Algorithmische Graphentheorie (SS2013)

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1 Algorithmische Graphentheorie (SS2013) Kapitel 1 Grundlagen Walter Unger Lehrstuhl für Informatik :42

2 (1:2) <> Walter Unger :26 SS2013 Z x Inhalt I 1 Einleitende Definitionen Graphen Spezielle Graphen 2 Zusammenhang von Graphen Definitionen Aussagen Gerichteter Graph 3 Flüsse Einleitung 4 Matchings Definition Matching auf bipatiten Graphen Anwendungen Probleme 5 Faktoren in Graphen Einleitung Aussagen 6 Posets Definition und Aussagen

3 Graphen (1:1) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Definition: Graph Definition (ungerichteter Graphen) v 2 v 9 Sei V (G) = {v 1,..., v n} eine nicht-leere Knotenmenge und v 4 v 6 E(G) eine Menge oder Multimenge von Paaren aus V (G) (Kantenmenge). v 1 v 5 v 8 Die Mengen V (G) und E(G) definieren den Graphen G = (V (G), E(G)). Falls G eindeutig ist schreiben wir vereinfacht: V b.z.w. E. v 0 v 3 v 7 D.h. G = (V, E). Standardmäßig: n = V und m = E.

4 Graphen (1:2) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Sprechweisen zu Graphen Definition (Sprechweisen) v 2 v 9 Sei G = (V (G), E(G)) und e = (v, w) E(G). Die Knoten v, w heißen verbunden (adjazent) durch die Kante e. Eine Kante e heißt Schleife (loop), falls v = w gilt. v 1 v 0 v 4 v 5 v 6 v 8 Zwei Kanten heißen parallel, falls sie gleich sind. v 3 v 7 Ein Graph ohne parallele Kanten heißt einfach (simple). Falls nicht anders erwähnt, behandeln wir im Folgenden nur einfache Graphen ohne Schleifen.

5 Graphen (1:3) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Knotengrad Definition (Knotengrad) Sei v V (G). Mit deg(v) = {e E(G) e = (v, v ), v V (G) \ {v}} bezeichnen wir den Knotengrad (degree) von v. deg(v 0) = 4. v 2 v 9 deg(v 1) = 3. deg(v 4) = 6. deg(v 5) = 6. v 1 v 4 v 5 v 6 v 8 v 0 v 3 v 7

6 Graphen (1:4) <> Walter Unger :26 SS2013 Z i Handshake Theorem Theorem v V (G) deg(v) = 2 E(G). Beweis: Jede Kante verbindet zwei Knoten. Theorem Die Anzahl der Knoten von ungeradem Grad ist gerade. Beweis: deg(v) + deg(v) = 2 E(G) v V (G) v V (G) deg(v) mod 2=0 deg(v) mod 2=1

7 Spezielle Graphen (1:5) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Regulär und vollständig Definition (Regulär) Ein Graph G heißt k-regulär, falls für alle v V (G) gilt: d(v) = k. e e e d f d f d f a c a c a c b b b Definition (Vollständig) Ein Graph G heißt vollständig (complete), falls für alle Knotenpaare a, b aus V gilt: (a, b) E. Schreibweise: K n.

8 Spezielle Graphen (1:6) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Spezielle Graphen Definition (Bipartit) Ein Graph G heißt bipartit, falls sich V disjunkt in V, V aufteilen läßt, so dass jede Kante nur Knoten aus den beiden verschiedenen Partitionen verbindet. Schreibweise: G = (V, V, E) Definition (Vollständig bipartit) Ein Graph G heißt vollständig bipartit, falls sich V disjunkt in V, V aufteilen läßt und E = {(a, b) a V, b V }. Schreibweise: K p,q mit p = V und q = V, Stern (star), falls S n = K 1,n 1.

