Extremstellenbestimmung: A'(a) = 50 2a = 0 a = 25 und damit b = 25.
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- Gerd Bach
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1 6. Anwendungen der Differentialrechnung 6. Extremwertaufgben Eine Größe G hänge von mehreren Variablen ab. Wenn man sich dafür interesssiert, für welche Werte dieser Variablen die davon abhängige Größe G einen Extremwert annimmt, dann liegt ein Extremwertaufgabe vor. Bei einfachen Aufgabenstellungen bestehen zwischen diesen Variablen Gleichungen sog. Nebenbedingungen, so dass G als Funktion einer einzigen dieser Variablen, der sog. Zielfunktion dargestellt werden kann. Ist die Zielfunktion auf einem Intervall definiert und differenzierbar, dann kann sie an den Intervallgrenzen oder im Innern des Intervalls an den kritischen Stellen den gesuchten Extremwert annehmen. Beispiel Welches Rechteck mit dem Umfang 00 hat den den größten Flächeninhalt? Planfigur: Größe: G A a b Nebenbedingung: U 00 a + b b 50 a Zielfunktion: A(a) a (50 a) 50a a mit 0 < a < 50 Extremstellenbestimmung: A'(a) 50 a 0 a 5 und damit b 5. Randwerte: lim A(a) a 0+0 lim A(a) 0 a 50 0 Von allen Rechtecken mit dem Umfang 00 hat das Quadrat den größten Flächeninhalt. Beispiel Einem gleichschenkligen Dreieck soll ein Rechteck mit der Basis c 0 und der zugehörigen Höhe h 8 wird ein Rechteck einbeschrieben. Für welche Abmessungen hat das Rechteck den größtmöglichen Inhalt?
2 Größe: G A a b Nebenbedingung: a 0 8 b h a 8 b 8 0 Zielfunktion: A(b) 8 b mit 8 b b 8 b 0 < b < 8 Extremstellenbestimmung: A'(b) und damit 4 b 0 b 4 a 5 Randwerte: lim A(b) lim A(b) 0 b 0+0 b 8 0 Für a 5 und b 4 cm ergibt sich ein Maximum des Flächeninhalts. Beispiel 3 Dem endlichen Flächstück, das der Graph der Funktion f mit f(x) 4 x mit der x-achse einschließt, soll das größtmögliche Rechteck mit achsenparallelen Seiten einbeschrieben werden. Welchen Inhalt hat dieses Rechteck? Planfigur: Größe: G A x y Nebenbedingung: y 4 x Zielfunktion: A'(x) x (4 x ) 8x x 3 mit 0 < x < Extremstellenbestimmung: A'(x) 8 6x 0 x 3 3 Randwerte: lim A(x) lim A(x) 0 x 0+0 x 0 Art des Extremums: 0 < x < < x < A'(x) +
3 Das gesuchte Rechteck hat den Inhalt A( 3 Veranschaulichung der Funktion A(x) 3) Beispiel 4 Der Punkt C x y liegt auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) x + 4 Für welchen Wert von x hat das Dreieck ABC mit A 0 und B x 0 maximalen Flächeninhalt? Größe: G A (x + ) y mit x Nebenbedingung: y 4 x Zielfunktion: A(x) (x + ) (4 x ) Extremstellenbestimmung: A'(x) (4 x ) + (x + ) ( x) 0 4 x x 4x 0 3x 4x 4 0 x x 3 < x < 3 3 < x < A'(x) +
4 Randwerte: A( ) A() 0 Für x 3 ergibt sich ein Maximum des Inhalts. Veranschaulichung der Funktion A(x) : Beispiel 5 Einem Halbkreis mit dem dem Radius R wird ein Rechteck einschrieben, dessen eine Seite auf dem Durchmesser des Halbkreis liegt. Welchen maximalen Flächeninhalt kann ein derartiges Recheck besitzen? Planfigur: Größe: G A a b Nebenbedingung: a + b R b R a Zielfunktion. A(a) a R a mit 0 < a < R Extremstellenbestimmung: A'(a) R a ( a) + a R a R a a R a 0 R a R a a 0 a R b R Randwerte:
5 lim A(a) 0 a 0+0 und lim A(a) 0 a R 0 Das größtmögliche Rechteck hat einen Inhalt von A( R ) R. Veranschaulichung der Funktion A(a) für R : Bemerkung : Um die Extremstelle zu finden, kann man auch die Funktion Q(a) A(a) Wegen Q'(a) A(a) A'(a) sind die kritischen Stellen von A(a) auch kritische Stellen von Q(a). untersuchen. Es ist Q(a) 4a (R a ) 4R a 4a 4 8R a 6a 3 0 a R Bemerkung: Als unabhängige Variable lässt sich auch der Winkel α (Bogenmaß x) verwenden. Es gilt dann A(x) R cosx R sinx R sinx cox und damit A'(x) R cos x R sin x R (cos x ) 0 x π 4 Beispiel 6 Einem Kreis wird ein möglichst großes gleichschenkliges Dreieck einbeschrieben. Welchen Flächeninhalt besitzt dieses Dreieck?
