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2 Zeitraum Ziele / Inhalte (Sach- und Methodenkompetenz) Klassenarbeit Analysis Grenzwerte 1. Die explizite und rekursive Beschreibung von Zahlenfolgen und Eigenschaften von Zahlenfolgen kennen 2. In einfachen Fällen Monotonie und Beschränktheit von Folgen bzw. reellen Funktionen beweisen 3. Die Begriffe Grenzwert einer Folge und Grenzwert einer reellen Funktion für x ± 4. Den Begriff Grenzwert einer reellen Funktion für x x O und zur Beschreibung der lokalen Stetigkeit einer Funktion verwenden 5. Die Grenzwertsätze für Summe, Produkt und Quotient von Folgen und reellen Funktionen kennen und einen Grenzwertsatz beweisen 6. Grenzwerte bestimmen Kapitel I Folgen und Grenzwerte 1 Folgen 2 Eigenschaften von Folgen 3 Grenzwert einer Folge 4 Grenzwertsätze 5 Grenzwerte von Funktionen 2

3 Zeitraum Ziele / Inhalte (Sach- und Methodenkompetenz) Klassenarbeit Differentialrechnung 1. Den Begriff Ableitung an einer Stelle 2. Die Ableitung als momentane Änderungsrate interpretieren 3. Die Begriffe differenzierbar und Ableitungsfunktion 4. Faktor-, Summen- und Potenzregel kennen, anwenden und eine der Regeln beweisen 5. Zu einer vorgegebenen Funktion die Ableitungsfunktion und höhere Ableitungen bestimmen 6. Den Graphen der Ableitungsfunktion zu einem vorgegebenen Funktionsgraphen skizzieren und umgekehrt 7. Notwendige und hinreichende Kriterien für Monotonie und für die Existenz von Extrema und Wendepunkten anschaulich begründen und einzelne Kriterien beweisen 8. Ganzrationale Funktionen untersuchen, auch solche mit Parametern 9. Funktionsgleichungen ganzrationaler Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften bestimmen 10. Extremwertaufgaben aus verschiedenen Anwendungsgebieten lösen 11. Ein Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung und anwenden Kapitel II Ableitung 1 Funktionen 2 Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient 3 Momentane Änderungsrate Ableitung 4 Ableitung berechnen 5 Die Ableitungsfunktion 6 Ableitungsregeln 7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen Kapitel III Extrem- und Wendepunkte 1 Nullstellen 2 Monotonie 3 Hoch- und Tiefpunkte, erstes Kriterium 4 Die Bedeutung der zweiten Ableitung 5 Hoch- und Tiefpunkte, zweites Kriterium 6 Kriterien für Wendepunkte 7 Extremwerte lokal und global_ Kapitel IV Untersuchung ganzrationaler Funktionen 1 Ganzrationale Funktionen Linearfaktorzerlegung 2 Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten für x + bzw. x 3 Symmetrie, Skizzieren von Graphen 4 Beispiel einer vollständigen Funktionsuntersuchung 5 Probleme lösen im Umfeld der Tangente 6 Mathematische Begriffe in Sachzusammenhängen 7 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen 8 Näherungsweise Berechnung von Nullstellen 3

4 Zeitraum Ziele / Inhalte (Sach- und Methodenkompetenz) Klassenarbeit Integralrechnung 1. Flächeninhalte unter Funktionsgraphen mit Hilfe von Rechtecksummen bestimmen 2. Eine Definition des Integralbegriffs 3. Faktor-, Summen- und Potenzregel kennen, begründen und zur Berechnung von Integralen anwenden 4. Die Definitionen von Integralfunktion und Stammfunktion 5. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und dessen Beweis 6. Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen 7. Ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Integralen 8. Sachaufgaben, die auf Integrale führen, lösen Das Volumen von Körpern bestimmen, die durch Rotation um die x-achse entstehen Kapitel VI Integral 1 Rekonstruieren einer Größe 2 Das Integral 3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 4 Bestimmung von Stammfunktionen 5 Integralfunktionen 6 Integral und Flächeninhalt 7 Unbegrenzte Flächen Uneigentliche Integrale 8 Mittelwerte von Funktionen 9 Integration von Produkten partielle Integration 10 Integration durch Substitution 11 Numerische Integration 12 Integral und Rauminhalt Weiterführung der Differential- und Integralrechnung Kapitel V Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 1. Produkt-, Quotienten- und Kettenregel anwenden und eine der Regeln beweisen 2. Gebrochen-rationale Funktionen untersuchen 3. Die Ableitungen von Sinus, Kosinus und Tangens kennen, anwenden und die Herleitung 4. Eine Definition der Eulerschen Zahl e kennen 5. Die Ableitung der e-funktion kennen und begründen 6. Den Zusammenhang zwischen den Funktionen ln(x) und 1/x kennen und die entsprechenden Beweise 7. Exponentialfunktionen ableiten 8. Sachaufgaben, die auf Exponentialfunktionen auch solche mit Parametern führen, lösen 9. Die Verfahren der Integration durch Substitution und der partiellen Integration anwenden 10. Beispiele für Differentialgleichungen und deren Lösung angeben und erklären 1 Trigonometrische Funktionen Bogenmaß 2 Die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion 3 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Produkt, Quotient, Verkettung 4 Kettenregel 5 Produktregel 6 Quotientenregel 7 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung 8 Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus 9 Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion Kapitel VII Gebrochenrationale Funktionen 1 Definition von gebrochenrationalen Funktionen 2 Nullstellen, Verhalten in der Umgebung von Definitionslücken 3 Verhalten für x ±, Näherungsfunktionen 4 Skizzieren von Graphen 5 Beispiele von vollständigen Funktionsuntersuchungen Kapitel VIII Modellieren mit der Exponentialfunktion 1 Exponentielles Wachstum modellieren 2 Begrenztes Wachstum 3 Differentialgleichungen bei Wachstum 4 Logistisches Wachstum 4