9 Spezielle Graphen (1:7) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Beispiele a 4 b 4 b 4 a 3 b 3 a 3 b 3 a 2 b 2 a 2 b 2 a 1 b 1 a 1 b 1 a 0 b 0 a 0 b 0

10 Spezielle Graphen (1:8) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Teilgraphen Definition (Teilgraph) v 2 v 9 Ein Graph H = (V (H), E(H)) ist ein Teilgraph von G = (V (G), E(G)), falls V (H) V (G) und E(H) E(G). v 1 v 4 v 6 v 8 v 5 v 0 v 3 v 7

11 Spezielle Graphen (1:9) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Teilgraphen Definition (knoteninduzierter Teilgraph) v 2 v 9 Ein Graph H = (V (H), E(H)) ist ein knoteninduzierter Teilgraph von G = (V (G), E(G)), falls V (H) V (G) und E(H) = {(a, b) E(G) a, b V (H)}. v 1 v 4 v 6 v 8 v 5 v 0 v 3 v 7

12 Spezielle Graphen (1:10) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Isomorphe Graphen Definition (Isomorph) Zwei Graphen G und H sind isomorph, falls es eine bijektive Abbildung f : V (G) V (H) gibt, so dass für alle v, w V (G) gilt: (v, w) E(G) genau dann, wenn (f (v), f (w)) E(H). v 2 v 3 a 2 b 2 v 1 v 4 a 1 b 1 v 0 v 5 a 0 b 0

13 Definitionen (1:11) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Zusammenhang Definition Ein Graph G = (V, E) heißt zusammenhängend, falls es zwischen je zwei verschiedenen Knoten a, b einen Weg von a nach b gibt. v 2 v 9 v 1 v 4 v 5 v 6 v 8 v 0 v 3 v 7

14 Definitionen (1:12) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Knotenseparator Definition Sei G = (V, E), V V heißt Knoten-Separator (vertex cut), falls G V nicht zusammenhängend ist. Schreibweise: G V := (V \ V, {(a, b) E a, b V \ V }) Definition Falls {v} ein Knoten-Separator ist, dann heißt v Artikulationspunkt. Theorem Nur Cliquen K n haben keinen Knoten-Separator.

15 Definitionen (1:13) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Beispiel v 2 v 9 v 2 v 9 v 4 v 4 v 6 v 6 v 1 v 1 v 8 v 8 v 5 v 5 v 0 v 0 v 3 v 7 v 3 v 7 v 2 v 9 v 2 v 9 v 4 v 4 v 6 v 6 v 1 v 1 v 8 v 8 v 5 v 5 v 0 v 0 v 3 v 7 v 3 v 7

16 Definitionen (1:14) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Kantenseperator Definition Sei G = (V, E), E E heißt Kanten-Separator (edge cut), falls G E nicht zusammenhängend ist. Schreibweise: G E := (V, E \ E ) Definition Falls {v, w} ein Kanten-Separator ist, dann heißt {v, w} Brücke. Theorem Ein minimaler Kanten-Separator E von G = (V, E) induziert einen 2-partiten Graphen. D.h. G = (V, E ) ist 2-patiter Graph.

17 Definitionen (1:15) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Beispiel v 2 v 9 v 4 v 6 v 1 v 8 v 5 v 0 v 3 v 7

18 Definitionen (1:16) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Zusammenhang Definition G = (V, E) ist k-fach zusammenhängend, falls: V V : V = k 1 gilt G V ist zusammenhängend. Fall G k-fach zusammenhängend ist, dann auch (k 1)-fach. Schreibweise: κ(g) = max{k G ist k-fach zusammenhängend} Definition G = (V, E) ist k-fach Kanten zusammenhängend, falls: E E : E = k 1 gilt G E ist zusammenhängend. Fall G k-fach Kanten zusammenhängend ist, dann auch (k 1)-fach. Schreibweise: λ(g) = max{k G ist k-fach Kanten zusammenhängend}

19 Aussagen (1:17) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Aussagen zum Zusammenhang Theorem Für jeden Graphen G = (V, E) gilt: κ(g) λ(g) δ(g) Schreibweise: δ(g) := min{deg(v) v V } Theorem Für alle nat. Zahlen 0 < a b c gibt es einen Graphen G mit: κ(g) = a, λ(g) = b, δ(g) = c Theorem Sei G = (V, E) mit: V = n und δ(g) n/2. Dann gilt: λ(g) = δ(g)

20 Aussagen (1:18) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Aussagen zum Knoten Zusammenhang Theorem Sei G = (V, E) mit: V = n und E = e. Dann ist der maximale Zusammenhang (maximale k mit G ist k-fach zusammenhängend) von G: 0 falls e < n 1 2 e/n falls e n 1 Theorem Sei G = (V, E) zusammenhängend. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1 v V ist ein Knoten-Separator. 2 a, b V : a, b v: Jeder Weg von a nach b geht über v. 3 A, B: A B = V \ {v} und jeder Weg von a A nach b B geht über v.

