Informatik II. PVK Part1 Severin Wischmann n.ethz.ch/~wiseveri

Transkript

1 Informatik II PVK Part1 Severin Wischmann n.ethz.ch/~wiseveri

2 KAUM JAVA

3 Kaum Java Viel Zeit wird für Java-spezifisches Wissen benützt Wenig wichtig für Prüfung Letztjähriger Assistent hat eine Zusammenfassung geschrieben und Übungen vorbereitet:

4 Kaum Java Einige Beispiele werden mit Java implementiert

5 BÄUME

6 Graphen Ein Graph ist eine Menge von Knoten die durch Kanten verbunden ist Dies sind Graphen:

7 Bäume Bäume sind kreisfreie Graphen, in dem jeder Knoten von jedem anderen über genau einen Weg erreichbar ist! Baum Kein Baum

8 Wurzelbäume Ist ein Baum in dem ein Knoten als Wurzel bestimmt wurde. Die meisten Bäume in der Informatik sind Wurzelbäume, deshalb ist mit Baum meist Wurzelbaum gemeint!

9 Wurzelbäume Darstellung verschieden möglich: Gerichteter Graph Linksklammerdarstellung Eingerückte Form Mengendiagramm

10 Baumdarstellung Gebt diesen Graphen in Linksklammerdarstellung an Diesen Baum als gerichteten Graphen

11 Binärbaum Baum mit höchstens 2 Kindern In Arrays sind Kinder entweder Bei Index 2*i und 2*1+1 (Wurzel bei 1) Bei Index 2*i+1 und 2*i+2 (Wurzel bei 0) Wieviele Knoten hat ein Baum maximal, wenn er Höhe m hat? (Wurzel = Höhe 1)

12 Binärbaum Ein Baum der Höhe m hat maximal 2 m -1 Knoten!

13 Binäre Suchbäume Ein Suchbaum ist ein Baum bei dem jeder Knoten ein Schlüsselattribut hat. Nach diesem Schlüsselattribut wird sortiert Es gilt, dass Knoten im linken Unterbaum kleinere Attribute haben und solche im rechten grössere!

14 Binäre Suchbäume Suchen im Baum ist nun sehr effizient möglich Mit jedem Vergleich werden sehr viele Knoten ausgeschlossen! (Wieviele bei vollem Baum?) Es werden maximal h Vergleiche gebraucht, wenn h die Höhe ist. Im balancierten Baum mit n Knoten sind das log n Vergleiche!

15 Binäre Suchbäume Einfügen im Baum, entspricht der Suche nach dem Knoten! Sobald wir aber nicht weiter können fügen wir den neuen Knoten ein! Wenn Duplikate erlaubt sind, wo werden diese eingefügt?

16 Binäre Suchbäume Löschen ist in 2 von 3 Fällen sehr einfach: 1. Blatt => Löschen! 2. 1 Kind => Kind ersetzt Knoten 3. 2 Kinder => Mühsam

17 Binäre Suchbäume Um einen Knoten mit 2 Kindern zu löschen, gibt es zwei Möglichkeiten: Kleinstes Kind im rechten Teilbaum ersetzt den Knoten Grösstes Kind im linken Teilbaum ersetzt den Knoten

18 Binäre Suchbäume Um die Werte die in einem Baum gespeichert sind sortiert auszugeben, traversiert man den Baum inorder!

19 Listen Listen sind degenerierte Bäume (Baum bei dem jeder Knoten nur einen Nachfolger hat) Kennt ihr von Informatik I

20 Implementiert eine DLL Implementiert eine DoubleLinkedList in Java mit den Methoden: DLList first() erstes Element DLList last() letztes Element int valueat(int index) Wert bei index DLList insertat(int index) -- neues Element bei index einfügen

21 DoubleLinkedList public class DoubleLinkedList { private DoubleLinkedList next = null, prev = null; private int value; public DoubleLinkedList first() { DoubleLinkedList tmp = this; while(tmp.prev!= null) { tmp = tmp.prev; } return tmp; } public DoubleLinkedList last() { DoubleLinkedList tmp = this; while(tmp.next!= null) { tmp = tmp.next; } return tmp; }

