Zusammenfassung: Beweisverfahren

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1 LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 217/218 Zusammenfassung: Beweisverfahren Inhaltsverzeichnis Teilbarkeitslehre... 1 Mathematische Sätze... 1 Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen... 2 Beweisverfahren... 3 Für Experten... 5 Teilbarkeitslehre Teilen mit Rest: Sind n und t natürliche Zahlen, dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen k und r ( Rest ) mit n tk r und r t 1. Beispiel ( t 3 ): Für jede natürliche Zahl n gibt es eine (eindeutig bestimmte) natürliche Zahl k mit n 3k oder n 3k 1 oder n 3k 2. Definition: Sind n und t natürliche Zahlen, dann heißt n teilbar durch t, wenn es eine natürliche Zahl k gibt mit n t k. Definition: Eine natürliche Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist. Andernfalls heißt die Zahl ungerade. Merke: Eine natürliche Zahl n ist genau dann gerade (bzw. ungerade), wenn es eine natürliche Zahl k gibt mit n 2k (bzw. n 2k 1). Definition: Eine natürliche Zahl n 2 heißt eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl n 2 lässt sich eindeutig als ein Produkt von Primzahlen schreiben. Bemerkung: Ist die Zahl eine Primzahl, dann besteht das Produkt nur aus der Zahl selbst. Mathematische Sätze Viele mathematische Sätze sind von der Form einer Implikation A B. Dabei heißt A die Voraussetzung und B die Behauptung. Man sagt, die Behauptung B ist eine notwendige Bedingung für die Voraussetzung A, und die Voraussetzung A ist eine hinreichende Bedingung für die Behauptung B. Beispiel: Wenn eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie durch 3 teilbar. Die Teilbarkeit durch 6 ist die Voraussetzung, und die Teilbarkeit durch 3 ist die Behauptung. Die Teilbarkeit durch 3 ist eine notwendige Bedingung für die Teilbarkeit durch 6, und die Teilbarkeit durch 6 ist eine hinreichende Bedingung für die Teilbarkeit durch 3. Umkehrsatz: Ist A B ein Satz, dann heißt der Umkehrsatz. B A zus_beweisverfahren 1/5

2 LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 217/218 Achtung: Der Umkehrsatz eines wahren Satzes kann wahr oder falsch sein! Kontraposition: Ist A B ein Satz, dann heißt der äquivalente Satz B A die Kontraposition. Merke: Ist B falsch, dann ist A falsch, denn wenn A wahr wäre, dann wäre B wahr. Bemerkung: Damit ist auch klar, warum man bei einem Satz A B sagt, dass B eine notwendige Bedingung für A ist, denn B muss wahr sein, damit A wahr sein kann. Achtung: Die Kontraposition ist etwas anderes als der Umkehrsatz! Satz und Umkehrsatz: Sind ein Satz A B und sein Umkehrsatz B A wahr, dann ist das äquivalent zu dem Satz A B. Bemerkung: Ein Satz A B ist äquivalent zu (A B) (B A) und damit zu (A B) ( A B). Sprechweisen für die Äquivalenz A B: B ist genau dann wahr, wenn A wahr ist (oder umgekehrt). Wenn A wahr ist, dann ist B wahr, sonst nicht (oder umgekehrt). B ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für A (oder umgekehrt). Beispiel: Satz von den Stufenwinkeln: Für Stufenwinkel und an Geraden g und h gilt g h. h g Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen Gegeben sind eine zweimal differenzierbare Funktion f und eine innere Stelle x ihrer Definitionsmenge. notwendige Bedingung: Ist f x. Die Umkehrung ist falsch bzw. die Bedingung ist nicht hinreichend. 3 Gegenbeispiel: f x x ; x x eine Extremstelle von f, dann gilt hinreichende Bedingung mit VZW: Gilt f x und hat f an der Stelle x einen VZW, dann ist x eine Extremstelle von f. Die Umkehrung ist für übliche Funktionen richtig bzw. die Bedingung ist für übliche Funktionen notwendig. Näheres siehe Für Experten. zus_beweisverfahren 2/5

