Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten

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1 Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten Josef Berger 11. Juni 2018 Dieses Manuskript enthält auszugsweise einige Teile der Vorlesung. Das Lesen des Manuskriptes ersetzt nicht den Besuch der Vorlesung. Inhaltsverzeichnis I Mathematik 2 1 Mengen 2 2 Zahlen 4 3 Folgen 8 4 Funktionen 11 5 Stetige Funktionen 14 6 Die Winkelfunktionen 14 7 Das Integral 14 8 Die Ableitung 14 II Statistik 14

2 9 Wahrscheinlichkeitsräume 15 Einleitung Dieses Manuskript ist eine Zusammenfassung von Teil I, Kapitel 1-5 der Vorlesung. Teil I Mathematik 1 Mengen Ohne ein Grundverständnis von Mengen ist keine Mathematik möglich. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von einzelnen Elementen. Zum Beispiel ist A := {2, 3, 6, 9} eine Menge. A besteht aus den Elementen 2, 3, 6, 9. Wir schreiben 2 A für 2 ist ein Element von A und 10 / A für 10 ist kein Element von A. Beim Aufschreiben von Mengen kommt es nicht auf die Reihenfolge an, es gilt z.b. {a, b, c} = {c, b, a}. Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Die leere Menge wird mit bezeichnet. Sie enthält kein Element. Mengen A, B können in folgenden Beziehungen zueinander stehen: A = B bedeutet: die Mengen A und B sind gleich, d.h. sie enthalten die gleichen Elemente A B bedeutet: A ist eine Teilmenge von B, d.h. jedes Element von A ist auch ein Element von B Sei A eine Menge und E(x) eine Aussage über ein Elemente x von A. Dann kann man eine neue Menge B bilden, indem man festlegt: x ist ein Element von B genau dann wenn x ein Element von A ist für das E(x) gilt. Schreibweise: B = {x A E(x)}. 2

3 Beispiel: X = {1, 2, 3, 4, 5}. E(n) = n ist gerade. Dann ist {x X E(x)} = {2, 4}. Seien A und B Mengen. Dann ist A B die Schnittmenge oder der Durchschnitt von A und B. Die Menge A B besteht aus den Elementen, die sowohl zu A als auch zu B gehören. Z.B. gilt {a, b, c, d} {c, d, e} = {c, d}. Sprechweise: A geschnitten B. A und B sind disjunkt fallsa B =. Z.B. sind die Mengen {1, 2} und {5, 8, 99} disjunkt. Mengen A 1,..., A n sind paarweise disjunkt falls i j A i A j = gilt. Das ist stärker, als bloß zu fordern n i=1a i =, wie etwa das Beispiel A 1 = {2, 3}, A 2 = {1, 3}, A 3 = {1, 2} zeigt. Seien A und B Mengen. Dann ist A B die Vereinigungsmenge oder die Vereinigung von A und B. A B besteht aus den Elementen, die entweder zu A oder zu B gehören (oder zu beiden Mengen). Z.B. gilt {a, b, c, d} {a, d, e} = {a, b, c, d, e}. Sprechweise: A vereinigt B. Die Differenzmenge A\B von A und B besteht aus den Elementen, die zu A, aber nicht zu B gehören. Z.B. gilt {a, b, c, d} \ {a, d, e} = {b, c}. Sprechweise: A ohne B. Es gilt nicht: (A B) C = A (B C) Lemma 1. Für Mengen A, B, C gelten stets folgende Aussagen: i) (A B) C = (A C) (B C) Seien A, B Mengen. Die Menge A B besteht aus allen geordneten Paaren (a, b) mit a A und b B. Bei geordneten Paaren (a, b) kommt es schon auf die Reihenfolge an! A B = {(a, b) a A und b B} Man nennt A B die Produktmenge oder das kartesische Produkt von A und B. Für A = {1, 2} und D = {z, y, z} gilt also A D = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. 3