22 DoubleLinked List public int valueat(int index) throws IndexOutOfBoundsException { DoubleLinkedList tmp = this; int i = 0; while(i < index && tmp!= null) { tmp = tmp.next; i++; } if(tmp == null) throw new IndexOutOfBoundsException(); return tmp.value; }

23 DoubleLinked List public DoubleLinkedList insertat(int index) throws IndexOutOfBoundsException { DoubleLinkedList tmp = this; int i = 0; while(i < index && tmp!= null ) { tmp = tmp.next; i++; } if(i == index && tmp!= null) { DoubleLinkedList new_el = new DoubleLinkedList(); new_el.next = tmp.next; new_el.prev = tmp; tmp.next = new_el; if(new_el.next!= null) new_el.next.prev = new_el; return new_el; } throw new IndexOutOfBoundsException(); }

24 Syntaxbäume Die Knoten der Bäume können auch die Struktur eines Programmes wiedergeben { if( x > 3 ) while(a < 3) a *= a; else a /= x; } Anweisung if ( Ausdruck ) Anweisung else Anweisung x > 3 while ( Ausdruck ) Anweisung Variable = Anweisung a < 3 a *= a; a a / x

25 SYNTAXANALYSE

26 Syntaxdiagramme Dienen dazu, nur syntaktisch korrekten Code zu erzeugen Falls Code nicht mit einem Syntaxdiagramm erzeugt werden kann, dann ist er nicht korrekt!

27 Syntaxdiagramme Was kann erzeugt werden: (~X 2 ) (X 1 OR ~X 2 ) ~(X 1 AND X 2 ) (X 2 OR ~X 1 ) AND (X 3 ) X 1 AND (X 2 AND X 3 ) (X 1 ) AND (~X 2 OR X 3 ) AND (X 3 )

28 Syntaxdiagramme In der Reihenfolge (links rechts) Nein Nein Nein Ja Nein Ja

29 Parser Ein Parser ist ein Programm, der überprüft ob ein gewisses Stück Quellcode korrekt ist.

30 Parser Schreibt einen Parser für das Syntaxdiagramm Annahme: AND = &, OR = und X i sind Kleinbuchstaben (einfach ein char)

31 static char c; void expr() { c = getchar(); clause(); if(c == & ) while(c == & ) { c = getchar(); clause(); } else Fehler(); } void clause() { if(c == ( ) { c = getchar(); var(); while(c == ) { c = getchar(); var(); } if(c!= ) ) Fehler(); c = getchar(); } else Fehler(); } void var() { if(c == ~ ) c = getchar(); if(c >= a && c <= z ) c = getchar(); else Fehler(); } Parser

32 BINÄRSUCHE

33 Binärsuche in Arrays Funktioniert im Prinzip wie Suchen im Binärbaum Annahme ist eine sortiertes Array in dem man in der Mitte zu suchen beginnt. Falls der gesuchte Wert kleiner ist, sucht man in der linken Hälfte weiter. Man hört auf, falls gefunden oder linke Grenze gleich rechter Grenze!

34 Binärsuche in Arrays

35 Binärsuche in Arrays Die Binärsuche lässt sich optimieren, wenn man annimmt, dass die Werte ungefähr gleichmässig verteilt sind. Dann ist die Mitte besser abgeschätzt als Werte/(mitte links) = (A[rechts] A[links]) / (rechts links)

36 BACKTRACKING

37 Backtracking Kluges Bruteforce Verfahren! Man probiert nicht alles aus, sondern hört auf, falls eine Lösung nicht mehr möglich ist Dennoch sucht man sehr grosse Teile des Problemraumes ab

38 Backtracking Standardbeispiel N-Queens Problem

39 Backtracking

40 Backtracking Der Zustandsbaum wird depth first durchgegangen Ziel ist es falsche Wege frühzeitig zu erkennen Nebenbedingungen Heuristiken

