Experimentalphysik E1

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1 Experimentalphysik E1 13. Nov. Scheinkräfte Alle Informationen zur Vorlesung unter :

2 Die Newtonschen Grundgesetze 1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip) Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt. 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip) Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als F = m a [N=kg m/s 2 = 1 Newton] m : träge Masse 3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip) Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F 12 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F 21 auf den anderen Körper. F = 12 F 21 (actio=reactio)

3 Bewegte Bezugssysteme Wann und Wo sind die Newtonschen Gesetze gültig? Gelten Sie in allen Bezugssystemen? 1.NG F=0 2.NG F=ma => gleichf. Bew. (wobei F bekannte Kräfte sind) v=0 v Inertialsysteme sind Bezugssysteme in denen das Newtonsche Trägheitsgesetz gilt. Bezugssysteme die sich relativ zueinander mit der konstanter Geschwindigkeit bewegen sind äquivalent

4 Beschleunigte Bezugssysteme Beobachter im Wagen: -Eine Kraft zieht die Kugel plötzlich nach hinten. Beobachter außerhalb: -Wagen wird beschleunigt, daher Zugkraft auf Feder. F tr a Im beschleunigten Bezugssystem tritt Beschleunigung von Massen ohne erkennbare Ursache auf. Als Ursache werden Scheinkräfte eingeführt. Scheinkräfte sind Trägheitskräfte, welche von mitbewegten Beobachtern in beschleunigten Bezugssystemen beobachtet werden.

5 3 Bewegte Bezugssysteme 3.1 Relativbewegung z r A A r B r AB B Relativkoordinate: y r AB = r A r B r B v A = d r A dt ; v B = d dt x Relativgeschwindigkeit: v AB = d r AB = v A v B dt v BA = v B v A = v AB

6 3.2 Inertialsysteme x z O v = d r dt u t dr " v " = dt y z" " x A r = { x,y,z} " O O bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit u bezüglich O è Zwischen den in den beiden Inertialsystemen O und O gemessenen Grössen für die Bewegung des Massenpunktes A gelten die Galilei-Transformationen { } r = x ", y ", z " " y r " = r u t % x "(t) = x(t) u x t) ' y "(t) = y(t) u y t' & * ' z "(t) = z(t) u z t ' ( ' t " = t + ' v " = v u a " = d v " dt = d u=const v dt = a è r = r " + u t v = v " + u a = a " und F = F " t = t " u << c

7 Beide Beobachter kommen in Inertialsystemenzu den gleichen physikalischen Gesetzenz.B. freier Fall h z z = h 1 2 gt 2 z " = h 1 2 gt 2 x = u t x " = 0 A h z A x u x Inertialsysteme sind für die Beschreibung physikalischer Gesetze äquivalent

8 3.3 Beschleunigte Bezugssysteme Bsp.: Geradlinig beschleunigte Bezugssysteme z z" S y r x " r A y " a = du dt " S " x x = x " + u 0 t + 1 at 2 2 y = y " z = z " t = t " ( ) = u 0 t + 1 at 2 2 x 0 " t O kein Inertialsystem! Auftreten von Bsp.: Scheinkräften!! Fahrstuhlexperim ente

9 Scheinkräfte im beschleunigten Fahrstuhl

10 ˆ ω r = r A e ˆ " z z " eˆ! z e ˆ " y " z y e x Bsp.: Rotierende Bezugssysteme O=O ˆ " e x x y Ebene ˆ e y y x x " y " Ebene " x v! t r! t r t = x t ê x + y t ê y + z t ê z v ( t) = dx dt ê x + dy dt ê y + dz dt ê z Der Beobachter im rotierenden System O beschreibt A: = d! r dt = d x! dt eˆ! x + d y! dt eˆ! y + d z! dt eˆ! z x ( t) eˆ! x + y! ( t) eˆ! y + z! ( t) eˆ! z = r( t) =! Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren des Rotienrenden Systems. v x!, y!, z! # = % d x! $ dt eˆ! x + d y! dt eˆ! y + d z! dt & # eˆ! z (+ x! d eˆ! % x ' $ dt +! y d eˆ! y dt +! z d e ˆ! z dt & ( = v! + u '

