Gasdynamik Tatjana Winkler Johannes Gutenberg Universität

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1 1 Gasdynamik Tatjana Winkler Johannes Gutenberg Universität

2 2 Inhaltsverzeichnis 1. Thermodynamik 2. Bewegungsgleichung 3.Methode der Charakteristiken Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses Entstehung eines Schocks 4. Rankine Hugoniot Bedingungen Herleitung Dichteverhältnis und Entropiedifferenz Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

3 3 Beispiel einer Schockwelle -Projektil mit Überschallgeschwindigkeit- Quelle:[WMBK00,S.240 Abb.7.21]

4 4 Thermodynamik Äquipartionstheorem Jeder Freiheitsgrad f in einem idealen Gas bei Temperatur T besitzt die gleiche innere Energie: = (1) wobei k= 1, J/K (Boltzmann Konstante)

5 5 Thermodynamik Beispiele Ein Atom mit Freiheitsgrad f = 3 = Ein Molekül aus n Atomen mit f = 3 = = wobei = die universelle Gaskonstante und (Teilchenzahl/Stoffmenge) die Avogadrokonstante bezeichne. DiatomischesGas =

6 6 Thermodynamik Ideales Gasgesetz Mit Hilfe des idealen Gasgesetzes lassen sich Druck, Volumen und Temperatur in einem idealen Gas in Zusammenhang setzen: = (2)

7 7 Thermodynamik Erstes Gesetz der Thermodynamik Die innere Energie in einem idealen Gas kann sich in andere Energien umwandeln, aber nicht vernichtet werden: =+ (3) In der Regel ist die Erhöhung der inneren Energie mit einer Volumenvergrößerung verbunden. Das Gas leistet somit die Arbeit =. Eingesetzt in (3) erhalten wir = (4)

8 8 Thermodynamik Entropie Thermische Energie, die nicht in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann. Sie wird über das Verhältnis von übertragener Wärme und der Temperatur des Gases bestimmt: = (5)

9 9 Thermodynamik Zweites Gesetz der Thermodynamik Die Entropie in einem idealen Gas kann nicht kleiner werden: = (6)

10 10 Thermodynamik Betrachten wir als eine Funktion von und dann erhalten wir für die Änderung der inneren Energie: =! " # +! # " (7) Durch Vergleich mit dem 2. Gesetz der Thermodynamik folgt:! " # sowie! # "

11 11 Thermodynamik Enthalpie Energie die das Gas zur Verfügung hat, um es mit der Umgebung auszutauschen. Es gilt: &=+ (8) Mit dem 2. Gesetz der Thermodynamik (6) folgt: &=+ (9)

12 12 Thermodynamik Betrachten wir & als eine Funktion von und dann erhalten wir für die Änderung der Enthalpie: &= ) " * + ) * " (10) Durch Vergleich mit 2. Gesetz der Thermodynamik (9) folgt: = ) " * sowie = ) " *

13 13 Thermodynamik Mit dem Satz von Schwarz erhalten wir die folgende Beziehung: " * = # * " (11) Analog zur Enthalpie erhalten wir über die Freie Energie, = die folgende Beziehung: * # = " # (12)

14 14 Thermodynamik Wärmekapazität Wenn das Gas Wärme aufnimmt und somit die Temperatur steigt, können wir die Wärmekapazität - ausdrücken durch C= (13) Aus dem 1. Gesetz der Thermodynamik (4) folgt =- (14)

15 15 Thermodynamik Zusammenhang zwischen - # und - * Fall 1: Das Gas nimmt die Wärme bei einem konstanten Volumen auf. Das heißt =0. Eingesetzt in (14) erhalten wir: =- # - # =! - # =! # = (15)

16 16 Thermodynamik Fall 2: Das Gas nimmt die Wärme bei einem konstantem Druck auf. Durch Umstellen von Gleichung (14) erhalten wir: - * = + - * = 0 0 * 0 0 * - * = + *

17 17 Thermodynamik Sei nun eine Funktion, die von (,) und abhängt. Dann ergibt sich: - * = 0 0 (,,)+ * Anwenden der Kettenregel ergibt - * = # # * +! # + # (2) - * =- # *

18 18 Thermodynamik (3) - * = - # * (2) - * = - # # 0 0 * () - * =- # + (16)

19 19 Thermodynamik Für ein diatomisches Gas gilt also: Sowie - # = * = 7 2

20 20 Thermodynamik Aus (6),(15),(2) und (16) folgt " 4 5 = # # (17) Dabei bezeichne 7= den Isentropenexponent. Bei einem diatomischengas ist 7=1.4

