Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

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1 Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler. (a) Bestimmen Sie die kartesische Form von Wintersemester 7/8 (..8) z = ( + i)( i) + ( + i). (b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung (z i)(z + + i) = 8z + 6i. (c) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z = x+iy, die die folgenden drei Bedingungen erfüllen: z, Re(z) und (Im(z)) + Re(z). Aus Ihrer Skizze sollte man erkennen, ob Randpunkte zur Menge gehören oder nicht. Lösung: (a) Unter Anwendung der binomischen Formeln erhält man z = ( + i)( i) + ( + i) = (b) Wir schreiben die Gleichung in der Form 4i + + i + i = 5 + i = 5( i) ( + i)( i) 5 i =. (z i)(z + + i) = 8(z i). () Falls z i kann man beide Seiten durch z i dividieren und erhält Die Substitution w = z + + i führt auf mit den Lösungen w = e i π = cos ( π (z + + i) = 8. w = 8 = 8e iπ ) ( π ) + i sin = + i, w = e iπ =, w = e i 5π = cos ( 5π ) ( ) 5π + i sin = i. Durch Rücksubstitution z = w i erhält man folgende Lösungen der Ausgangsgleichung: ( ) z = i, z = i, ( z = ) i. Schließlich bleibt noch der Fall z i = zu untersuchen, für den beide Seiten von () Null werden. Damit ist z = i die vierte Lösung der Ausgangsgleichung.

2 (c) Die erste Bedingung besagt, dass der Abstand zwischen z und in der Ebene größer oder gleich sein muss (alle Punkte auf oder außerhalb eines entsprechenden Kreises). Die zweite Bedingung schreibt man äquivalent als Re(z). Sie besagt also, dass der Realteil zu mindestens den Abstand hat (alle Punkte außerhalb eines vertikalen Streifens). (Alternativ schreibt man z = x + iy (x, y R) und löst die Ungleichung x mittels Fallunterscheidung.) Die dritte Ungleichung schreibt man mit z = x + iy (x, y R) in der Form x y (alle Punkte rechts einer Parabel). Skizze: Sämtliche Randpunkte gehören zur Menge.. (a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge sofern er existiert. (b) Für welche α R konvergiert die Reihe a n = 4 n( n) sin(n + π) + (4n + ) / n, k= Bestimmen Sie den Wert der Reihe für α =. (c) Untersuchen Sie die Reihen k ( + α) k+? ( ( ) k e k+4) k= und k= (k + ) 5 k+ auf Konvergenz.

3 Lösung: (a) Zunächst ist der zweite Summand n sin(n + π) ein Produkt aus einer beschränkten und einer Nullfolge und hat damit den Grenzwert Null. Folglich gilt (Ausklammern der jeweils höchsten in Zähler und Nenner vorkommenden Potenzen von n): lim a n = lim n n 4 n( n) = lim (4n + ) / n 4 n / ( n ) n / ( 4 + ) / = 4 4 / = =. n (Achtung: Die von einigen Studierenden verwendete Beziehung ( n) = n ist falsch, denn für große n ist n negativ! Stattdessen wäre ( n) = + n für große n eine Option.) (b) Es handelt sich um eine geometrische Reihe mit q = +α. Sie konvergiert genau dann, wenn + α < α + >. Diese Ungleichung löst man mittels Fallunterscheidung (α+ ) oder mittels Abstandsinterpretation (α hat zu einen Abstand größer als.) In der Konsequenz konvergiert die Reihe, wenn α < 5 oder α >, ansonsten ist sie divergent. Für α = erhalten wir mit der Summenformel k 5 k+ = ( ) k = =. 5 (c) Wegen lim k k= k= ( e k+4 ) = divergiert erste die Reihe gemäß notwendigem Kriterium. (Das Leibniz-Kriterium liefert hingegen keine Aussage!) Für die zweite Reihe verwenden wir das Quotientenkriterium. Für a k = (k+)5 gilt k+ ( a k+ a k = (k + )5 k+ (k + ) 5 k+ = k ( + )) 5 k k ( + ) <, k d. h. die Reihe konvergiert.. Bestimmen Sie alle Werte der Parameter a, b, c R, für die x + ax + b für x ; f : R R, f(x) = sin(cx) für < x π; e (π x) für x > π. auf dem gesamten Definitionsbereich stetig ist. Kann man die Parameter sogar so wählen, dass f differenzierbar ist? Wenn ja, geben Sie auch dafür alle Werte der Parameter an. Lösung: Kritisch sind nur die beiden Stellen x = und x = π, überall sonst ist die Funktion differenzierbar und damit auch stetig. Die einzelnen Teilfunktionen lassen sich differenzierbar (und damit stetig) auf ganz R fortsetzen: f : R R, f (x) = x + ax + b, f : R R, f (x) = sin(cx), f : R R, f (x) = e (π x).