21 Aussagen (1:19) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Aussagen zum Kanten Zusammenhang Theorem Sei G = (V, E) zusammenhängend. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1 e E ist ein Kanten-Separator. 2 e ist in keinem einfachen Kreis von G 3 a, b E: jeder Weg von a nach b geht über e 4 A, B: A B = V und jeder Weg von a A nach b B geht über e

22 Aussagen (1:20) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Definitionen Definition Sei G = (V, E) und (a, b) = e E. Die Aufteilung (subdivision) der Kante e ergibt den Graphen G = (V {v}, E {(a, v), (v, b)} \ {e}) b c d a f e Definition Eine Menge von Wegen von G = (V, E) heißt intern-knotendisjunkt, falls keine zwei Wege einen inneren Knoten gemeinsam haben. Die inneren Knoten sind alle außer Start- und Endknoten.

23 Aussagen (1:21) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Theorem Sei G = (V, E) mit V 3. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1 G ist 2-fach zusammenhängend. 2 Jedes Knotenpaar ist mit zwei intern-knotendisjunkten Wegen verbunden. 3 Jedes Knotenpaar liegt auf einem gemeinsamen einfachen Kreis. 4 Es gibt eine Kante. Und jeder Knoten zusammen mit dieser Kante liegt auf einem gemeinsamen einfachen Kreis. 5 Es gibt zwei Kanten. Und jedes Kantenpaar liegt auf einem gemeinsamen einfachen Kreis. 6 Zu einem Knotenpaar a, b und einer Kante e gibt es einen einfachen Weg von a nach b über e. 7 Zu drei Knoten a, b, c gibt es einen Weg von a nach b über c. 8 Zu drei Knoten a, b, c gibt es einen Weg von a nach b, ohne über c zu gehen.

24 Aussagen (1:22) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Aussagen Theorem Sei G = (V, E) k-fach zusammenhängend, dann liegen je k Knoten auf einem gemeinsamen einfachen Kreis. Schreibweise: Seien (G = V, E) und (H = W, F ) Graphen G + W = (V W, E F {(a, b) a V, b W }) Theorem Ein Graph G ist 3-fach zusammenhängend genau dann, wenn G aus einem Rad W i = K 1 + C i (i 4) durch die folgenden Operationen aufbaubar ist: 1 Hinzufügen einer neuen Kante. 2 Aufspalten eines Knotens vom Grad 4 in zwei verbundenen Knoten vom Grad 3.

25 Aussagen (1:23) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Aussagen zu k-fach Zusammenhang Theorem (Menger s Theorem) G ist k-fach zusammenhängend genau dann, wenn es zwischen je zwei Knoten k intern-knotendisjunkte Wege gibt. Theorem (Menger s Theorem) G ist k-fach-kanten zusammenhängend genau dann, wenn es zwischen je zwei Knoten k kanten-disjunkte Wege gibt.

26 Aussagen (1:24) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Bestimmung des Zusammenhangs Theorem Der 1-fache Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden. Theorem Der 1-fache Kanten-Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden. Theorem Der 2-fache Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden. Theorem Der k-fache Zusammenhang kann mit Flussalgorithmen bestimmt werden. Theorem Der k-fache Kanten-Zusammenhang kann mit Flussalgorithmen bestimmt werden.

