Diskrete Strukturen. Sebastian Thomas RWTH Aachen Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Diskrete Strukturen Sebastian Thomas RWTH Aachen Wahrscheinlichkeitstheorie

2 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume Definition quasiendlicher Wahrscheinlichkeitsraum (qu.endl. WR): besteht aus X nicht leere Menge P : Pot(X ) R Abbildung so, dass gilt: Missbrauch von Notation: notiere qu.endl. WR wieder als X

3 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Terminologien und Notationen: Ergebnismenge von X : Ergebnis von X : Ereignismenge von X : Ereignis von X : unmögliches Ereignis von X : sicheres Ereignis von X : Wahrscheinlichkeitsverteilung von X : Notation: Wahrscheinlichkeit von A Pot(X ) in X : endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (endl. WR): qu.endl. WR mit endlicher Ergebnismenge

4 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel {0, 1} wird endl. WR mit P(A) = {0, 1} wird endl. WR mit P(A) = für A = für A = {0} für A = {1} für A = {0, 1} für A = für A = {0} für A = {1} für A = {0, 1}

5 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) R wird qu.endl. WR mit { 1 für A Pot(R) mit 0 A P(A) = 0 für A Pot(R) mit 0 / A

6 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit einer gewöhnl. Münze Modell: Ergebnisse des endl. WR {Kopf, Zahl} mit 0 für A = P(A) = 1 2 für A {{Kopf}, {Zahl}} 1 für A = {Kopf, Zahl} Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit einer gezinkter Münze Modell: Ergebnisse des endl. WR {Kopf, Zahl} mit 0 für A = 1 P(A) = 4 für A = {Kopf} 3 4 für A = {Zahl} 1 für A = {Kopf, Zahl}

7 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, A, B Pot(X ) mit A B P(B \ A) = P(B) P(A) Korollar X qu.endl. WR P( ) = 0 Korollar X qu.endl. WR, A Pot(X ) P(X \ A) = 1 P(A)

8 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit X qu.endl. WR, A Pot(X ), n N 0 (B 1,..., B n ) disjunktes n-tupel in Pot(X ) mit A i [1,n] B i P(A) = i [1,n] P(A B i ) Proposition X qu.endl. WR, n N 0, (A 1,..., A n ) n-tupel in Pot(X ) P( i [1,n] A i ) = ( 1) i 1 i [1,n] J [1,n] J =i P( j J X j )

9 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Proposition X qu.endl. WR, A Pot(X ) P(A) = P({x A P(x) > 0}) = P(x) = P(x) x A x A P(x)>0

10 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Proposition X Menge, f : X R Abbildung mit: für x X : f (x) 0 {x X f (x) > 0} ist endlich x X f (x) = 1 X wird qu.endl. WR mit: für A Pot(X ): P(A) = f (x) x A

11 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel {0, 1, 2} wird endl. WR mit 0 für A {, {0}} 1 P(A) = 3 für A {{1}, {0, 1}} 2 3 für A {{2}, {0, 2}} 1 für A {{1, 2}, {0, 1, 2}}

12 Laplaceräume Definition Laplaceraum: für A Pot(X ): X endl. WR mit: P(A) = A X

13 Laplaceräume (Forts.) Beispiel Laplaceraum: X = {0, 1} mit 0 für A = P(A) = 1 2 für A {{0}, {1}} 1 für A = {0, 1} kein Laplaceraum: Y = {0, 1} mit 0 für A = 1 P(A) = 4 für A = {0} 3 4 für A = {1} 1 für A = {0, 1}

14 Laplaceräume (Forts.) Bemerkung X endl. WR X ist Laplaceraum für x X : P(x) = 1 X Bemerkung X nicht leere endliche Menge X X lässt sich als Laplaceraum X = X Laplace auffassen

15 Laplaceräume (Forts.) Definition X nicht leere endliche Menge X Laplaceraum auf X : X = X Laplace Terminologie und Notation: Gleichverteilung auf X : Beispiel [1, 6] wird Laplaceraum

16 Laplaceräume (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit gewöhnl. Würfel Modell: Ereignis: Würfel zeigt mindestens fünf Augen Modell: Wahrscheinlichkeit: Ereignis: Würfel zeigt gerade Anzahl an Augen Modell: Wahrscheinlichkeit:

17 Zufallsgrößen Anwendungsbeispiel Objekt: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne mit zehn roten und 20 schwarzen Kugeln Modell: Ereignis: gezogene Kugel ist rot Modell: A = Wahrscheinlichkeit: P U (A) = Ereignis: gezogene Kugel ist schwarz Modell: A = Wahrscheinlichkeit: P U (A ) =