41 Backtracking An der Prüfung ist meistens nur das finden der Nebenbedingung eine Challenge!

42 SPIELTHEORIE

43 Spieltheorie Kommt eigentlich aus der Soziologie Wird benutzt um rationale Akteure in gewissen Situationen zu modelieren Wirtschaft (Firmen) Politik (Länder) Krieg Nullsummenspiele

44 Spieltheorie Viele traditionelle Brettspiele sind 2-Personen Nullsummenspiele Kein Zufall, keine Wahrscheinlichkeiten Keine versteckte Information Der Verlust des einen ist der Gewinn des anderen. Die Endsituation kann erkannt und deren Wert berechnet werden

45 Spielbäume Wir nennen die beiden Spieler Min und Max. Beide ziehen abwechselnd Ein Spieler pro Niveau des Baumes am Zug Blätter sind Endsituationen Max will natürlich eine Endsituation erreichen die seinen Gewinn maximiert Min arbeitet genau gleich und minimiert den Gewinn von Max in dieser Weise Mit perfekter Information, findet man so den bestmöglichen Zug!

46 Spielbäume Spielbaum für Tic-Tac-Toe Imsource:

47 Spieltheorie Der optimale Spieler wird immer den besten Zug für sich wählen! Dies ist nur möglich, wenn der ganze Spielbaum einsehbar ist. Oft muss man sich jedoch mit Heuristiken begnügen, da man nicht alle Positionen evaluieren kann

48 Tic-Tac-Toe Zeichne den Spielbaum für folgende Situation des Tic-Tac-Toe Spieles. Du bist X Gewinnen: 1, Verlieren: -1, Unentschieden: 0

49 MinMax Algorithmus Minimaxwert für einen Knoten ist wie folgt definiert: Für Blätter: Payoff-Funktion Für Max-Knoten: Maximum der Minimaxwerte der direkten Nachfolgeknoten Für Min-Knoten: Minimum der Minimaxwerte der direkten Nachfolgeknoten Rekursiv bis zu den Blättern Die Wurzel entspricht dem Maximum das Max in dieser Spielsituation noch erreichen kann

50 MinMax-Algorithmus Spielbäume sind meistens zu gross um bis zu den Blättern zu kommen Deshalb wird die Tiefe begrenzt Am Ende wird dann eine Heuristik angewandt.

51 Effizientes Auswerten Um die besten Züge möglichst tief zu durchsuchen will man weniger viel versprechende weglassen => Alpha-Beta-Pruning

52 Alpha-Beta-Pruning Wir schneiden Unterbäume weg, die wir so oder so nicht evaluieren wollen. Alpha-Beta-Pruning verändert den Minimax- Wert nicht, sondern wertet effektiv nur weniger Unterbäume aus

53 Alpha-Beta-Pruning Alpha-Schnitt: Alpha-Schnitt wird gemacht, wenn Max bereits einen besseren Zug kennt, als Min ihm in diesem Subbaum anbieten wird Beta-Schnitt: Min findet für Max bereits einen tieferen Wert als dieser Subbaum noch ermöglichen könnte

54 Alpha-Beta-Schranken Die Alpha-Beta-Schranken sind Werte die der Rekursion mitgegeben werden und gegebenen falls auf dem Weg angepasst werden. Alpha-Schranke ist ein bereits bekannter Gewinn. Wird von Max gesetzt Max macht den Beta-Schnitt Beta-Schranke ist der maximale Gewinn, den Min Max ermöglicht Wird von Min gesetzt Min macht den Alpha-Schnitt

55 Alpha-Beta-Pruning Ein Baum wird somit gestrichen, wenn Alpha >= Beta Um möglichst viele Schnitte zu erreichen, sollten die Knoten auf- bzw. absteigend bezüglich des Minimax-Wertes sortiert werden Alpha-Beta durchsucht im besten Fall nur Anzahl Knoten in Höhe der Wurzel der Anzahl von Minimax!

56 Alpha-Beta angewandt Wendet den Alpha-Beta-Algorithmus auf folgenden Spielbaum an Alpha-Beta-Schranke für jede Kante Schnitte markieren!