21 21 Thermodynamik Mit Integration von (17) und dem idealen Gasgesetz (2) folgt 9 : =log > 7 +9?@AB F G =D E 5 > H (18) Insgesamt ergibt sich für die innere Energie =- # = * HI2 J (19)

22 22 Inhaltsverzeichnis 1. Thermodynamik 2. Bewegungsgleichung 3. Methode der Charakteristiken Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses Entstehung eines Schocks 4.Rankine Hugoniot Bedingungen Herleitung Dichteverhältnis und Entropiedifferenz Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

23 23 Bewegungsgleichung Für die Bewegung eines reibungsfreien Gases mit kleiner Amplitude (Schallwelle) gilt: Massenerhaltung Impulserhaltung KJ KL +>M O=0 (20) KP KL + 2 J M=0 (21)

24 24 Bewegungsgleichung Um die Bewegung eines reibungsfreien Gases mit großer Amplitude zu beschreiben, brauchen wir noch zusätzlich die Energieerhaltung. Diese erhalten wir mit Hilfe von (20) sowie der Eigenschaft, dass Energie sich aus kinetischer Energie und innerer Energie zusammensetzt. L 2 > O 2 +> +M 2 > O 2 +>+ O =0 (22)

25 25 Bewegungsgleichung Durch Eliminierung von M O und KP KL in (22) erhalten wir K! * KJ KL J KL =0 (23) Durch Einsetzen von (23) in den 2. Hauptsatz (6)erhalten wir K" KL =0 (24) Das heißt die Entropie ist entlang einer Schallwelle mit kleiner Amplitude konstant. Solche Strömungen nennt man isentrop.

26 26 Bewegungsgleichung Für die Massenerhaltung und Impulserhaltung der Schallwelle mit der Druck Dichte Beziehung (18) gilt: Massenerhaltung Impulserhaltung P J L +M >O =0 (25) L +O M O+7>HI M>=0 (26)

27 27 Inhaltsverzeichnis 1. Thermodynamik 2. Bewegungsgleichung 3. Methode der Charakteristiken Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses Entstehung eines Schocks 4.Rankine Hugoniot Bedingungen Herleitung Dichteverhältnis und Entropiedifferenz Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

28 28 Methode der Charakteristiken -Konstruktion für die Bewegung eines eindimensionalen Flusses- Für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses mit Druck-Dichte Beziehung (18) gilt: J + (JP) L Q =0 (27) P L +O P Q +7>HI J Q =0 (28)

29 29 Methode der Charakteristiken -Konstruktion für die Bewegung eines eindimensionalen Flusses- Aus der Schallgeschwindigkeit sowie 9 = * J " = 7> HI2 (29) R = (30) J J erhalten wir durch Einsetzen in (27) und (28) 2 R L +2O R Q P Q =0 (31) P +O P + R L Q HI2 R Q =0 (32)

30 30 Methode der Charakteristiken -Konstruktion für die Bewegung eines eindimensionalen Flusses- Durch Addition und Subtraktion der Gleichung (32) mit 2 HI2 (31) erhalten wir: L O± R HI2 + O±9 Q O± R HI2 =0 (33) Analog zu den Charakteristiken des eindimensionalen Verkehrsflusses betrachten wir nun zusätzlich die Riemann Invarianten: ± =O± R (HI2) (34)

31 31 Methode der Charakteristiken -Konstruktion für die Bewegung eines eindimensionalen Flusses- Für die Riemann Invarianten gilt: T ist konstant auf der Charakteristik U T (B) mit V W L =O+9 (35) I ist konstant auf der Charakteristik U I (t) mit V Y L =O 9 (36)

32 32 Inhaltsverzeichnis 1. Thermodynamik 2. Bewegungsgleichung 3. Methode der Charakteristiken Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses Entstehung eines Schocks 4.Rankine Hugoniot Bedingungen Herleitung Dichteverhältnis und Entropiedifferenz Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

33 33 Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks- Wir betrachten die Entstehung eines Schocks anhand eines gleichmäßig beschleunigenden Kolbens in einem Zylinder mit Gas. Annahmen: Kolben bewegt sich mit gleichmäßiger Beschleunigung Z und somit gilt: [ B = 2 ZB2 (37) Zum Zeitpunkt B=0befindet sich der Kolben am Ort [=0und das Gas bei [ 2 ZB2

