1 Datenstrukturen Datenstrukturen und Algorithmen
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- Siegfried Brahms
- vor 6 Jahren
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1 1 Datenstrukturen 1.1 Abstrakte Datentypen 1.2 Lineare Strukturen 1.3 Bäume 1.4 Prioritätsschlangen 1.5 Graphen 1
2 1.5 Graphen Darstellung allgemeiner Beziehungen zwischen Objekten/Elementen Objekte = Knoten: V = {v1,..., vn} Beziehungen = Kanten: E = {(a1,b1),... (am,bm)} Kanten können gerichtet (Vorgänger/ Nachfolger) oder ungerichtet (Nachbarschaft) definiert werden. 2
3 Beispiele Flugverbindungen (ungerichtet) Straßennetz in Aachen (gerichtet) Abhängigkeiten von Arbeitspaketen in einem Großprojekt (gerichtet) 3D Polygonmodelle in der Computergraphik (ungerichtet) Querbezüge in einem Hypertext- Dokument (HTML) (gerichtet)... 3
4 Beispiele 4
5 Beispiele Simulation CAD Modell NC Steuerung Werkzeug-Prototyp Workflow Mechatronic 5
6 Beispiele 6
7 Begriffe Zusammenhängend (stark) Vollständig Isomorph Planare Graphen 7
8 Begriffe Zusammenhängend (stark) Für jedes Paar vi, vj von Knoten existiert ein Pfad von Kanten von vi nach vj oder (und) von vj nach vi. Vollständig Isomorph Planare Graphen 8
9 Begriffe Zusammenhängend (stark) Vollständig Zwischen je zwei Knoten existiert eine Kante m = n (n 1)/2 Isomorph Planare Graphen 9
10 Begriffe Zusammenhängend (stark) Vollständig Isomorph Graphen (V1,E1) und (V2,E2) durch Permutation der Knoten(indizes) ineinander überführbar. Notwendige Kriterien: n1 = n2, m1 = m2, Anzahl der Knoten mit Grad k,... Planare Graphen 10
11 Kohlenwasserstoffe C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 11
12 Begriffe Zusammenhängend (stark) Vollständig Isomorph Planare Graphen Zerlegung der Ebene in disjunkte Zellen Kompatibilitätsbedingungen zwischen Kanten 12
13 Mobilfunknetze 13
14 Mobilfunknetze 14
15 Mobilfunknetze 15
16 Repräsentationen Allgemeine Graphen Adjazenzmatrix Adjazenzliste Planare Graphen Simplex-Strukturen 16
17 Adjazenzmatrix Knoten: V = {v1,...,vn} A Bool nxn aij = 1 falls (i,j) E, aij = 0 sonst j-te Spalte: alle Vorgänger von vj i-te Zeile: alle Nachfolger von vi A symmetrisch für ungerichtete Graphen 17
18 Adjazenzmatrix 6 A =
19 Zusammenhangskomponenten B = A + I =
20 Zusammenhangskomponenten B 2 =
21 Zusammenhangskomponenten B 3 =
22 Zusammenhangskomponenten B 4 =
23 Zusammenhangskomponenten B 4 = Durchmesser
24 Adjazenzlisten Bei komplexen Graphen bestehen oft nur lokale Knotenbeziehungen Die meisten Einträge der Adjazenzmatrix sind 0 (dünn besetzte Matrix) Speichere nur die existierenden Kanten 24
25 Adjazenzlisten : 2 2: 1,3 3: 2,4 4: 3,5,6 5: 4 6: 4 25
26 Adjazenzlisten Für gerichtete Graphen werden Vorgänger- und Nachfolger-Listen verwaltet. Speicherverbrauch: (#Nachbarn k) A-Matrix: n 2 bit A-Listen: n k b = n k log n Beispiel: Regionalbahnen in Aachen und Wladiwostok 26
27 Planare Graphen... beschreiben eine Partition der Ebene in disjunkte Zellen. Knoten sind durch Kanten verbunden und diese bilden Zellen (Maschen). Planar: es ist möglich die Knoten so zu platzieren, dass sich die Kanten nicht kreuzen. 27
28 Planare Graphen Kompatibilitätsbedingungen eindeutiger Umlaufsinn für die Nachbarn jedes Knotens eindeutiger Umlaufsinn für die Kanten jeder Zelle / Masche
29 Kantenstrukturen Kanten verbinden Knoten Kanten verweisen auf benachbarte Kanten (Umlaufsinn) Garantiert die Planarität 29
30 class Edge { Node A,B Edge N1,N2 Edge P1,P2 } Kantenstrukturen 30
31 class Edge { Node A,B Edge Next Edge Prev } Kantenstrukturen 31
32 class Edge { Node A,B Edge Next Edge Prev } Kantenstrukturen 32
33 class Edge { Node A,B Edge Next Edge Prev } Kantenstrukturen 33
34 class Edge { Node A,B Edge Next Edge Prev } Kantenstrukturen 34
35 class Edge { Node A,B Edge Next Edge Prev } Kantenstrukturen 35
36 class Edge { Node A,B Edge Next Edge Prev } Kantenstrukturen 36
37 Halbkantenstrukturen 37
38 class HEdge { Node A Edge Next Edge Opposite } Halbkantenstrukturen 38
39 class HEdge { Node A Edge Next Edge Prev Edge Opposite } Halbkantenstrukturen 39
40 Liste der Nachbarn 1. Start at vertex 40
41 Liste der Nachbarn 1. Start at vertex 2. Outgoing halfedge 41
42 Liste der Nachbarn 1. Start at vertex 2. Outgoing halfedge 3. Opposite halfedge 42
43 Liste der Nachbarn 1. Start at vertex 2. Outgoing halfedge 3. Opposite halfedge 4. Next halfedge 43
44 Liste der Nachbarn 1. Start at vertex 2. Outgoing halfedge 3. Opposite halfedge 4. Next halfedge 5. Opposite halfedge 44
45 Liste der Nachbarn 1. Start at vertex 2. Outgoing halfedge 3. Opposite halfedge 4. Next halfedge 5. Opposite halfedge 6. Next halfedge... 45
46 Simplex-Strukturen Simplices sind die einfachsten k-dim. Strukturen Punkt Strecke Dreieck Tetraeder... 46
47 Ein k-simplex hat k+1 Knoten k+1 Nachbarn Simplex-Strukturen 47
48 Simplex-Strukturen Seine k+1 Flächen sind (k 1)- Simplices 48
49 Simplex-Strukturen class k_simplex { Node Vertices[1..k+1] (k 1)_Simplex Faces[1..k+1] } Darstellung beliebig dimensionaler Komplexe mit disjunkten Zellen Navigation / Aufzählung schwieriger 49
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