4 FürA A schreibt man auch A 2. Verallgemeinerung: A B C, A n, etc. Für eine endliche Menge A sei die Mächtigkeit von A. Z.B. gilt A = die Anzahl der Elemente von A Lemma 2. Für Mengen A, B, D gilt i) A B = A + B A B ii) A \ B = A A B iii) A B = A B iv) A n = A n. 2 Zahlen Es sei {78, 9, 0} = 3. N := {1, 2, 3,...} die Menge der natürlichen Zahlen und Weiter sei N 0 := {0, 1, 2, 3,...} = N {0}. Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} die Menge der ganzen Zahlen und { z } Q := n z Z, n N die Menge der rationalen Zahlen. Wir Stellen uns R, die Menge der reellen Zahlen, vor als Vervollständigung von Q, die auch Zahlen wie 2 oder π enthält. Es gilt N N 0 Z Q R. Für reelle Zahlen a, b, c gilt: a + b = b + a a b = b a 4

5 (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) (a + b) c = a c + b c x + 0 = x x 1 = x Es gelten die binomischen Formeln: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 Wir schreiben a < b für a ist kleiner als b. Für reelle Zahlen a, b, c gilt: a < b oder b < a oder a = b a < b a + c < b + c a < b ac < bc ( für c > 0) a < b und b < c a < c Es sei a b (wir sagen: a ist kleinergleich b) definiert durch a b : a < b oder a = b. Setze a > b : b < a und a b : b a und a < b < c : a < b und b < c. Lemma 3. Für alle reelle Zahlen a, b, c gilt: i) a < b und c < 0 ac > bc ii) a < b und c < d a + c < b + d iii) 0 < a < b und 0 < c < d ac < bd iv) 0 < a < b 0 < 1/b < 1/a 5

6 Ein Intervall ist eine Teilmenge X von R, so dass für alle reelle Zahlen a, b, c gilt: a < b < c und a X und c X b X. Mit < bzw. können wir folgende Arten von Intervallen definieren. Abgeschlossene Intervalle: [a, b] := {x R a x b} Offene Intervalle: Halboffene Intervalle: (a, b) := {x R a < x < b} [a, b) := {x R a x < b} Unendliche Intervalle: (a, b] := {x R a < x b} [a, ) := {x R a x} (a, ) := {x R a < x} (, a] := {x R x a} (, a) := {x R x < a} (, ) := R Für x R ist der Betrag von x definiert durch { x für x 0 x := x für x < 0. Lemma 4. Für alles reelle Zahlen x, r mit r > 0 gilt: i) x 0 ii) x = 0 x = 0 iii) x x iv) x x v) x < r r < x < r vi) x r r x r 6

7 Satz 1. Für alles reelle Zahlen a, b, c gilt: i) x y = x y ii) = x x y y iii) x + y x + y iv) x y x y x y Das Maximum von x, y R ist definiert durch { x für x y max {x, y} := x für x < y. Für a R und n N sei a n durch a n := a a... a }{{} n-mal definiert. Weiter setzen wir a 0 := 1. Für n N setzen wir für a 0 a n := 1 a n. Damit ist a z für alle z Z definiert. Falls z < 0, müssen wir a 0 voraussetzen. Es gilt: a z = 1 a z = ( ) z 1. a Satz 2. Für alle a, b R und k, l, n Z gilt: 1) (a b) n = a n b n 2) ( ) a n b = a n (wobei b 0) b n 3) a l a n = a l+n 4) (a l ) n = a l n Vorsicht: Schreiben Sie niemals a nm, weil dann nicht klar wäre, ob Sie (a n ) m oder a (nm) meinen. Sei b > 0 und n N. Dann gibt es genau eine reelle Zahl x > 0 mit x n = b. Diese Zahl x heißt n-te Wurzel aus x und wird mit n b bezeichnet. Weiter setzen wir n 0 = 0. 7