34 34 Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks- Quelle:[WMBK00,S.247 Abb.7.22]

35 35 Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks- Für die Charakteristiken U I die zum Zeitpunkt B=0 entstehen, gilt wegen (34): und somit I =O R HI2 = R^ HI2 9 =9^ O (38)

36 36 Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks- Für die Charakteristiken U T die am Kolben entstehen, gilt wegen (35) und (38): V W L =O+9= ZB 0 und somit folgt mit Integration: U T B;B 0 = 2 ZB at 0 B B^ (39)

37 37 Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks- Die Charakteristiken werden sich nach endlicher Zeit B A schneiden, da ihre Steigungen mit steigendem B 0 größer werden. Wir nehmen an, dass sich benachbarte Charakteristiken zuerst schneiden. Für `B 0 1 erhalten wir: U T B,B 0 +`B 0 U T B,B 0 +`B 0 0U T 0B 0 (B,B 0 ) Benachtbarte Charakteristiken schneiden sich also, wenn: V W L^ =0

38 38 Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks- Leiten wir also (39) nach B 0 ab und stellen nach B um dann erhalten wir: B= 29 0 Z(7+1) B 0 Dies tritt zum ersten Mal für die Charakteristik zu, die zum Zeitpunkt B=0entsteht. Daraus ergeben sich: B A = 29 0 Z(7+1) [ A = 29^ Z(7+1)

39 39 Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks- Beispiel: Ein Kolben startet mit einer Beschleunigung von Z=100 c d in einen Zylinder der mit Luft gefüllt ist. Dann entsteht eine Schockwelle zum Zeitpunkt B A =2,84A am Ort [ A =969m, da für Luft 7=1.4 und für die Schallgeschwindigkeit 9^ =341 c d gilt.

40 40 Methode der Charakteristiken -Entstehung eines Schocks- Quelle:[WMBK00,S.248 Abb.7.23]

41 41 Inhaltsverzeichnis 1. Thermodynamik 2. Bewegungsgleichung 3. Methode der Charakteristiken Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses Entstehung einer Schockwelle 4. Rankine Hugoniot Bedingungen Herleitung Dichteverhältnis und Entropiedifferenz Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

42 42 Rankine Hugoniot Bedingungen -Herleitung- Um die Rankine Hugoniot Bedingungen herzuleiten, betrachten wir uns die Bewegungsgleichungen (20),(21) und (22): e> eb +>M O=0 eo eb +1 > M=0 0 0B 1 2 > O 2 +> +M 1 2 > O 2 +>+ O =0 in einer Umgebung der Schockwelle.

43 43 Rankine Hugoniot Bedingungen -Herleitung- Angenommen, die Schockwelle ist eben und liegt bei [=A(B). Wir schreiben zunächst (20) in integraler Form Q j B f >[+[>O] Q j Q i =0 (40) Q i und formen den ersten Summanden geschickt um: Q d L B f >[= B (f + Q2 Q2 Q f) >[=(f + d L d L Q2 Q f) d L 0> 0B [+> Ak > l Ak wobei wir mit l den Zustand links der Schockwelle bezeichnen und mit den Zustand rechts der Schockwelle.

44 44 Rankine Hugoniot Bedingungen -Herleitung- Für [ 1 A(B) und [ 2 A(B)in (40) erhalten wir > l > Ak => l O l > O Mit Hilfe der Relativgeschwindigkeit Om = O Ak folgt > l Om l => Om (41)

45 45 Rankine Hugoniot Bedingungen -Herleitung- Analog erhält man aus den Gleichungen (21) und (22) > n Om n + n => Om o + o (42) ( 2 > lom n +> l l + n )Om l =( 2 > Om o +> + o )Om (43) Die Gleichungen (41),(42) und (43) heißen Rankine Hugoniot Bedingungen

46 46 Inhaltsverzeichnis 1. Thermodynamik 2. Bewegungsgleichung 3. Methode der Charakteristiken Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses Entstehung einer Schockwelle 4. Rankine Hugoniot Bedingungen Herleitung Dichteverhältnis und Entropiedifferenz Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

47 47 Rankine Hugoniot Bedingungen -Dichteverhältnis und Entropiedifferenz- Durch Einsetzen der inneren Energie (19) und der Schallgeschwindigkeit können wir die Rankine Hugoniot Bedingungen umschreiben zu: > l Om l => Om (44) > l Om n n => (Om o o ) (45) 2 Om n HI2 n = 2 Om o HI2 o (46)