4 Die Stetigkeitsbedingung reduziert sich damit auf das Gleichungssystem f () f (π)! = f (π). Die erste Bedingung liefert b = und die zweite sin(πc)! = e = πc = kπ, k Z c = k, k Z.! = f (), Die Funktion f ist also stetig für a R beliebig, b = und c = k, k Z, ansonsten unstetig. Für die Differenzierbarkeit sind zusätzlich die Ableitungen an den kritischen Stellen abzugleichen. Wir berechnen f (x) = x + a, f (x) = c cos(cx), f (x) = e (π x). Die Bedingung f ()! = f () führt auf a = c = k, k Z, und die Bedingung f (π)! = f (π) damit auf k cos(kπ)! = k ( )k = k ( ) k = 4 mit k = 4 als einziger ganzzahliger Lösung (c = k = ). Zusammenfassend ist f genau dann differenzierbar, wenn a = c = und b = gilt. 4. Gegeben ist die Funktion mit einem Parameter t >. f t : (, ) R, f t (x) = t ln(tx) x (a) Bestimmen Sie die Nullstellen sowie Lage und Art der lokalen Extrema. (b) Analysieren Sie das Verhalten der Funktion f t für x und für x +. (c) Geben Sie den Wertebereich der Funktion f t an. Lösung: (a) Die einzige Nullstelle x N erhält man wie folgt: ln (tx N )! = tx N = x N = t. Für die Bestimmung der Extrema berechnen wir zunächst die ersten beiden Ableitungen (hier mit Quotientenregel): f t(x) t tx = t x ln(tx) x = t ln(tx) x, f t (x) = t x x ( ln(tx)) x + ln(tx) x 4 = t x. Alle lokalen Extrema sind Nullstellen der ersten Ableitung, erfüllen also ln(tx) = ln(tx) = tx = e, d. h. der einzig mögliche Kandidat ist x E = e t. Wegen ( e ) f t = t 4 + t e = t4 e < handelt es sich bei x E = e t um die Stelle eines lokalen Maximums. 4

5 y (b) Nach der Regel von Bernoulli-l Hospital (Fall ) gilt Für den zweiten Grenzwert gilt lim f ln(tx) l Hosp. /x t(x) = t lim = t lim x x x x =. lim f t t(x) = lim ln(tx) = ( ) =. x + x + x (c) Mit den bisherigen Betrachtungen ergibt sich als Wertebereich W ft = (, f t (x E )] = ( ], t. e 5. (a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des endlichen Bereichs im ersten Quadranten, der von den Kurven xy =, yx = und y = 9 4 begrenzt wird. Erstellen Sie dazu vor Beginn der Rechnung eine aussagekräftige Skizze. (b) Bestimmen Sie π (x + ) sin(x) dx und durch Rückführung auf Grundintegrale. x x + x dx + x Lösung: (a) Skizze: y=/x y=/x y=9/4 4/9 / x Für die Funktionen y = f(x) = x und g(x) = gilt augenscheinlich f() = g() = x (alternativ löst man die Gleichung x = ). Die Schnittpunkte der Graphen von f und g x mit der Geraden y = 9 4 ergeben sich aus x = 9 4, x x =, x = 9 4 x =

6 Für den gesuchten Flächeninhalt gilt daher (Logarithmengesetze beachten): A = / 4/9 ( 9 4 ) x dx + [ ] 9 / = 4 x ln x + 4/9 ( ) = + ln ln / ( x ) dx x [ x ln x ] / ( ) + + ln ln = + ln ln (.897). (b) Das erste Integral löst man mittels partieller Integration (setze u(x) = x +, u (x) = ; v (x) = sin(x), v(x) = cos(x)): π (x + ) sin(x) dx = [ ] π (x + ) cos(x) + π cos(x) dx = π + 4[ sin(x) ] π = π. Für das zweite Integral erzeugt man sich eine Partialbruchzerlegung des Integranden (beachte (x + x) = x(x + )): x x + x + x Multiplikation mit dem Hauptnenner liefert! = A x + Bx + C x +. x x + = A(x + ) + (Bx + C)x = (A + B)x + Cx + A. Durch Koeffizientenvergleich erhält man A =, C = und A + B =, d. h. B =. (Alternativ kann man zur Bestimmung der Konstanten auch drei beliebige Werte für x einsetzen.) Wir erhalten also x x + x dx = + x x dx x dx = ln x arctan x + c. + 6

7 6. Gegeben seien eine Matrix A und ein Vektor b wie folgt: β β A = 4 β 6 und b = 6 Dabei ist β R ein Parameter. (a) Berechnen Sie die Determinante von A. (b) Wieviele Lösungen hat in Abhängigkeit vom Parameter β das lineare Gleichungssystem A x =? (c) Berechnen Sie für β = die Lösung des linearen Gleichungssystems A x = b mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. (d) Der Vektor x = [,,, ] T ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems B x = c mit B =, c = Besitzt das Gleichungssystem noch weitere Lösungen? Geben Sie die Dimension des Nullraums von B an.. Lösung: (a) Zur Berechnung der Determinante kann man die Sarrus sche Regel verwenden: β β 4 β 6 6 = 4β 6β β = 4β β + 6. (b) Es gilt det(a) = genau dann, wenn ( 4 β + β ) = d. h. β, = 4 ± 6 + = 4 ± 5 4. Das lineare Gleichungssystem A x = besitzt also für β = und β = unendlich viele Lösungen, ansonsten genau eine. (c) Die Lösung könnte zum Beispiel so aussehen (Sie haben beim Gauß-Verfahren aber viele Freiheiten): I - II 6 I + III - III/6 x x x - 7

8 Die zweite Zeile im vorletzen Block wurde wegen der linearen Abhängigkeit von Zeile III gestrichen. Zur Bestimmung der Lösung können wir eine Variable frei wählen. Zweckmäßig ist x = t, t R. Die anderen beiden Variablen bestimmen wir in Abhängigkeit von t durch Rückwärtsauflösen der beiden verbliebenen Zeilen: x =, x + 4 t = x = + t. Als Lösungsmenge ergibt sich L = x R : x = + t, t R. Diese Darstellung hängt davon ab, welche Variable frei gewählt wurde, und ist somit nicht eindeutig. (d) Sämtliche Spalten von B sind Vielfache der ersten (und ungleich Null), d. h. rang(b) = und somit dim (N(B)) = 4 rang(b) =. Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems B x = c hat die Struktur x + N(B) und besitzt daher ebenso wie der Nullraum unendlich viele Elemente. 8