3 LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 217/218 hinreichende Bedingung mit zweiter Ableitung: Gilt f x und Extremstelle von f. Die Umkehrung ist falsch bzw. die Bedingung ist nicht notwendig. 4 Gegenbeispiel: f x x ; x f x, dann ist x eine Bedingungen für Wendestellen: Gegeben ist eine dreimal differenzierbare Funktion f und eine innere Stelle x ihrer Definitionsmenge. Definition: Ist x eine Extremstelle der Ableitung f, dann heißt x eine Wendestelle von f. Da eine Wendestelle eine innere Extremstelle der Ableitung ist, erhält man die Bedingungen für Wendestellen, indem man bei den Bedingungen für innere Extremstellen immer die nächsthöhere Ableitung nimmt. Entsprechend erhält man Gegenbeispiele, indem man immer die nächsthöhere x- Potenz nimmt. Beweisverfahren Um zu zeigen, dass ein Satz wahr ist, muss man ihn (allgemein) beweisen. Um zu zeigen, dass ein Satz falsch ist, genügt die Angabe eines Gegenbeispiels. Direkter Beweis: Eine Implikation A B kann man beweisen, indem man aus A (und aus wahren Aussagen) B herleitet. Indirekter Beweis: Eine Implikation A B kann man beweisen, indem man die (äquivalente) Kontraposition B A beweist. Beweis eines Satzes und seines Umkehrsatzes: Eine Äquivalenz A B kann man beweisen, indem man getrennt (!) die Implikationen A B und B A beweist. Widerspruchsbeweis: 1. Eine Aussage A kann man beweisen, indem man die Annahme A ist falsch mithilfe wahrer Aussagen zu einem Widerspruch führt. 2. Eine Implikation A B kann man beweisen, indem man die Annahme A B (das ist die Verneinung von A B) mithilfe wahrer Aussagen zu einem Widerspruch führt. Beispiele für Widerspruchsbeweise: 1. Es gibt unendlich viele Primzahlen. 2. Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist irrational. zus_beweisverfahren 3/5

4 LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 217/218 Summenschreibweise: Beispiel: 5 k 3 k Endwert k Startwert Term in k Beweis mit vollständiger Induktion: Eine Aussage kann man für alle natürlichen Zahlen n 1 (bzw. n n ) beweisen, indem man Folgendes beweist: Induktionsanfang: Die Aussage ist wahr für n 1 (bzw. n n ). Induktionsschritt ( Schluss von n auf n+1 ): Wenn die Aussage für eine natürliche Zahl n 1 (bzw. n n ) wahr ist, dann ist sie auch für n 1 wahr. Standardaufgabe: Beweise mit vollständiger Induktion, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen n 1 (bzw. n n ) gilt. Lösung: Induktionsanfang: n 1 (bzw. n n ): Zeige, dass die Aussage mit 1anstatt n ( bzw.mit n anstatt n) wahr ist. Induktionsschritt: Sei n 1 (bzw. n n ). Induktionsannahme: Notiere die Aussage mit n. Zeige: Notiere die Aussage mit n+1 anstatt n. Das geht so: Beweise die Aussage mit n+1 unter Verwendung der Induktionsannahme. Bei Das geht so muss die Aussage mit n 1 auf die Aussage mit n zurückgeführt werden, um die Induktionsannahme ins Spiel zu bringen. Dafür gibt es unter anderem folgende Möglichkeiten: bei Summen: n1 k n a a a bei Aussagen über Potenzen: bei Ableitungen: k k k1 k n 1 n a a a n1 f x f x n Jetzt kann die Induktionsannahme verwendet werden. Kennzeichne die Stelle, an der dies geschieht. Definition: Der Betrag einer reellen Zahl x ist x x x für x für x Beweis durch vollständige Fallunterscheidung: Eine Gleichung bzw. Ungleichung, in der Beträge auftreten, kann man beweisen, indem man für jeden auftretenden Betrag die Fälle unterscheidet. dann ist dann ist und zus_beweisverfahren 4/5

5 LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 217/218 Beispiel (Dreiecksungleichung): Für alle reellen Zahlen x und y gilt x y x y. Unterscheide folgende Fälle: Fall x und y (dann ist zwangsläufig x y ) Fall x und y : Unterfall x y Unterfall x y Fall x und y : Unterfall x y Unterfall x y Fall x und y (dann ist zwangsläufig x y ) Bemerkung: Der dritte Fall ist analog zum zweiten Fall, da die Dreiecksungleichung in x und y symmetrisch ist. Für Experten Unübliche Funktionen : Eine Funktion f ist in einer Umgebung einer Stelle x üblich, wenn die Ableitung f in einem Intervall x ; x nur positive oder nur negative Werte hat und in einem Intervall x; x nur positive oder nur negative Werte hat. Hinreichend dafür ist, dass f in jeder Umgebung von x höchstens endlich viele Nullstellen hat. Beispiele für unübliche Funktionen: a) konstante Funktion f 2 1 x sin 1 für x b) f x x für x zus_beweisverfahren 5/5