48 48 Rankine Hugoniot Bedingungen -Dichteverhältnis und Entropiedifferenz- Durch Eliminierung von Om in (44) und 9 o in (46) und geschicktes Umformen von (45) erhalten wir > l 1 > l Om > n > l > n => 27 (1 > n > )Om n o Durch Löschen des Faktors (> l > ) erhalten wir 7+1 J n =7 1+ R j p (47) J o Pq n

49 49 Rankine Hugoniot Bedingungen -Dichteverhältnis und Entropiedifferenz- Durch Einsetzen der Machzahl r l = Pq n R n in (47) erhalten wir schließlich > +2r n = 7 1 r n > l 7 1 r n +2 Sowie über Symmetrie > l +2r o = 7 1 r o > 7 1 r o +2

50 50 Rankine Hugoniot Bedingungen -Dichteverhältnis und Entropiedifferenz- Daraus folgt r n >1falls r o <1. Das heißt, dass der Fluss auf der linken Seite der Schockwelle Überschallgeschwindigkeit hat, wenn er auf der rechten Seite Unterschallgeschwindigkeit hat; und umgekehrt.

51 51 Rankine Hugoniot Bedingungen -Dichteverhältnis und Entropiedifferenz- Mit Hilfe der Schockwellenstärke u= * o I* p * n lässt sich eine weitere Eigenschaft aus den Rankine Hugoniot Bedingungen schlussfolgern: n - =v?w (1+u)( u)7 ( u) 7 Für u 1bezeichnen wir den Schock als schwach und es gilt: n - ~ u3

52 52 Rankine Hugoniot Bedingungen -Dichteverhältnis und Entropiedifferenz- Quelle:[WMBK00,S.253 Abb.7.25]

53 53 Inhaltsverzeichnis 1. Thermodynamik 2. Bewegungsgleichung 3. Methode der Charakteristiken Konstruktion für die Bewegung eines 1 dimensionalen Flusses Entstehung einer Schockwelle 4. Rankine Hugoniot Bedingungen Herleitung Dichteverhältnis und Entropiedifferenz Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand

54 54 Rankine Hugoniot Bedingungen -Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand- Quelle:[WMBK00,S.255 Abb.7.27]

55 55 Rankine Hugoniot Bedingungen -Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand- Wir betrachten eine Schockwelle, die an einer ebenen Wand reflektiert und sind an dem Druck interessiert, der dadurch entsteht. Durch Eliminierung von und > in den Rankine Hugoniot Bedingungen (44)und (46) erhalten wir Om HT2 n +Om n Om o Om n H HT2 * p J p =0 (48)

56 56 Rankine Hugoniot Bedingungen -Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand- Bevor die Schockwelle mit Geschwindigkeit y T die Wand erreicht gilt sowie Om n =O " y T Om o = y T (49) Durch Substitution in (48) erhalten wir HT2 O " y T 2 O " O " y T H HT2 * F J F =0 (50)

57 57 Rankine Hugoniot Bedingungen -Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand- Für die Geschwindigkeit y I der reflektierenden Schockwelle gilt Sowie Om n =O " +y I Om o =y I (51) Durch Substitution in (48) erhalten wir HT2 O " +y I 2 O " O " +y I H HT2 * F J F =0 (52)

58 58 Rankine Hugoniot Bedingungen -Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand- Weiter gilt wegen (50) und (52), dass O " y T und O " +y I Lösungen der folgenden Gleichung sind: O " y T O " +y I = H* F J F (53) Durch Eliminierung von Om o und > in den Rankine Hugoniot Bedingungen (44) und (46) erhalten wir HT2 J p Pq p = * z + HI2 * p * p HT2 (54)

59 59 Rankine Hugoniot Bedingungen -Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand- Durch Substituieren von (49) und (51) in (54) erhalten wir HT2 J p P F I{ W = * + HI2 * p * F HT2 (55) HT2 J p P F T{ Y = * i + HI2 * p * F HT2 (56)

60 60 Rankine Hugoniot Bedingungen -Reflektion einer Schockwelle an einer ebenen Wand- Durch Multiplikation von (55) mit (56) und Anwenden von (53) erhalten wir: ^ " " 7+1 = Da wir erwarten, dass der Druck im Schock größer ist, nehmen wir ^ " an und erhalten somit 2 " Beispielsweise erhalten wir bei Luft (7=1.4): 2 8 "

61 61 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

62 62 Quellen [WMBK00] - J. Billingham und A. C. King, Wave Motion Cambridge University Press, 2000.

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