27 Gerichteter Graph (1:25) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Definition: Graph Definition (gerichteter Graphen) v 2 v 9 Sei V (G) = {v 1,..., v n} eine nicht-leere Knotenmenge und v 4 v 6 E(G) eine Menge oder Multimenge von Paaren aus V V (Kantenmenge). v 1 v 5 v 8 Die Mengen V (G) und E(G) definieren den Graphen G = (V (G), E(G)). Falls G eindeutig ist, schreiben wir vereinfacht: V b.z.w. E. v 0 v 3 v 7 D.h. G = (V, E). Standardmäßig: n = V und m = E.

28 Gerichteter Graph (1:26) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Starker Zusammenhang Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) heißt stark zusammenhängend, falls es zwischen je zwei verschiedenen Knoten a, b einen Weg von a nach b gibt. Theorem Der starke Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden.

29 Einleitung (1:27) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Das Fluss Problem Definition (Fluss) Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph mit Kostenfunktion c : E N. Seien s, t V Quelle und Senke. Eine Funktion f : E N ist eine Flussfunktion gdw.: e E : 0 f (e) c(e) v V \ {s, t} : e=(v,w) E f (e) = e=(w,v) E f (e) Der Wert des Flusses ist: e=(s,w) E f (e) e=(w,s) E f (e) Definition (Maximaler Fluss Problem) Gegeben: Graph G = (V, E), s, t V and c : E N Bestimme: Maximale Flussfunktion f. Theorem (Maximaler Fluss Problem) Das Problem den maximalen Fluss zu bestimmen ist in P.

30 Einleitung (1:28) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Der Minimale Schnitt Definition (Schnitt) Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph mit Kostenfunktion c : E N. Seien s, t V Quelle und Senke. A, B V wird Schnitt genannt, falls s A und t B A B = und A B = V Die Kapazität vom Schnitt A, B ist: c(e) e=(v,w) E,v A,w B Theorem (Min-Cut-Max-Flow) Der Minimale Schnitt ist gleich dem maximalen Fluss.

31 Definition (1:29) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Das Maximal Matching Problem Definition Sei G = (V, E) ein Graph. Die Kanten e, e E sind unabhängig, wenn sie keinen gemeinsamen Knoten haben. Definition (Matching) Sei G = (V, E) ein Graph. M E heißt Matching, falls e, f M, e f : e f =. D.h. M ist Menge von unabhängigen Kanten. Definition Sei G = (V 1, V 2, E) ein bipartiter Graph, und es existiert eine Menge M von V 1 unabhängigen Kanten. Dann heißt M vollständiges Matching von V 1 nach V 2.

32 Matching auf bipatiten Graphen (1:30) <> Walter Unger :26 SS2013 Z i Theorem von Hall Definition Sei G = (V 1, V 2, E) ein bipartiter Graph und A V 1. Wir bezeichnen: Γ(A) = {v V 2 (v, w) E, w A}. Theorem (Hall) Sei G = (V 1, V 2, E) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V 1 nach V 2 genau dann, wenn für jedes A V 1 gilt Γ(A) A. Corollary Jeder reguläre bipartite Graph G = (V 1, V 2, E) mit V 1 = V 2 enthält ein vollständiges Matching.

33 Matching auf bipatiten Graphen (1:31) <> Walter Unger :26 SS2013 Z i Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V 1, V 2, E) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V 1 nach V 2 genau dann, wenn für jedes A V 1 gilt Γ(A) A. = einfach: Sei M Matching mit M = V 1 und sei A V 1 beliebig. Γ(A) = {v V 2 (v, w) E, w A}. Γ(A) {v V 2 (v, w) M, w A}. Γ(A) A.

34 Matching auf bipatiten Graphen (1:32) <> Walter Unger :26 SS2013 Z i Beweis (Hall) Theorem (Hall) Sei G = (V 1, V 2, E) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching von V 1 nach V 2 genau dann, wenn für jedes A V 1 gilt Γ(A) A. = durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit M < V 1. Sei A 1 = {v V 1 b V 2 : {v, b} M}. Sei A 2 = {v V 2 b V 1 : {v, b} M}. Sei a V 1 \ A 1. Γ(a) A 2, da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus A 1 A 2 erreichen mit A i A i und A 1 = A 2. Damit Γ(A 1 {a}) A 2. A 1 {a} > A 2.

