Die tatsächlichen Breiten und Höhen der Säulen und damit der Flächeninhalt bleiben unverändert:

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1 Flächeninhalte als Wahrscheinlichkeiten Eine Zufallsvariable X kann die Werte, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind rechts in einem Stabdiagramm dargestellt. k P (X = k) Wir wandeln das Stabdiagramm clever in ein Säulendiagramm um. Dazu ersetzen wir den Stab bei k durch ein Rechteck derselben Höhe, also P (X = k), und der Breite. Der Flächeninhalt jeder Säule ist also genau die entsprechende Wahrscheinlichkeit. Wir können die Achsen unabhängig voneinander skalieren. Die tatsächlichen Breiten und Höhen der Säulen und damit der Flächeninhalt bleiben unverändert: Die Wahrscheinlichkeit P (2 X 4) = ist in jedem der drei Bilder rot hervorgehoben. Wir würfeln n Mal mit einem fairen 6-seitigen Würfel. Die Zufallsvariable S n gibt die Anzahl der geworfenen Sechser an. Erkläre, warum S n binomialverteilt ist. Binomialverteilung Wir stellen hier die Wahrscheinlichkeiten für n = 60 in einem Säulendiagramm dar. Jede Säule hat die gleiche Breite. Die Fläche der markierten Säule entspricht genau der Wahrscheinlichkeit P (S 60 = 8). Die Summe der Flächeninhalte aller Säulen ist. Datum: 23. März 208

2 Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Bei n = 720 Würfen nimmt das Säulendiagramm von S 720 die folgende Form an: Markiere eine Fläche, deren Inhalt die WS für mindestens 30 Sechser und höchstens 40 Sechser ist. Wir haben hier auch den Graphen einer ganz bestimmten Funktion f eingezeichnet. Dieser Graph schmiegt sich an das glockenförmige Profil des Säulendiagramms. Wie würdest du mit f diese Wahrscheinlichkeit näherungsweise berechnen? P (30 S ) Dichtefunktion der Standardnormalverteilung Die Funktion ϕ mit ϕ(x) = 2 π e 2 x2 Sie hat die folgenden Eigenschaften: heißt Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. ) Alle Funktionswerte sind positiv. 2) Der größte Funktionswert ist an der Stelle x = 0. 3) Die beiden Wendestellen befinden sich bei x = und bei x =. ϕ (x) = 2 π e 2 x2 ( x) Welche Ableitungsregeln wurden hier verwendet? ϕ (x) = e 2 x2 x 2 + e 2 x2 ( ) = ( ) e 2 x2 x 2 2 π 2 π 2 π lim ϕ(x) = und lim ϕ(x) = x x 4) Der Graph ist axialsymmetrisch zu x = 0, also ϕ( x) =. 5) Der gesamte Flächeninhalt zwischen der x-achse und dem Funktionsgraphen ist. Kurz: ϕ(x) dx = e 2 x2 hat keine elementare Stammfunktion.

3 Die Funktion f mit f(x) = 2 π e x µ 2 ( ) 2 heißt Dichtefunktion der Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Standardabweichung. Sie hat die folgenden Eigenschaften: ) Alle Funktionswerte sind. 2) Der größte Funktionswert ist an der Stelle x =. 3) Die Wendestellen befinden sich an den Stellen x = und x =. 4) Der Graph ist axialsymmetrisch zu x = µ, also f(µ x) =. Dichtefunktion der Normalverteilung 5) Der gesamte Flächeninhalt zwischen der x-achse und dem Funktionsgraphen ist. Eine Veränderung von µ bewirkt eine in -Richtung. Je größer ist, desto ist der größte Funktionswert und desto ist die Entfernung der beiden Wendestellen. Je kleiner ist, desto ist der größte Funktionswert und desto ist die Entfernung der beiden Wendestellen. f ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung, wenn µ = und = ist. Normalverteilte Zufallsvariable f ist die Dichtefunktion der Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Standardabweichung. Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit Erwartungswert µ und Standardabweichung, wenn die folgenden Gleichungen für alle reellen Zahlen a b gelten: P (a X b) = b a f(x) dx P (X b) = b f(x) dx P (X a) = f(x) dx a Eine normalverteilte Zufallsvariable kann also jede reelle Zahl als Wert annehmen.