8 Lemma 5. Seien a, b > 0 und n, m N. Dann gilt: i) n a b = n a n b ii) iii) iv) n a b = n a n b n a m = ( n a) m n m b = n m b = m n b v) m a = n m a n Sind die Zahlen a 1,..., a n gegben, so schreibt man für ihre Summe und ihr Produkt n a i := a a n i=1 n a i := a 1... a n. i=1 Lemma 6. Seien n, m N, a 1,..., a n R, b 1,..., b n R und λ R. Weiter sei für alle i {1,..., n} und j {1,..., m} eine reelle Zahl c ij gegeben. Dann gilt: i) n i=1 (a i + b i ) = n i=1 a i + n i=1 b i ii) n i=1 (λ a i) = λ n i=1 a i iii) n i=1 3 Folgen m j=1 c ij = m j=1 n i=1 c ij Eine Folge ist eine unendliche Aufzählung reeller Zahlen. Schreibweise: (x 1, x 2, x 3,...) oder (x n ) n N oder (x n ) Für jedes n muss dabei klar sein, wie man a n konstruiert. Beispiele: 1. x n := a (für festes a R) 2. x n := 1 n 3. x n := 1 n 2 8

9 4. x n := n n+1 5. x n := ( 1) n 1 n 6. x n := n 7. x n := ( 1) n 8. x n := q n 1 (für festes q R) 9. x n := (1 + 1 n )n Sei (x n ) eine Folge und a R. Die Folge (x n ) konvergiert gegen a, falls es für alle ε > 0 ein n 0 gibt, so dass x n a < ε für alle n n 0. Schreibweise: x n a, lim n x n = a, lim x n = a Eine Folge (x n ) heißt konvergent, falls es ein a gibt mit x n a. In diesem Fall ist a eindeutig bestimmt. Eine Folge (x n ) heißt Nullfolge, falls sie gegen 0 konvergiert. Eine Folge (x n ) heißt divergent, falls sie nicht konvergent ist. Konvergenzverhalten einiger Folgen: 1. die Folgex n := a konvergiert gegen a 2. die Folge x n := 1 n konvergiert gegen 0 3. die Folge x n := 1 n 2 konvergiert gegen 0 4. die Folge x n := n n+1 5. die Folge x n := ( 1) n 1 n 6. die Folge x n := n divergiert konvergiert gegen 1 7. die Folge x n := ( 1) n divergiert Sind (x n ) und (y n ) Folgen, so kann man durch a n := x n + y n, b n := x n y n, c n := x n y n und d n = xn y n neue Folgen bilden. Mann kann Folgen also addieren, subtrahieren, etc. indem man sie komponentenweise addiert, subtrahiert, etc. Satz 3. Sind (x n ) und (y n ) Folgen mit x n a und y n b, so gilt i) x n + y n a + b ii) x n y n a b iii) x n y n a b 9

10 iv) xn y n a b (wobei alle y n 0 und b 0) Eine Folge (x n ) heißt beschränkt, falls es K N gibt mit: x n K für alle n N. Satz 4. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Satz 5. Für jede reelle Zahl x gibt es eine Folge rationaler Zahlen (a n ), die gegen x konvergiert. Eine Folge (x n ) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 N gibt, so dass x n x m ε für alle n, m n 0 gilt. Satz 6. Die Cauchyfolgen sind genau die konvergenten Folgen. Damit können wir x y für beliebige x, y R mit x > 0 definieren. Sei (a n ) eine Folge rationaler Zahlen, die gegen y konvergiert. Dann definieren wir x y als den Grenzwert der Cauchyfolge (x an ) n N. Satz 7. Seien a, b, r, s R mit a, b > 0. Dann gilt: (1) a r b r = (a b) r (2) a r a s = a r+s, a r = 1 a r (3) (a r ) s = a r s = (a s ) r (4) a < b a r < b r (für r > 0) (5) r < s a r < a s (für a > 1) (6) r < s a r > a s (für a < 1) Lemma 7. Sei a > 0 und x n := n a. Dann gilt x n 1. Satz 8. Seien (a n ), (b n ) und (x n ) Folgen, sei a R und gelte a n a sowie b n a. Weiter gebe es ein n 0, so dass a n x n b n für alle n n 0 gilt. Dann konvergiert auch (x n ) gegen a. 10