35 Anwendungen (1:33) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Anwendungen I Corollary Sei G = (V 1, V 2, E) ein bipartiter Graph und Γ(A) A d für jedes A V 1. Dann hat G mindestens V 1 d unabhängige Kanten. = durch Widerspruch: Sei M größtes Matching mit m = M < V 1 d. Sei A 1 = {v V 1 b V 2 : {v, b} M}. Sei A 2 = {v V 2 b V 1 : {v, b} M}. Sei a 0, a 1,, a d V 1 \ A 1. Γ(a i) A 2, da M größtes Matching. Jeder alternierende Weg von a i kann nur Knoten aus A 1 A 2 erreichen. Damit Γ(A 1 {a i}) A 2. m + d + 1 = A 1 {a i 0 i d} A 2 = m.

36 Anwendungen (1:34) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Anwendungen II Corollary Sei G = (V 1, V 2, E) ein bipartiter Graph mit V 1 = (x 1,..., x m) und V 2 = (y 1,..., y n). Dann enthält G einen Spanngraph H mit deg H (x i) = d i und 0 deg H (y i) 1 genau dann, wenn für jedes A V 1 gilt Γ(A) d i. x i A = einfach: Sei S Spanngraph mit S = V 1. Sei A V 1 beliebig. Γ(A) = {v V 2 (v, w) E, w A}. Γ(A) {v V 2 (v, w) S, w A}. Γ(A) x i A di.

37 Anwendungen (1:35) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Anwendungen III Corollary Sei G = (V 1, V 2, E) ein bipartiter Graph mit V 1 = (x 1,..., x m) und V 2 = (y 1,..., y n). Dann enthält G einen Spanngraph H mit deg H (x i) = d i und 0 deg H (y i) 1 genau dann, wenn für jedes A V 1 gilt Γ(A) d i. x i A = durch Widerspruch: Sei S größter Spanngraph mit S < V 1. Sei A 1 = {v V 1 b V 2 : {v, b} S}. Sei A 2 = {v V 2 b V 1 : {v, b} S}. Sei a V 1 \ A 1. N(a) A 2, da S größter Spanngraph. Damit Γ(A 1 {a}) < x i A 1 {a} di.

38 Anwendungen (1:36) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Anwendungen IV Definition Sei A = (a ij) eine Matrix, i = 1,..., r, j = 1,..., n, mit a ij {1,..., n}. Die Matrix A heißt lateinisches Rechteck, wenn keine zwei Elemente einer Zeile oder einer Spalte gleich sind. Theorem Sei A ein r n lateinisches Rechteck. Dann kann A zu einem n n lateinischen Quadrat erweitert werden. Beweis: Übung.

39 Probleme (1:37) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Matchingprobleme Definition (Maximal Matching Problem) Gegeben: Graph G = (V, E) Bestimme: Matching M mit: e E: M {e} ist kein Matching. Definition (Maximum Matching Problem) Gegeben: Graph G = (V, E) Bestimme: Matching M mit: M : M ist ein Matching = M M.

40 Probleme (1:38) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Das Maximal Matching Problem Theorem (Maximal Matching Problem) Das Maximal Matching Problem ist in P für bipartite Graphen. Algorithmus: Eingabe G = (V, E) bipartiter Graph Setze M = Solange E, mache Wähle e E Setze M = M {e} Setze E := E \ {f E e f }

41 Probleme (1:39) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Alternierende Pfade Sei G = (V, E) ein Graph und M E ein Matching. A B = (A B) \ (A B) Ein Knoten v V heißt frei, falls v e M e. Ein Pfad v 0, {v 0, v 1}, v 1, {v 1, v 2}, v 2, {v 2, v 3}, v 3,..., v l 1, {v l 1, v l }, v l heißt alternierend, falls {v i 1, v i} M {v i, v i+1} M (0 < i < l). v 0 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Ein alterniernder Pfad v 0, {v 0, v 1}, v 1, {v 1, v 2}, v 2, {v 2, v 3}, v 3,..., v l 1, {v l 1, v l }, v l heißt erweiternd, falls v 0, v l frei sind. v 0 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Bemerkung: Eine Kante zwischen freien Knoten ist ein verbessernder Pfad. Damit arbeitet der Algorithmus wie folgt: 1 Setze M =. 2 Solange es erweiternden Pfad P gibt, mache: 1 Erweitere M, d.h. M = M E(P).