4 f(a) P (X = a) X ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Dichtefunktion f. Die Wahrscheinlichkeit, dass X genau den Wert a R annimmt, ist P (X = a) = P (a X a) = a a f(x) dx =. Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, dann gilt also P (X a) = P (X < a) + P (X = a) =. Das ist anders als bei der Binomialverteilung. Die Körpergröße unter 42-jährigen Männern ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswert µ = 77,8 cm und Standardabweichung = 6, cm. Ein 42-jähriger Mann wird zufällig ausgewählt. a) Berechne (mit Technologieeinsatz) die Wahrscheinlichkeit, dass seine Körpergröße im Intervall [74 cm; 78 cm] liegt. Körpergröße... größer als 90 cm ist.... kleiner als 78 cm ist. b) Welche Körpergröße wird von ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % übertroffen? Welche Körpergröße kann er mit einer Wahrscheinlichkeit von 45 % nicht übertreffen? c) In welchem symmetrischen Intervall um µ befindet sich seine Körpergröße mit einer Wahrscheinlichkeit von 72 %? Wir suchen eine Zahl ε mit P (µ ε X µ + ε) = Die beiden Flächen links und rechts von dem symmetrischen Intervall haben jeweils den Inhalt Das gesuchte ε erfüllt also auch P (X µ + ε) = = µ + ε = = ε = Die Körpergröße befindet sich mit einer WS von 72 % im Intervall.

5 Mit der Substitution Z = X µ können wir jede normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ und Standardabweichung in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z (mit µ Z = 0 und Z = ) umwandeln: P (x X x 2 ) = x2 2 π e x Zwischen den Intervallgrenzen bestehen dann die Zusammenhänge z = x µ 2 x µ ( ) 2 z2 dx = e 2 z dz = P (z Z z 2 ). z 2 π und z 2 = x 2 µ Dieser Zusammenhang ist besonders nützlich, wenn µ oder einer Normalverteilung gesucht sind.. Standardisierung X ist normalverteilt mit den Parametern µ = 5 und = 2. Z ist standardnormalverteilt. Dann ist P (3 X 9) = P ( Z ) = 0, Standardisierung Veranschauliche die Wahrscheinlichkeit jeweils als Fläche. Eine normalverteilte Zufallsvariable X hat die Standardabweichung = 2, und es gilt P (X 8) = 0,62. Wie groß ist der Erwartungswert µ von X? Wir berechnen den entsprechenden z-wert für die standardnormalverteilte Zufallsvariable Z mit µ Z = 0 und Z = : P (Z z) = 0,62 = z = Erwartungswert gesucht Die obere Grenze x = 8 von X entspricht also der oberen Grenze z = 0, von Z. Aus z = x µ berechnen wir den Erwartungswert µ von X: z = x µ = µ = x z = Rechts kontrollieren wir noch einmal das Ergebnis.

6 Annäherung: Binomialverteilung Normalverteilung Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit Parametern n und p. Ihr Erwartungswert ist µ = und ihre Standardabweichung ist =. Für große Werte von n liegt das Profil des Säulendiagramms von X nahe am Graphen der Dichtefunktion f der Normalverteilung mit demselben Erwartungswert µ und derselben Standardabweichung. Je größer n bei festem p, desto besser die Annäherung. Für großes n dürfen wir zur Annäherung der Binomialverteilung mit Parametern n und p also die Normalverteilung mit Parametern µ = n p und = n p ( p) verwenden: P (x X x 2 ) Du würfelst 600 Mal mit einem fairen 6-seitigen Würfel. Wie wahrscheinlich ist es, dass du mindestens 90 und höchstens 05 Sechser würfelst? Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der geworfenen Sechser an. ) Exakte Berechnung mit der Binomialverteilung: Stetigkeitskorrektur X ist binomialverteilt mit n = und p =. = P (90 X 05) = 2) Näherungsweise Berechnung mit der Normalverteilung: Erwartungswert und Standardabweichung von X: E(X) = (X) = X ist normalverteilt mit µ = und =. = P (90 X 05) = Eine bessere Annäherung erhalten wir, indem wir das Intervall links und rechts um 0,5 vergrößern. Hier sprechen wir auch von einer Stetigkeitskorrektur. = P (89,5 X 05,5) = Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.