es sid diejeige, die die Ugleichug c Ε erfülle. Setze wir de Term für die Folge ei, so ergibt sich 0 2 Ε. Wege des Betrages köe wir das Miuszeiche weglasse, ud aschießed auch die Betragsstiche, de u sid alle Zahle positiv. Um festzustelle, welche diese Ugleichug erfülle, forme wir sie um. Wir multipliziere mit 2 ud teile durch Ε. Beides sid postive Zahle,

13 03-grezwerte.cdf 3 so dass wir das Relatioszeiche uverädert lasse. Das ergibt 0 Ε 2. Damit 2 größer als eie bestimmte positive Zahl ist, muss größer als der Logarithmus zur Basis 2 vo dieser Zahl sei. Die Ugleichug ist also erfüllt, we log 2 0 Ε. Welche Zahl geau auf der rechte Seite diese Ugleichug steht, spielt u gar keie Rolle. Etscheided ist, dass wieder fast alle atürliche Zahle diese Ugleichug erfülle. Ud zwar uabhägig davo, wie klei Ε ist. Die Zahl auf der rechte Seite hägt zwar vo Ε ab. Aber es gibt immer ur edlich viele atürliche Zahle, die die Ugleichug icht erfülle. Wir habe also wie im erste Beispiel gezeigt: Egal, wie klei wir die Umgebug vo 0 mache, es gibt immer ur edlich viele Folgeglieder, die außerhalb dieser Umgebug liege. Das köe zwar eiige Trillioe sei, we wir ei sehr kleies Ε wähle, aber vo irgedeie Idex a liege immer alle Folgeglieder ierhalb der Umgebug. Also ist lim 0 2 Aufgabe Beweise Sie allgemei, dass eie geometrische Folge de Grezwert 0 hat, we der Betrag des Wachstumsfaktors kleier als ist. Das heißt, für q gilt lim a q 0. Aufgabe 3.. Stelle Sie die Folge als Graph oder Tabelle dar. Stelle Sie eie Vermutug über de Grezwert auf. Beweise Sie aschließed ihre Vermutug. a b 2 c 2 d 0 0, d d 2 Aufgabe 3..2 Beweise Sie lim 0.