18 Zufallsgrößen (Forts.) C = {rot, schwarz} wird endl. WR mit 0 für B = P C 1 (B) = 3 für B = {rot} 2 3 für B = {schwarz} 1 für B = {rot, schwarz}

19 Zufallsgrößen (Forts.) Definition X qu.endl. WR, Y Menge Zufallsgröße auf X mit Werten in Y : Abbildung f : X Y Beispiel [1, 6] [0, 1], x x mod 2 ist Zufallsgröße auf [1, 6] mit Werten in [0, 1]

20 Zufallsgrößen (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Modell: Objekt: Modell: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne mit zehn roten und 20 schwarze Kugeln Ergebnisse des Laplaceraums U = [1, 10] {rot} [1, 20] {schwarz} Farben der Kugeln Zuordnung: jeder Kugel die zugehörige Farbe Modell:

21 Zufallsgrößen (Forts.) Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit gewöhnlichem Würfel Modell: Ergebnisse des Laplaceraums [1, 6] Zuordnung: jeder Augenzahl die Parität Modell:

22 Zufallsgrößen (Forts.) Proposition X qu.endl. WR, f : X Y Zufallsgröße Y wird qu.endl. WR Y = Y f mit: für B Pot(Y f ): P Y f (B) = P X (f 1 (B)) = P X (x) x X f (x) B

23 Zufallsgrößen (Forts.) Definition X qu.endl. WR, f : X Y Zufallsgröße durch f induzierter Wahrscheinlichkeitsraum: Y = Y f Terminologie und Notation: Wahrscheinlichkeitsverteilung von f : Beispiel durch [1, 6] [0, 1], x x mod 2 induzierter WR:

24 Zufallsgrößen (Forts.) Anwendungsbeispiel Zuordnung: jeder Kugel die zugehörige Farbe Modell: Zufallsgröße a: U {rot, schwarz} (x, rot) rot (x, schwarz) schwarz Wahrscheinlichkeitsverteilung des durch a induzierten WRs: für B = P C (B) = P U (a 1 für B = {rot} (B)) = für B = {schwarz} für B = {rot, schwarz}

25 Zufallsgrößen (Forts.) Zuordnung: jeder Augenzahl die Parität Modell: Zufallsgröße p : [1, 6] {gerade, ungerade} mit { gerade für x {2, 4, 6} p(x) = ungerade für x {1, 3, 5} durch p induzierter WR:

26 Zufallsgrößen (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, f : X Y Zufallsgröße, y Y \ Im f P Y (y) =

27 Produktwahrscheinlichkeitsräume Proposition I endliche Menge, (X i ) i I Familie von qu.endl. WRen i I X i wird qu.endl. WR mit: für A Pot( i I X i ): P i I X i (A) = P X i (x i ) x A i I Definition I endliche Menge, (X i ) i I Familie von qu.endl. WRen Produktwahrscheinlichkeitsraum von (X i ) i I :

28 Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel X = {0, 1} Laplace X X : P X X (x 1, x 2 ) = für (x 1, x 2 ) = (0, 0) für (x 1, x 2 ) = (1, 0) für (x 1, x 2 ) = (0, 1) für (x 1, x 2 ) = (1, 1)

29 Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Y = {0, 1} mit P(y) = { 1 4 für y = für y = 1 Y Y : P Y Y (y 1, y 2 ) = für (y 1, y 2 ) = (0, 0) für (y 1, y 2 ) = (1, 0) für (y 1, y 2 ) = (0, 1) für (y 1, y 2 ) = (1, 1)

30 Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.) X Y : P X Y (x, y) = für (x, y) = (0, 0) für (x, y) = (1, 0) für (x, y) = (0, 1) für (x, y) = (1, 1)

31 Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Bemerkung I endliche Menge, (X i ) i I Familie von Laplaceräumen i I X i ist Laplaceraum

32 Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Modell: Ergebnisse eines Wurfs mit zwei gewöhnlichen Würfeln Ereignis: Würfel zeigen Pasch Modell: A = Wahrscheinlichkeit: P(A) =

33 Bedingte Wahrscheinlichkeit Proposition X qu.endl. WR, B Pot(X ) mit P X (B) > 0 B wird qu.endl. WR mit: für A Pot(B): P B (A) = PX (A) P X (B) Definition X qu.endl. WR, B Pot(X ) mit P X (B) > 0 durch Restriktion auf B gegebener Wahrscheinlichkeitsraum: B