11 Eine Folge (x n ) heißtmonoton wachsend, falls aus n < m stets x n x m folgt, streng monoton wachsend, falls aus n < m stets x n < x m folgt, monoton fallend, falls aus n < m stets x n x m folgt und streng monoton fallend, falls aus n < m stets x n > x m folgt. Satz 9. Eine beschränkte und monoton wachsende (oder monoton fallende) Folge ist konvergent. Man kann zeigen, dass die Folge x n := (1 + 1/n) n monoton wachsend und durch 3 beschränkt ist. Ihr Grenzwert witd mit e bezeichnet. Mann nennt e die Eulersche Zahl. 4 Funktionen Sei D R. Eine Funktion (Abbildung) f von D nach R ist eine Vorschrift, durch die jedem Element x D genau ein Element f(x) R zugeordnet wird. Notation anhand eines Beispiels: oder oder Die Funktion f : [0, ) R, f(x) = x 2 f : [0, ) R, x x 2 f(x) = x 2, x [0, ) id D : D R, x x heißt Identität auf D. Für c R nennt man die Funktion konstante Funktion mit Wert c. f : D R, x c Sei f : D R eine Funktion. Der Wertebereich W f von f ist die Menge aller Funktionswerte, also Der Graph von f ist die Menge W f := {f(x) x D} R. graph f := {(x, f(x)) x D} D R. 11

12 Eine Funktion f : D R heißt monoton wachsend, falls aus s < t stets f(s) f(t) folgt. Die Begriffe streng monoton wachsend, monoton fallend und streng monoton fallend sind entsprechend definiert. Man kann Folgen als Funktionen (mit Definitionsbereich N) auffassen. Man kann Funktionen (besser gesagt ihre Graphen) in ein Koordinatensystem einzeichnen. Die Summe zweier Funktionen f, g : D R ist gegeben durch Das Produkt is gegeben durch Der Quotient ist gegeben durch f + g : D R, x f(x) + g(x). f g : D R, x f(x) g(x). f g : D R, x f(x) g(x). Beim Quotienten ist 0 / W g vorausgesetzt. Für Funktionen g : D R und f : E R mit W g E ist die Komposition (Hintereinanderausführung) von f und g definiert als f g : D R, x f(g(x)). Eine Funktion f : D R heißt umkehrbar, falls es zu jedem y W f genau ein x D gibt mit f(x) = y. Man serzt dann f 1 (y) := x und erhält eine Funktion (die Umkehrfunktion von f) f 1 : W f R, y f 1 (y). Satz 10. Streng monoton wachsende Funktionen und streng monoton fallende Funktionen sind umkehrbar. Satz 11. Seien f : D R und g : E R Funktionen. Gelte W f = E und W g = D. Dann sind äquivalent: (1) g = f 1 (g ist die Umkehrfunktion von f) (2) f = g 1 (f ist die Umkehrfunktion von g) (3) g f = id D (4) f g = id E 12