6 Planfigur: Größe: G A c (R + d) mit 0 d R Nebenbedingung: ( c ) + d R c R d Zielfunktion: A(d) R d (R + d) (R + d) R d Extremstellenbestimmung: A'(d) R d + R + d R d ( d) R d Rd + d R d 0 R d R d Rd d 0 d + Rd R 0 d R d R Art des Extremum: 0 < d < R R < d < R A'(d) + Randwerte: A(0) R < 3 und 4 R 3 A(R) 0 Für d R liegt ein Maximum des Flächeninhalts vor. Es ergibt sich dann c R ( R und damit ) R 3 A( R ) 3 4 R 3 Veranschaulichung der Funktion A(d) mit R :
7 Beispiel 7 Welcher Zylinder mit der Oberfläche O dm besitzt den größten Rauminhalt? Größe: G V π r h Nebenbedingung: O π r + πr h h π r πr Zielfunktion: V(r) π r π r πr und damit r ( π r ) 0 r π Extremwertbestimmung: V'(r) ( π r ) + r ( 4πr) 3π r 0 r 6π Art des Extremums: 0 < r < 6π 6π < r < π V'(r) + Randwerte: V(0) V( π ) 0 Damit sich maximaler Rauminhalt ergibt muss r 6π sein. Beispiel 8 Welcher Quader mit quadratischer Grundfläche hat bei gegebenem Volumen V den kleinsten Oberflächeninhalt? Größe: G O a + 4a h
8 Nebenbedingung: V a h h V und damit a 0 < a < Zielfunktion: O(a) a + 4a V a a + 4V a Extremwertbestimmung: O'(a) 4a 4V und damit a 0 a 3 V h V V 3 V 3 a Randwerte: 0 < a < 3 V 3 V < a < O'(a) + lim O(a) a 0 und lim O(a) a Damit sich ein minimaler Oberflächeninhalt ergibt muss der Quader ein Würfel sein. Es ist dann O(V 3 3 ) 6V. Veranschaulichung der Funktion O(a) mit V : Beispiel 9 Einer Halbkugel mit dem Radius R wird ein Kegel einbeschrieben, dessen Spitze der Mittelpunkt des Grundkeises der Halbkugel ist. Bestimmen Sie das größte Volumen, das ein derartiger Kegel haben kann!
9 Planfigur: Größe: G V 3 π r h Zielfunktion: V(x) mit 3 π (R cosx) R sinx 3 π R3 cos x sinx 0 < x < π Reduzierte Zielfunktion: f(x) cos x sinx Extremstellenberechnung: f '(x) cosx ( sin x) + cos x cosx 0 cosx ( sin x + cos x) 0 cosx 0 3cos x 0 x π sinx 3 3 und damit cosx. 3 6 Randwerte: lim f(x) 0 x 0 und lim x π f(x) 0 und damit ergibt sich für sinx ein Maximum des Rauminhalts 3 3 Es ergibt sich V max 3 π R R3 3 Aufgabe Dem nebenstehenden Flächenstück, das von y-achse, den Geraden y und x 3 und der Parabel mit der Gleichung y begrenzt ist, wird ein Rechteck 9 x + einbeschrieben. Bestimmen Sie den Inhalt des größten dieser Rechtecke!