34 Bedingte Wahrscheinlichkeit (Forts.) Beispiel X = [1, 5], B = {x X x ist ungerade} P B (3) = Bemerkung X Laplaceraum, B Pot(X ) mit P X (B) > 0 B ist Laplaceraum

35 Bedingte Wahrscheinlichkeit (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit zwei gewöhnlichen Würfeln Modell: Ereignis: Modell: Würfel zeigen Pasch Ergebnis: Würfel zeigt Sechserpasch Modell: Wahrscheinlichkeit:

36 Bedingte Wahrscheinlichkeit (Forts.) Definition X qu.endl. WR, B Pot(X ) mit P X (B) > 0, inc: B X Inklusion durch B induzierter Wahrscheinlichkeitsraum auf X : X B := X inc Terminologie und Notation: bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von X unter (der Bedingung) B:

37 Bedingte Wahrscheinlichkeit (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, B Pot(X ) mit P X (B) > 0 für A Pot(X ): P(A B) = Korollar X qu.endl. WR, B Pot(X ) mit P X (B) > 0 für A Pot(B): A Pot(X ) und P B (A) = P X (A B)

38 Bedingte Wahrscheinlichkeit (Forts.) Beispiel X = [1, 5], A = {x X x 3}, B = {x X x ist ungerade} P(A B) = Bemerkung X Laplaceraum, B Pot(X ) mit P X (B) > 0 für A Pot(X ): P(A B) =

39 Bedingte Wahrscheinlichkeit (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit zwei gewöhnlichen Würfeln Modell: Ergebnisse des Laplaceraums [1, 6] [1, 6] Ereignis: Würfel zeigen Pasch Modell: B = {(x, x) x [1, 6]} = {(1, 1), (2, 2),..., (6, 6)} Ereignis: (mindestens) ein Würfel zeigt gerade Augenzahl Modell: A = bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A B) =

40 Bedingte Wahrscheinlichkeit (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, A, B Pot(X ) mit P X (A) > 0, P X (B) > 0 P(A) P(B A) = P(A B) P(B)

41 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume Konvention X qu.endl. WR, I endliche Menge Var I (X ) = X I = i I X : falls P Var I (X ) (Perm I (X )) > 0: Perm I (X ): MComb I (X ): falls P Var I (X ) (Perm I (X )) > 0: Comb I (X ):

42 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, I endliche Menge für A Pot(Var I (X )): P Var I (X ) (A) = P X (x i ) = (P X µx (y) (y)) x A i I x A y X es gebe x Perm I (X ) mit i I PX (x i ) > 0 für A Pot(Perm I (X )): P Perm I (X ) (A) = x A x Perm I (X ) i I PX (x i ) i I PX (x i )

43 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) für B Pot(MComb I (X )): P MComb I (X ) (B) = für C MComb I (X ): x Var I (X ) [x] B = x Var I (X ) [x] B P MComb I (X ) (C) = C y X P X (x i ) i I y X (P X µx (y) (y)) (P X (y)) µ C (y)

44 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) es gebe x Perm I (X ) mit i I PX (x i ) > 0 für B Pot(Comb I (X )): P Comb I (X ) (B) = x Perm I (X ) [x] B x Perm I (X ) i I PX (x i ) i I PX (x i )

45 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel X = {0, 1} Laplace für x Var3 (X ): P Var3(X ) (x) = für C MComb3 (X ): P MComb3(X ) (C) = { falls C { } falls C { }

46 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel X = {0, 1} mit P(0) = 1 4, P(1) = 3 4 für x Var3 (X ): P Var3(X ) (x) = falls x { } falls x { } falls x { } falls x { } für C MComb3 (X ): P MComb3(X ) (C) = falls C { } falls C { } falls C { }

47 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Bemerkung n N, k N 0, X Laplaceraum, I Menge mit X = n, I = k Var I (X ) ist Laplaceraum falls k n: falls k n: Perm I (X ) ist Laplaceraum Comb I (X ) ist Laplaceraum

48 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Modell: Anzahl: Ergebnisse eines Wurfs mit drei gewöhnlichen Würfeln Ereignis: Würfel zeigen dreimal eine 6 Modell: A = Wahrscheinlichkeit: P(A) = Ergebnis: Würfel zeigen genau zweimal eine 6 Modell: B = Wahrscheinlichkeit: P(B) = Ergebnis: Würfel zeigen mindestens zweimal eine 6 Modell: Wahrscheinlichkeit:

49 Auswahlmodelle als Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Modell: Anzahl: Ereignis: zwei Asse Modell: A = Wahrscheinlichkeit: P(A) = Pokerhände (Texas Hold em) Ergebnis: 2 und 7 in verschiedenen Kartenfarben Modell: B = Wahrscheinlichkeit: P(B) =

50 Stochastische Unabhängigkeit Definition X qu.endl. WR, A, B Pot(X ) A und B sind stochastisch unabhängig: P(A B) = P(A) P(B) A und B sind stochastisch abhängig: A und B sind nicht stochastisch unabhängig

51 Stochastische Unabhängigkeit (Forts.) Beispiel X = {a, b, c, d} mit P(x) = { 1 3 für x {a, b} 1 6 für x {c, d} {a, b} und {a, c} sind stochastisch {a, b} und {c, d} sind stochastisch

52 Stochastische Unabhängigkeit (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne mit zehn roten und 20 schwarzen Kugeln Modell: Ergebnisse des Laplaceraums U = R S mit R = [1, 10] {rot} und S = [1, 20] {schwarz} zwei Fälle: blinde Entnahme von zwei Kugeln mit Zurücklegen blinde Entnahme von zwei Kugeln ohne Zurücklegen zwei Ereignisse: erste gezogene Kugel ist rot zweite gezogene Kugel ist rot

53 Stochastische Unabhängigkeit (Forts.) Objekt: Modell: Anzahl: blinde Entnahme von zwei Kugeln mit Zurücklegen Ereignis: erste gezogene Kugel ist rot Modell: A = Anzahl: A = Wahrscheinlichkeit: P(A) = Ereignis: zweite gezogene Kugel ist rot Modell: B = Wahrscheinlichkeit: P(B) = Modell: A B = Wahrscheinlichkeit: P(A B) =

54 Stochastische Unabhängigkeit (Forts.) Objekt: Modell: Anzahl: blinde Entnahme von zwei Kugeln ohne Zurücklegen Ereignis: erste gezogene Kugel ist rot Modell: A = Anzahl: A = Wahrscheinlichkeit: P(A) = Ereignis: zweite gezogene Kugel ist rot Modell: B = Wahrscheinlichkeit: P(B) = Modell: A B = Wahrscheinlichkeit: P(A B) =

55 Stochastische Unabhängigkeit (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, A, B Pot(X ) mit P(B) > 0 A und B stochastisch unabhängig P(A B) = P(A)

56 Erwartungswert und Varianz Definition X qu.endl. WR, f Zufallsgröße auf X mit Werten in R Erwartungswert von f : E(f ) := x X P(x) f (x) Beispiel X = [1, 5], P(x) = x 15 für x X E(inc) =

57 Erwartungswert und Varianz (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit zwei gewöhnl. Würfeln Modell: Ergebnisse des Laplaceraums [1, 6] [1, 6] Zuordnung: jedem Wurf die Augensumme Modell: Erwartungswert: E(s) =

58 Erwartungswert und Varianz (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, f Zufallsgröße auf X mit Werten in R E(f ) = P(y) y = P(y) y y R y Im f

59 Erwartungswert und Varianz (Forts.) Bemerkung X Menge Map(X, R) wird kommutativer Ring mit (f + g)(x) = f (x) + g(x) (fg)(x) für x X, f, g Map(X, R) = f (x)g(x) ι: R Map(X, R), a (x a) ist injektiv und: für a, a R: ι(a + a ) = ι(a) + ι(a ) für a, a R: ι(aa ) = ι(a) ι(a )

60 Erwartungswert und Varianz (Forts.) Definition X qu.endl. WR, f Zufallsgröße auf X mit Werten in R Varianz von f : V(f ) := E((f E(f )) 2 ) Beispiel X = [1, 5], P(x) = x 15 für x X V(inc) =

61 Erwartungswert und Varianz (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, f Zufallsgröße auf X mit Werten in R V(f ) = P(y) (y E(f )) 2 = P(y) (y E(f )) 2 y R y Im f

62 Erwartungswert und Varianz (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit zwei gewöhnlichen Würfeln Modell: Ergebnisse des Laplaceraums [1, 6] [1, 6] Zuordnung: jedem Wurf die Augensumme Modell: Zufallsgröße s : [1, 6] [1, 6] R, (x, y) x + y Varianz: V(s) =

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