13 Der Definitionsbereich von f 1 ist der Wertebereich von f. Der Wertebereich von f 1 ist der Definitionsbereich von f. Ist die Zuordnungsvorschrift der Funktion durch eine Gleichung gegeben (z.b. f(x) = 2x 1), so kann man die Zuordnungsvorschrift der Umkehrfunktion durch Auflösen der Gleichung nach x bestimmen (im obigen Beispiel f 1 (y) = y+1 ). Den Graphen der 2 Umkehrfunktion von f erhält man, indem man den Graphen von f an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten spiegelt. Sei r > 0. Die Funktion f : (0, ) R, x x r ist streng monoton wachsend und damit umkehrbar. Es gilt W f = (0, ) und g : (0, ) R, x x 1/r ist die Umkehrfunktion von f. Sei r > 0. Die Funktion exp a : R R, x a x ist streng monoton wachsend und damit umkehrbar. Man nennt die Funktion exp a die Exponentialfunktion zur Basis a. Der Wertebereich von exp a ist (0, ). Die Umkehrfunktion von exp a heißt Logarithmusfunktion zur Basis a und wird mit log a bezeichnet. Wir können die Funktionswerte log a (x) nicht einfach hinschreiben oder ausrechnen. Für a = e schreiben wir auch exp(x) für exp e (x) und ln(x) für log e (x). Lemma 8. Für alle a > 1 und x R gilt: i) exp a (x) = exp(x ln(a)) ii) log a (x) = ln(x) ln(a) iii) exp a (x + y) = exp a (x) exp a (y) iv) log a (x y) = log a (x) + log a (y) 13

14 5 Stetige Funktionen Sei I R ein Intervall. Eine Funktion f : I R heißt stetig, falls gilt: x n x f(x n ) f(x) für alle Folgen (x n ) und Zahlen x mit x, x n I. Stetig bedeutet: die Funktion hat keine Sprünge bzw. man kann den Graphen der Funktion zeichnen, ohne mit dem Stift abzusetzen. Satz 12. (Zwischenwertsatz für stetige Funktionen) Sei f : [a, b] R stetig und gelte f(a) y 0 f(b). Dann gibt es (mindestens) ein x 0 [a, b] mit f(x 0 ) = y 0. Satz 13. Kompositionen stetiger Abbildungen sind stetig. Die Umkehrabbildungen stetiger invertierbarer Funktionen sind stetig. Summen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen sind stetig. Die Identität und die konstanten Abbildungen sind stetig. Die Funktionen exp a, log a, und x x r sind stetig. 6 Die Winkelfunktionen dieser Abschnitt wird nicht online gestellt 7 Das Integral dieser Abschnitt wird nicht online gestellt 8 Die Ableitung dieser Abschnitt wird nicht online gestellt Teil II Statistik Zufallsexperiment mathematisches Modell Wahrscheinlichkeitstheorie: Ich kenne das Modell und berechne dadurch die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Ereignisse. Z.B. Würfeln, Lotto, Kasino 14

15 Statistik: Ich beobachte zufällige Vorgänge (bzw. ich führe ein Zufallsexperiment durch) und ziehe anhand der Ergebnisse Schlüsse über die zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten. Z.B maliges Werfen einer verbogenen Münze, was ist die Wahrscheinlichkeit für Zahl? 9 Wahrscheinlichkeitsräume Beispiel: 0,5% der Bevölkerung haben eine bestimmte Infektionskrankheit. Ein Test zeigt bei 99% der Infizierten positiv an. Er zeigt auch bei 2% der Nichtinfizierten positiv an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Ergebnis infiziert zu sein? Um diese Frage beantworten zu können, benötigen wir einige grundlegende Begriffe. Die möglichen Ergebnisse ω eines Zufallsexperiments werden zu einer Ergebnismenge Ω zusammengefasst. Zum Beispiel einmaliges Würfeln, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Das Ergebnis ω = 3 bedeutet, dass die Zahl 3 gewürfelt wird. Teilmengen A Ω heißen Ereignisse. Das Ereignis A tritt ein, wenn das Zufallsexperiment ein Ergebnis ω hat mit ω A. Zum Beispiel einmaliges Würfeln, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und A = {2, 4, 6}. Das Ereignis A steht für es fällt eine gerade Augenzahl. Seien nun Ereignisse A, B, A 1, A 2,... gegeben. Wir können wie folgt neue Ereignisse definieren. A := Ω \ A ist das Ereignis, dass A nicht eintritt A B ist das Ereignis, dass entweder A oder B eintritt (oder beide) A B ist das Ereignis, dass sowohl A als auch B eintreten Entsprechen definieren bzw. interpretieren wir die Ereignisse A 1 A 2 A 3... A n und A 1 A 2 A 3... A n. 15