10 Zielfunktion: A(x) (3 x) [ ( mit 9 x + )] (3 x) ( + 8 x ) 0 x < 3 Extremstellenbestimmung: A'(x) ( + 9 x ) + (3 x) 9 x 3 x + 3 x < 0 Randwerte: A(0) 3 und lim A(x) 0 x 3 0 Das größte Rechteck hat den Flächeninhalt A(0) 3. Beispiel Welcher Punkt auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) x hat a) vom Punkt P 0,5 0 b) vom Punkt Q,5 0 minimalen Abstand. Planfigur: Zielfunktion: q(x) (0,5 x) + x (Abstandsquadrat) Extremstellenbestimmung: q'(x) (x 0,5) + 0 x x 0,5 aber 0 x < Randwerte: d(0) 0,5 und lim d(x) x Zielfunktion: q(x) (,5 x) + x Extremstellenbestimmung: q'(x) (x,5) + 0 x und q(),5 und damit d(x) 5
11 Randwerte: d(0) und lim q(x) x Der Punkt P hat vom Punkt 0 0 und der Punkt Q vom Punkt minimalen Abstand. Beispiel 3 Eine Kugel mit dem Radius mit dem Radius R ist die Inkugel eines geraden Kegels, dessen a) Rauminhalt b) Mantelfläche c) Oberfläche möglichst klein ist. Bestimmen Sie die minimal möglichen Werte. Planfigur: Größe: G V 3 π r h Nebenbedigungen: R r tanx r R tanx r h tan( π x) tan(x) h r tan(x) R tanx tanx tan x R tan x Reduizierte Zielfunktion: v(x) tan x ( tan x) tan x tan 4 x Substitution u: tan x ergibt v(u) u u v'(u) (u u ) ( u) 0 u Minimales Volumen: V min 3 π 4 R π R3
12 Weitere Aufgaben. Einem Quadrat mit der Seitenlänge a soll das größte gleichschenklige Dreieck einbeschrieben werden. Wie müssen die Abmessungen dieses Dreiecks gewählt werden?. Einer Kugel mit dem Radius R wird die quadratische Pyramide mit dem größten Rauminhalt einbeschrieben. Wie groß ist dieser? 3. Einem Halbkreis soll ein gleichschenkliges Trapez mit dem größten Flächeninhalt einbeschrieben werden. Wie müssen sind die Abmessungen des Trapezes geählt werden?
13 6. Steckbriefaufgaben Bei Steckbriefaufgaben ist ein Funktionensterm f(x) einer Funktion f mit vorgegeben Eigenschaften gesucht. Eigenschaften, die gegeben sein können, sind Angabe von Punkten, durch die der Graph der gesuchten Funktion f geht, oder von Nullstellen Abgabe von Symmetrieeigenschaften Angabe von Definitionlücken Angabe der Gleichungen von Asymptoten Angabe einer Stelle, an der der Graph von f eine bestimme Steigung hat Angabe einer Wendestelle des Graphen von f Allgemeines Lösungsverfahren. Aufstellen eines allgemeinen Funktionsterms f(x) vom gesuchten Funktionstyp. Berechnung von f '(x) und f ''(x) 3. Aufstellen eines Gleichungssystems Beispiel Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Nullstelle x und ihr Graph besitzt den Tiefpunkt H 9. Bestimmen eine die Funktionsgleichung der Funktion Ansatz: f(x) ax 4 + bx + c f '(x) 4ax 3 + bx f() 0 f() 9 f '() 0 () 6a + 4b + c () a + b + c (3) 4a + b 0 9 0
14 () () 5a + 3b (3) b 9 a (4) (3') (3') in (4) 5a 6a 9 a Also f(x) x 4 + x + 8 Beispiel Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph im Ursprung einen Wendepunkt mit der Winkelhalbierenden des. und 3. Quadranten als Tangente und im Punkt H 4 einen Hochpunkt hat Ansatz: f(x) ax 4 + bx 3 + cx + dx + e f '(x) 4ax 3 + 3bx + cx + d f ''(x) ax + 6bx + c Wegen f(0) e 0 und f ''(0) c 0 c 0 muss gelten f() 4 f '() 0 f '() () 6a + 8b + d () 3a + b + d (3) d 4 0 () () 4b + 3d 8 b 5 4 Also f(x) x x3 + x Beispiel 3 Wie lautet die Gleichung einer punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion 5. Grades, deren Graph den Wendepunkt in W( -) hat und deren Wendetangente eine Steigung hat, die 6 mal so groß ist wie die Steigung der Funktion im Ursprung?