5 Zeitraum Ziele / Inhalte (Sach- und Methodenkompetenz) Klassenarbeit Lineare Algebra/Analytische Geometrie Wahlpflichtgebiet A1: Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme 1. Zu einer geeigneten Problemstellung ein entsprechendes lineares Gleichungssystem aufstellen 2. Lineare Gleichungssysteme lösen 3. Das Gauß-Verfahren als Beispiel für eine algorithmische Problemlösung 4. Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen mit mehr als einer Lösung angeben und interpretieren Kapitel IX Lineare Gleichungssysteme 1 Das Gauß-Verfahren 2 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 3 Bestimmung ganzrationaler Funktionen 4 Die Struktur der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Vektoralgebra Kapitel X Vektoren 5. Vektoren addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren 6. Die Begriffe Linearkombination und linear abhängig/unabhängig und anwenden 7. Definition und Eigenschaften des Skalarprodukts 8. Geeignete elementargeometrische Sätze mit vektoriellen Methoden beweisen 1 Punkte im Raum 2 Vektoren 3 Rechnen mit Vektoren 6 Längen messen Einheitsvektoren 8 Lineare Unabhängigkeit Kapitel XI Ebenen Matrizen Kapitel XIII Matrizen 9. Folgende Operationen mit Matrizen und Vektoren und sowohl im Zusammenhang mit Abbildungen als auch in nichtgeometrischen Sachbezügen anwenden: Produkt einer Matrix mit einem Vektor Produkt zweier Matrizen, Matrizenpotenzen Inverse Matrix 10. Die allgemeine Matrix-Vektor-Gleichung einer affinen Abbildung 11. Eigenschaften der affinen Abbildungen beweisen 12. Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen als spezielle affine Abbildungen 13. Affine Abbildungen nach ihren Fixelementen untersuchen 14. In mindestens einem nichtgeometrischen Anwendungsfeld von Matrizen Sachaufgaben lösen 7 Beweise zur Parallelität und Orthogonalität 1 Beschreibung von einstufigen Prozessen durch Matrizen 2 Rechnen mit Matrizen 3 Zweistufige Prozesse Matrizenmultiplikation 4 Inverse Matrizen 5 Stochastische Prozesse 6 Populationsentwicklungen Zyklisches Verhalten Kapitel XIV Affine Abbildungen 1 Geometrische Abbildungen 2 Darstellung von Abbildungen mit Matrizen 3 Spezielle Abbildungen Drehung und Spiegelung in der Ebene 4 Spezielle Abbildungen Parallelprojektion vom Raum in eine Ebene 5 Verkettung von Abbildungen Matrizenmultiplikation 6 Inverse Matrizen Umkehrabbildungen 5