42 Probleme (1:40) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g Beispiel allgemeiner Graph Versuch mit verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen: A B = (A B) \ (A B) a 1 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 a 0 b 0 b 3 c 0 c 3 d 0 a 2 b 4 c 4 d 2 Ungerade Kreise können Probleme machen

43 Probleme (1:41) <> Walter Unger :26 SS2013 Z i Satz von Berge Theorem (Berge) Ein Matching M in einem Graphen G ist genau dann kardinalitätsmaximal (maximum), wenn es keinen erweiternden alternierenden Weg gibt. A B = (A B) \ (A B) Beweis: = trivial. = durch Widerspruch. Sei M Matching mit M > M. Weiterhin gebe es keinen erweiternden alternierenden Weg für M. Betrachte Graph H mit Kanten die nur aus M M \ (M M ). Dieser besteht aus Wegen und Kreisen. Damit gibt es einen erweiternden alternierende Weg für M.

44 Probleme (1:42) <> Walter Unger :26 SS2013 Z g The Maximum Matching Problem Theorem (Maximum Matching Problem) The Maximum Matching Problem ist in P. A B = (A B) \ (A B) Algorithmus: Eingabe G = (V, E) [bipartiter] Graph Setze M =. Solange es einen alternierenden Pfad (a 0, a 1, a 2, a l ) in G gibt, mit l ungerade, {a 2 i, a 2 i+1} M und {a 2 i+1, a 2 i} M mache Vertausche Kanten in P: Füge Kanten aus {a 2 i, a 2 i+1} zu M und lösche Kanten der Form {a 2 i+1, a 2 i} von M Falls G = (V, E) kein bipartiter Graph, dann löse ungerade Kreise rekursiv auf.

45 Einleitung (1:43) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Faktoren Definition Sei G ein Graph. Ein k-regulärer Spanngraph H von G heißt k-faktor. Theorem Der Graph K 2t ist die Summe von 2t 1 1-Faktoren. Theorem Der Graph K 2t+1 ist die Summe von t Spannkreisen.

46 a 6 a 7 Einleitung (1:44) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beispiel I a 3 a 2 a 1 a 4 a 10 a 9 a 5 a 8

47 Einleitung (1:45) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis I Theorem Der Graph K 2t ist die Summe von 2t 1 1-Faktoren. Zeichne 2t 1 Knoten a 1, a 2,, a 2t 1, als reguläres (2t 1)-Eck. Zeichne a 2t als Spitze einer Pyramide auf die Knoten a 1, a 2,, a 2t 1. Wähle 1-Faktor: Kante des (2t 1)-Ecks. Alle parallelen Diagonalen in dem (2t 1)-Ecks. Eine verbleibende Kante von einzigen verbleibenden freien Knoten zur Spitze.

48 Einleitung (1:46) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beispiel II a 3 a 2 a 4 a 1 a 11 a 5 a 10 a 6 a 9 a 7 a 8

49 Einleitung (1:47) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis II Theorem Der Graph K 2t+1 ist die Summe von t Spannkreisen. Zeichne 2t Knoten a 1, a 2,, a 2t, als reguläres (2t)-Eck. Zeichne a 2t+1 als Spitze einer Pyramide auf die Knoten a 1, a 2,, a 2t. Wähle 2-Faktor: Verbinde genau gegenüberliegende Knoten wie folgt: Gehe im Zick-Zack über alle Knoten des (2t)-Ecks. D.h.zuerst zum direkten rechten Nachbarn, dann zum direkten linken Nachbarn (d.h. zwei Knoten zurück). usw. Verbinde dann die genau gegenüberliegende Knoten nochmal über a 2t+1 Nun kann man zu jeder Kante genau einen Kreis identifizieren.