15 Ansatz: f(x) ax 5 + bx 3 + cx f '(x) 5ax 4 + 3bx + c f ''(x) 0ax 3 + 6bc f() f ''() 0 f '() 6 f '(0) () a + b + c () 0a + 6b (3) 5a + 3b + c 0 6c 5 () + (3) 0a + 8b () a 30 0,3b (4) (') (') in (4) 6b + 8b 30 b 5 Also f(x) 3 4 x5 5 x3 4 x Beispiel 4 Bestimme eine Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion dritten Grades mit nebenstehendem Graphen. Lösungshinweis: Ansatz: f(x) ax 3 + bx + cx + f f '(x) 3ax + bx + c Man entnimmt der Figur die Bedingungen () f(0) () f '() 0 (3) f() (4) f() Beispiel 5 Die Funktion f hat die Polstelle x und die Extremstelle x und ihr Graph besitzt die Asymptote mit der Gleichung y. x +
16 Ermittle eine mögliche Funktionsgleichung von f. Ansatz: f(x) x + + f '(x) a (x + ) a x + Bedingung: f '() a ( + ) 0 a Beispiel 6 f(x) a e bx berührt die Gerade y mx im Punkt B. Bestimme den Funktionsterm von f. f(x) a e bx f '(x) ab e bx () f() a e b () f '() ab e b b a e f(x) e e x e x
17 6.3 Modellierung Beispiel Die Konzentration eines Medikamentes (in mg ) im Blut eines Patienten lässt sich durch die cm 3 Funktion f mit dem Funktionsterm f(t) 0,6t (t + ) beschreiben. Dabei sei t die Zeit gemessen in Stunden seit der Einnahme des Medikaments. Der Graph der Funktion sieht in einem Teil des Definitionsbereichs so aus: a) Berechnen Sie die anfängliche Änderungsrate der Konzentration und vergleichen Sie diese mit der mittleren Änderungsrate in den ersten 6 Minuten. b) Wann ist die Konzentration am größten und wie groß ist sie? Wann ist die Konzentration nur noch halb so groß? c) Zu welchem Zeitpunkt ändert sich die Änderungsrate am stärksten? a) f '(t) 0,6 (t + ) t (t + ) t (t + ) 4 0,6 (t + ) 3 f '(0) 0,04 und m S (0; 6) f(6) f(0) 6 0 0, ,005 b) f '(t) 0 t und f() 0,0 f(x) 0,6t (t + ) 0,0 6t t + 4t + 4 t 6 + 4,7 c) f ''(t) 0,6 (t + )3 ( t) 3 (t + ) (t + ) 6 0,6 t 8 (t + ) 0 t 4
18 Beispiel Das Seil einer Hängebrücke mit 00m Breite kann durch eine Kettenlinie angenähert werden. Diese ist der Graph einer Funktion f a,c mit f a,c (x) y a mit. c (ecx + e cx ) a, c R + Dabei werden x und y in Metern gemessen. a) Untersuchen Sie den Graph von f a,c auf Symmetrie. b) Bestimmen Sie das Minimum von f a,c in Abhängigkeit von a und c. c) Bestimmen Sie a und c so, dass das Seil seinen tiefsten Punkt 5m über der Fahrbahn erreicht, die beiden Pylone einen Abstand von 00m haben und 30m hoch sind. d) Bestimmen Sie die Steigung des Seils in den beiden Aufhängepunkten. c) Auf welcher Strecke könnte ein Stuntman mit einem Motorrad das Seil befahren, wenn er maximal eine Steigung von 0% bewältigen kann? a) f a,c ( x) a c (e cx + e c( x) ) f a,c (x) b) f a,c '(x) a und damit (ecx e cx ) 0 x 0 y min a c c) () a und c 5 a 5c () f a.c (00) a c (e00c + e 00c ) 30 () in () e 00c + e 00c Substitution: u : e 00c u + u u u + 0 u 6 35 u
19 Wählt man c positiv, dann ist c ln(6 + 35) 0,0478 und damit a 0, d) e 00c und e 00c 6 35 und damit f a,c '(00) 6a 0,74 e) f a,c '(x) a (ecx e cx ) 0, Mit der Substitution u : e cx ergibt sich u u 0,4 a u 0,4 a u 0 u 0, 0, + 5a a u 0, + 0, + 5a a Einsetzen und Resubstitution ergibt x max 50,7 m
20 6.4 Funktionscharen Beispiel Gegeben ist die Funktionsschar f k mit f k (x) x 3 3k x mit k R +. a) Diskutieren Sie die Scharfunktionen und zeichnen Sie den Graph von f. b) Bestimmen Sie k so, dass i) der Graph von G k von f k durch den Punkt P 5 geht. ii) die Gerade y x den Graphen von f k im Koordinatenursprung berührt. iii) die Extrempunkte von G k auf der Winkelhalbierenden des. und 4. Quadranten liegen. iv) die Tangente im Schnittpunkt von G k mit der positiven x-achse die Steigung hat. a) Symmetrie: f k ( x) ( x) 3 3k ( x) x 3 + 3k x f k (x) Der Graph jeder Scharfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinaten ursprung Nullstellen: f k (x) 0 x (x 3k) 0 x 0 x k 3 x k 3 Extrema: f k '(x) 3x 3k 0 x k x k f k ''(x) 6x 0 x 0 f k ''( k) 6k < 0 E ( k k 3 ) ist ein Hochpunkt f k ''(k) 6k > 0 E (k k 3 ) ist ein Tiefpunkt Wendepunkte: f k '''(x) 6 0 W(0 0) ist ein Wendepunkt