6 Zeitraum Ziele / Inhalte (Sach- und Methodenkompetenz) Klassenarbeit Wahlpflichtgebiet A2: Geraden und Ebenen im Raum Lineare Gleichungssysteme 1. Zu einer geeigneten Problemstellung ein entsprechendes lineares Gleichungssystem aufstellen 2. Lineare Gleichungssysteme lösen 3. Das Gaus-Verfahren als Beispiel für eine algorithmische Problemlösung 4. Folgende Operationen mit Matrizen und Vektoren und zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen verwenden: Produkt einer Matrix mit einem Vektor, Produkt zweier Matrizen, Matrizenpotenzen, Inverse Matrix 5. Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen mit mehr als einer Lösung angeben und interpretieren Kapitel IX Lineare Gleichungssysteme 1 Das Gauß-Verfahren 2 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 3 Bestimmung ganzrationaler Funktionen 4 Die Struktur der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Vektoralgebra Kapitel X Vektoren 6. Vektoren addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren 7. Den Begriff Linearkombination und linear abhängig/unabhängig und anwenden 8. Definition und Eigenschaften des Skalarprodukts 9. Geeignete elementargeometrische Sätze mit vektoriellen Methoden beweisen Analytische Geometrie 10. Die Parameterform der Geraden- und Ebenengleichung 11. Die gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen im Raum bestimmen und die Verfahren begründen 12. Die gegenseitige Lage gegebener Geraden und Ebenen durch Zeichnen in ein Koordinatensystem veranschaulichen 13. Die allgemeine und die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung herleiten und anwenden 14. Winkel und Abstande im Raum berechnen 15. Die Kreis- und Kugelgleichung herleiten und zur Untersuchung von Lagebeziehungen anwenden 16. Definition und Eigenschaften des Vektorprodukts kennen und anwenden 1 Punkte im Raum 2 Vektoren 3 Rechnen mit Vektoren 4 Geraden 5 Gegenseitige Lage von Geraden 6 Längen messen Einheitsvektoren 8 Lineare Unabhängigkeit Kapitel XI Ebenen 1 Ebenen im Raum Parameterform 2 Zueinander orthogonale Vektoren Skalarprodukt 3 Normalengleichung und Koordinatengleichung einer Ebene 4 Lagen von Ebenen erkennen und Ebenen zeichnen 5 Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden 6 Gegenseitige Lage von Ebenen 7 Beweise zur Parallelität und Orthogonalität Kapitel XII Geometrische Probleme lösen 1 Abstand eines Punktes von einer Ebene 2 Die Hesse sche Normalenform 3 Abstand eines Punktes von einer Geraden 4 Abstand windschiefer Geraden 5 Winkel zwischen Vektoren Skalarprodukt 6 Schnittwinkel 7 Das Vektorprodukt 8 Gleichungen von Kreis und Kugel 9 Kugeln, Ebenen, Geraden 6

7 Zeitraum Ziele / Inhalte (Sach- und Methodenkompetenz) Klassenarbeit Stochastik 1. Zufallsexperimente durch ihre Ergebnismengen beschreiben 2. Wahrscheinlichkeiten bestimmen und in Sachzusammenhängen interpretieren 3. Rechenregeln zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen begründen und anwenden 4. Zufallsexperimente mit Hilfe von Zufallszahlen simulieren und die Ergebnisse der Simulation interpretieren 5. Die Begriffe bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit zweier Ereignisse kennen und anwenden 6. Die Begriffe Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen und an Beispielen erläutern 7. Die Begriffe Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsgröße kennen und anwenden 8. Die Begriffe Bernoullikette, Binomialverteilung und die Formel zur Berechnung der Werte einer Binomialverteilung herleiten 9. Die Formeln für Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung kennen und anwenden 10. Eigenschaften der Binomialverteilung kennen, begründen und anwenden 11. Sachaufgaben zur Binomialverteilung lösen 12. Verstehen, wie man Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße näherungsweise mit Hilfe der Gaußschen Integralfunktion Φ (Standard- Normalverteilung) bestimmt 13. Funktionsterm, Graph und Eigenschaften der Gaußfunktion φ kennen 14. Den Begriff Konfidenzintervall und das Verfahren zur Bestimmung eines Konfidenzintervalls für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit 15. Den Zusammenhang zwischen dem Stichprobenumfang und der Länge des Konfidenzintervalls 16. Sachaufgaben zu Konfidenzintervallen lösen und die Ergebnisse interpretieren 17. Die Struktur des Hypothesentests 18. Sachaufgaben zum Testen von Hypothesen lösen und die Ergebnisse interpretieren Kapitel XV Wahrscheinlichkeit 1 Wahrscheinlichkeiten und Ereignisse 2 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mit Abzählverfahren 3 Simulationen von Zufallsexperimenten 4 Wahrscheinlichkeiten bestimmen durch Simulation 5 Gegenereignis Vereinigung Schnitt 6 Additionssatz 7 Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit 8 Regel von Bayes 9 Daten darstellen und auswerten 10 Erwartungswert und Standardabweichung bei Zufallswerten Kapitel XVI Binomialverteilung und Normalverteilung 1 Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung 2 Wahrscheinlichkeiten berechnen mit der Binomialverteilung 3 Arbeiten mit den Tabellen der Binomialverteilung 4 Problemlösen mit der Binomialverteilung 5 Erwartungswert und Standardabweichung Sigma-Regel 6 Zweiseitiger Signifikanztest 7 Einseitiger Signifikanztest 8 Fehler beim Testen von Binomialverteilungen 9 Wahrscheinlichkeiten schätzen Vertrauensintervalle 10 Stetige Zufallsgrößen 11 Die Analysis der Gauß schen Glockenfunktion 12 Die Normalverteilung 13 Arbeiten mit den Tabellen der Normalverteilung 14 Wahrscheinlichkeiten schätzen: Vertrauensintervalle genau berechnen 7