11 Die Endpunkte der Einheitsvektoren im rotierenden System beschreiben Kreisbahnen: => u = ( ω eˆ" x ) " ( e ) y " x + ω ˆ" = ω e ˆ x $ x $ + e ˆ y $ y $ + e ˆ z $ z $ = ω r $ = ω r v = " weilr r # v + ω r ( e z ) z" y + ω ˆ" Geschwindigkeit im rotierenden Geschwindigkeit System im ruhenden System dˆ e x " dt dˆ e y " dt dˆ e z " dt = ω ˆ " e x = ω ˆ " e y = ω ˆ " e z

12 Für ω = const: a = d v dt = d v " dt + % ω d r ( ' * & dt ) dv " dt = # e ˆ " d v " x % $ x dt dv " + e ˆ y " y dt dv " + e ˆ z " z & dt ' ( + # dˆ e " x % $ dt v x " + dˆ e y " dt v y " + dˆ e z " dt " v z & ( ' = a " + ω v " Der Beobachter in O muss zur Beschrei-bung der Bewegung von A zusätzliche Beschleunigungsterme einführen! a = d v dt = a " + ω v " a = a " + 2 ω v " a " = a + 2 v " ω a " = a + a c + a zf + ( ω v ) + ω ( ω r ) +ω ( r ω ) Coriolisbeschleunigung Zentrifugalbeschleu nigung

13 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A a c = 2 v " ω a zf = ω r ω F c = 2m v " ω F zf = m ω r ω Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

14 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A a c = 2 v " ω a zf = ω r ω F c = 2m v " ω F zf = m ω r ω Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf! " x z" = z ω r A a x " c a y " c a c a zf v v v " y

15 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A a c = 2 v " ω a zf = ω r ω F c = 2m v " ω F zf = m ω r ω Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinatensystems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf! z" = z ω Zentrifugalkraft steht senkrecht auf ω Corioliskraft steht ebenfalls senkrecht auf ω, tritt aber nur auf, wenn v eine Komponente senkrecht zu ω hat. " x v " r A a zf a c " y

16 F Z Rotierendes Bezugssystem => Trägheitskräfte m v v r ω S S ω r v m : Winkelgeschwindigkeit : Bahnvektor : Bahngeschwindigkeit : Masse F C F = F! 2m ω v! F = F! + 2m v! ω mω ( ω r! ) + mω ( r! ω ) F C = 2mωv sin(ω, v) Corioliskraft F zf = m r ω 2 Zentrifugalkraft

17 Die Zentrifugalkraft

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19 Exp.: Rotierender Eimer Im Gleichgewicht wirken keine tangentialen Kräfte mehr auf die Wasseroberfläche ω h tanα = F Z = dh F G dr = mrω 2 mg = ω g 2 r F z r F G => h(r) = ω g r 2 + h 0

20 Corioliskraft Von außen: Von der Scheibe aus: Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn: Bewegung von innen nach außen: Scheibe dreht sich unter Kugel weg => Rechtsablenkung Bewegung von außen nach innen: Bahngeschwindigkeit der Kugel ist hoch, die der Scheibe wird kleiner => Rechtsablenkung Vom Zentrum weg (v=0) Vom Rand (mit Anfangsgschw.)

21 Corioliskraft und Winde Die Winde auf der Nordhalbkugel werden nach rechts abgelenkt, sodass sie sich ein linksdrehender Wirbel ergibt. Auf der Südhalbkugel ist der Drehsinn der Windwirbel umgekehrt

22 Corioliskraft bestimmt den Drehsinn der Tiefdruckgebiete und Stürme Hurricane Floyd Typhoon Yasi

23 Foucaultsches Pendel