21 b) Beispiel Gegeben ist die Funktionsschar f k mit f k (x) x kx 3 mit k R. Diskutieren Sie die Scharfunktionen und zeichnen Sie den Graph von f 0,5. Beispiel 3 Zeigen Sie, dass jede Scharfunktion f a mit a) f a (x) (x a) e x b) f a (x) x x + a, a 0 einen lokalen Tiefpunkt besitzt und bestimmen Sie dessen Koordinaten. a) f a '(x) e x + (x a) x (x a + ) e x 0 x a f a ''(x) e x + (x a + ) e x (4x 4a + 3) e x f a ''( a ) (4 a a 4a + 3) e e a < 0 für alla a. T a ea b) f a '(x) 4x (x + a) x (x + a) x + 4ax (x + a) 0 x a x 0
22 a > 0 < x < a a < x < a a < x < 0 0 < x < f a '(x) + + T 0 0 ist Tiefpunkt des Graphen einer Scharfunktion a < 0 < x < 0 0 < x < a a < x < a a < x < f a '(x) + + T a 8a ist Tiefpunkt des Graphen einer Scharfunktion. Beispiel 4 Gegeben ist die Funktionsschar f k mit f k (x) mit. e x k R + + k Diskutiere die Scharfunktionen und zeichne die Graph von f, f und f 3. Nullstellen: f k (x) e x + k 0 ex + k 0 e x k Für k besitzt eine Scharfunktion keine Nullstelle. Für 0 < k < besitzt eine Scharkunktion die Nullstelle x ln( k) Grenzverhalten: lim x f k (x) k und lim f k (x) x Monotine: f k '(x) d.h. ist streng monoton wachsend. (e x + k) > 0 f k
23 Beispiel 5 Gegeben ist die Funktionsschar f k mit f k (x) k + lnx mit k R +. k lnx Die maximalen Definiionsmenge einer Scharfunktion sei D k. a) Bestimmen Sie D k und die Nullstellen einer Scharfunktion in Abhängigkeit von k. Begründen Sie, dass die Nullstelle jeder Funktion im Intervall I ]0, [ liegt. b) Untersuchen Sie das Verhalten der Scharfunktionen an den Rändern von D k. c) Untersuchen Sie das Montonieverhalten der Scharfunktionen. d) Zeigen Sie, dass der Graph einer Scharfunktion genau einen Wendepunkt besitzt und berechnen Sie seine Koordinaten in Abhängigkeit von k. e) Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem. a) D k R + \{e k } f k (x) k + lnx k lnx 0 k + lnx 0 x e k Für 0 < k < gilt 0 < e k <. b) lim x 0+0 k + lnx k lnx lim x 0+0 k lnx + k lnx
24 lim x 0 0 lim x k + lnx k lnx und k + lnx k lnx lim x 0+0 lim x 0+0 k lnx + k lnx k + lnx k lnx c) f k '(x) x (k lnx) (k + lnx) ( x ) (k lnx) x (k lnx) > 0 Jede Scharfunktion ist in den zwei Intervallen, aus denen ihre Definitionsmenge besteht, jeweils streng monoton wachsend. d) f k ''(x) ( x ) (k lnx) + x ( 4) (k lnx) 3 ( x ) e) x (k lnx) ( k lnx ) 0 x ek mit Vorzeichenwechsel an dieser Stelle. Also ist W e k k Wendepunkt eines Schargraphen. Beispiel 6 Gegeben Funktionsschar f a mit f a (x) (lnx) + a lnx und a R. a) Untersuchen Sie die Scharfunktionen auf Symmetrie, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. b) Zeichnen Sie die Graphen von f, f 0 und f in ein gemeinsames Koordensystem. c) Ermitteln Sie die Ortskurve der Extrema.
25 a) Symmetrie: Es ist D fa R +. Also kann keine Symmetrie auftreten. Nullstellen: f a (x) (lnx) + a lnx 0 lnx (lnx + a) 0 x x e a a 0 : Jede Scharfunktion die Nullstellen x und x e a. a 0 : Die Scharfunktion hat x als einzige Nullstelle. Extrema: f a '(x) lnx x + a x 0 x e a f a ''(x) x + lnx ( x ) + a ( x ) ( lnx a) x f a ''(e a ) e a > 0 Wendepunkte: Jede Scharfunktion hat den Tiefpunkt T e a/ a /4. a f a '(x) 0 x e mit Vorzeichenwechsel an dieser Stelle. a W x w y W mit x und ist ein Wendpunkt. w e y W 4 a 4 b) c) x T e a a und damit lnx T y T (lnx T ) Orstkurve der Extrema: y (lnx)
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