50 Aussagen (1:48) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Aussagen Definition Sei G ein Graph. Ein Spanngraph H von G heißt [k, k ]-Faktor, falls für alle Knoten v vom H gilt: k deg(v) k.der k, k -Faktor heißt perfekt, falls jede Zusammenhangskomponente regulär ist. Theorem (Tutte 1953) Ein Graph G = (V, E) enthält einen perfekten [1,2]-Faktor genau dann, wenn für jedes S V gilt: S Γ(S). Beweis (= ) Sei S perfekter [1,2]-Faktor. S 1 = {x S deg S (x) = 1} und S 2 = {x S deg S (x) = 2}. Damit S 1 = Γ H (S 1) und S 2 Γ H (S 2). Da Γ H (S 2) und Γ H (S 1) disjunkt sind, gilt: S = S 1 + S 2 Γ H (S 1) + Γ H (S 2) = Γ H (S) Γ G (S).

51 Aussagen (1:49) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis (Teil 2) Theorem (Tutte 1953) Ein Graph G = (V, E) enthält einen perfekten [1,2]-Faktor genau dann, wenn für jedes S V gilt: S Γ(S). Beweis ( =): Sei V = {x 1, x 2,, x n}, setze: V 1 = {x 1, x 2,, x n} und V 2 = {x 1, x 2,, x n }. Damit G = (V 1, V 2, {(x i, x j ) (x i, x j) E) bipartiter Graph. Setze S = {x i x i S}. Dann gilt: Γ(S ) = {x i x i Γ(S)} Damit gilt weiter: S = S Γ(S) = Γ(S ). Damit enthällt G einen 1-Faktor M (Matching). Setze H = {(x i, x j) (x i, x j ) M}. Damit ist H ein [1,2]-Faktor.

52 Aussagen (1:50) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis (Teil 3) Beweis ( =): Sei V = {x 1, x 2,, x n}, setze: V 1 = {x 1, x 2,, x n} und V 2 = {x 1, x 2,, x n }. Damit G = (V 1, V 2, {(x i, x j ) (x i, x j) E) bipartiter Graph. Setze S = {x i x i S}. Dann gilt: Γ(S ) = {x i x i Γ(S)}. Damit gilt weiter: S = S Γ(S) = Γ(S ). Damit enthällt G einen 1-Faktor M (Matching). Setze H = {(x i, x j) (x i, x j ) M}. Damit ist H ein [1,2]-Faktor. Zeige: deg H (x i) = 1 und {x i, x j} H dann gilt deg H (x j) = 1: Es gibt k, l: (x i, x k ), (x l, x i ) M. Damit gilt k = l und deg H (x j) = 1.

53 Aussagen (1:51) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Aussagen Definition Eine Zusammenhangskomponente von einen G heißt ungerade (bzw. gerade), wenn sie ein ungerade (bzw. gerade) Anzahl von Knoten enthält. Sei q(g) die Anzahl der ungeraden Zusammenhangskomponenten von G. Theorem (Tutte 1947) Ein Graph G = (V, E) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes S V gilt: q(g S) S. Theorem (Petersen 1891) Sei G ein 3-regulärer 2-fach-Kanten zusammenhängender Graph. Dann ist G die Summe von einem 1-Faktor und einem 2-Faktor. Theorem (Petersen 1891) Ein Graph G = (V, E) ist die Summe von k 2-Faktoren genau dann, wenn G 2k-regulär ist.

54 Aussagen (1:52) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis I (Teil 1) Theorem (Tutte 1947) Ein Graph G = (V, E) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes S V gilt: q(g S) S. Beweis (= ) Sei S V und G habe 1-Faktor. Seien U 1, U 2, U p die ungeraden Komponenten von G S. Von jedem U i muss ein Kante des Faktors nach S gehen. Sei {u i, s i} diese Kante. Damit: q(g S) = p = {s 1, s 2,, s p} S.

55 Aussagen (1:53) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis I (Teil 2) Theorem (Tutte 1947) Ein Graph G = (V, E) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes S V gilt: q(g S) S. Beweis ( =) durch Induktion über n = V : Bemerkung: Für alle ungeraden n gilt die Behauptung. Beachte dazu: S =. Induktionsanfang n = 2: Wegen S = gibt es eine Kante. Damit gilt der Induktionsanfang.