16 Wahrscheinlichkeismaße Wir fassen alle relevanten Ereignisse A zu einer Ereignismenge A zusammen. Jedes Element von A ist also eine Teilmenge von Ω. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Zuordnung P, die jedem Ereignis A A eine relle Zahl P (A) zuordnet 1, so dass die Axiome von Kolmogorow erfüllt sind: K1) Für alle A gilt 0 P (A) 1. K2) P (Ω) = 1 K3) Für paarweise disjunkte Ereignisse A 1,..., A n gilt P (A 1... A n ) = P (A 1 ) P (A n ). Das Tripel (Ω, A, P ) nennt man dann einen Wahrscheinlichkeitsraum. Bemerkung: Falls etwa gilt P (A) = 0, 2 sagen wir auch mit 20% iger Wahrscheinlichkeit tritt A ein. Satz 14. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien A, B A. a) P (A) = 1 P (A) b) P ( ) = 0 c) A B P (A) P (B) d) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) e) P (A B) P (A) + P (B) Bedingte Wahrscheinlichkeiten Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei B A mit P (B) > 0. Setze für alle A A P (A B) P B (A) =. P (B) P B (A) heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzng B. Die Zuordnung A P B (A) ist selber ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A. Wir interpretieren P B (A) als die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A wenn wir wissen, dass B eintritt. 1 somit können wir P : A R, A P (A) als eine Abbildung auffassen 16

17 Die Formel von Bayes Satz 15. In jedem Wahrscheinlichkeitsraum gilt für Ereignisse A,B mit P (B) > 0 P A (B) P (A) P B (A) = P A (B) P (A) + P A (B) P (A). Lösung der Infektionsaufgabe mit Hilfe der Bayes-Formel: Sei B das Ereignis Test positiv und sei A das Ereignis infiziert. Die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Testergebnis infiziert zu sein ist also P B (A). Wir erhalten P B (A) = P A (B) P (A) P A (B) P (A) + P A (B) P (A) = = Endliche Wahrscheinlichkeitsräume 0, 2. Ist Ω endlich, so ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω eindeutig festgelegt durch die Werte p ω := P ({ω}), für ω Ω. Dies folgt aus P (A) = P ( ω A {ω}) = ω A P ({ω}). Die Gleichverteilung Ist Ω endlich, so betrachten wir als Ereignismenge A stets die Menge aller Teilmengen von Ω. Falls alle ω Ω mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten spricht man von einem Laplace-Experiment. Das entsprechende Wahrscheinlichkeitsmaß P heißt dann Gleichverteilung. Für jedes Ereignis A gilt also P (A) = A Ω = Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse. Sei Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und A = {2, 4, 6}. Sei P die Gleichverteilung. Dann gilt P (A) = A Ω = 1 2. Das Werfen eines fairen Würfels ist ein typisches Laplace-Experiment. Fair bedeutet hierbei, dass jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6 hat. 17

18 Die Binomialverteilung Sei n N und p [0, 1]. Wir betrachten eine Münze, die bei einem Wurf mit Wahrscheinlichkeit p auf Zahl fällt. Sei k {0, 1, 2,..., n}. Satz 16. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Würfen der Münze k-mal Zahl fällt, ist n! (n k)! k! pk (1 p) n k. Wir haben also einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit Ω = {0, 1, 2,..., n} und n! p ω := (n k)! k! pk (1 p) n k. Beispiel: In einem Landstrich weise 10% der Bevölkerung das Merkmal A auf. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter drei zufällig ausgewählten Personen a) niemand das Merkmal A aufweist b) mindestens zwei Personen das Merkmal A aufweisen. 18