56 Aussagen (1:54) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis I (Teil 3) Theorem (Tutte 1947) Ein Graph G = (V, E) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes S V gilt: q(g S) S. Beweis ( =) Induktionsschritt n 4: Wähle S maximal mit q(g S) = S. Wir zeigen, dann G S enthält keine geraden Komponenten. Seien nun U 1, U 2, U p die ungeraden Komponenten von G S. Wir zeigen dann, dass für x i V (U i) der Graph U i {x i} einen 1-Faktor hat. Danach finden wir einen 1-Faktor in G.

57 Aussagen (1:55) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis I (Teil 3a) Theorem (Tutte 1947) Ein Graph G = (V, E) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes S V gilt: q(g S) S. Zeige: G S enthält keine geraden Komponenten: Annahme: Es gibt gerade Komponente V und a V, Dann gilt: S + 1 = 1 + q(g S) q(g (S {a})) S {a} = S + 1 Widerspruch zur Maximalität von S.

58 Aussagen (1:56) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis I (Teil 3b) Zeige: Für x i V (U i) hat der Graph U i {x i} einen 1-Faktor. Annahme: H = U i {x i} hat keinen 1-Faktor. Nach IV existiert nun S V (H) mit q(h S ) > S. Zwischenüberlegung: V (H) ist gerade und q(h S ) S ist auch gerade. Ist S ungerade so auch V (H) S und damit q(h S ). Ist S gerade so auch V (H) S und damit q(h S ). Damit gilt: q(h S ) S + 2. S + S + 1 = S S {x i} q(g (S S {x i})) q(g (S S {x i})) = q(g S) 1 + q(h S ) q(g S) 1 + q(h S ) S 1 + S + 2 = S + S + 1 Widerspruch zur Maximalität von S.

59 Aussagen (1:57) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis I (Teil 3c) Zeige: es gibt 1-Faktor in G. Finde Matching M mit M = p zwischen S und den U 1 U 2... U p. Setze: U = {U 1 U 2... U p}. Setze: B = (U, S, {{U i, s} u i V (U i) : {u i, s} E(G)}). Zeige nun, B hat perfektes Matching. Sei nun X U und Y = Γ B (X), dann gilt: X q(g Y ). Zusammengefasst: X q(g Y ) Y = Γ B (X). Damit hat B ein perfektes Matching. Damit hat G einen 1-Faktor.

60 Aussagen (1:58) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis II Theorem (Petersen 1891) Ein Graph G = (V, E) ist die Summe von k 2-Faktoren genau dann, wenn G 2k-regulär ist. = trivial. = Über Eulergrapheigenschaft und Induktion Falls k = 1, so besteht G aus disjunkten Kreisen. G besitzt o.e.d.a. einen Eulerkreis. Richte die Kanten nach dem Eulerkreis aus (Knotenmenge F ). Sei V = {x 1, x 2,, x n}, setze: V 1 = {x 1, x 2,, x n} und V 2 = {x 1, x 2,, x n }. Damit G = (V 1, V 2, {{x i, x j } (x i, x j ) F ) regulärer bipartiter Graph vom Grad k. Dieser hat k perfekte Matchings. Diese Matchings definieren k 2-Faktoren in G.

61 Aussagen (1:59) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Beweis III Theorem (Petersen 1891) Sei G ein 3-regulärer 2-fach-Kanten zusammenhängender Graph. Dann ist G die Summe von einem 1-Faktor und einem 2-Faktor. Sei A V. Seien U 1, U 2,, U p die ungeraden Komponenten in G A. Zu jeder Komponente in U i gibt es mindestens 2 Kanten in G, die U i und A verbinden. Wegen der 3-Regularität sind es sogar mindestens 3 Kanten. Damit gibt es mindestens 3 q(g A) Kanten von G A nach A. 3 A = d G (A) := x A d G(x) 3 q(g A). q(g A) A. Wende Satz von Tutte an.

62 Definition und Aussagen (1:60) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Posets Definition Sei P eine finite Menge und < eine transitive anti-reflexible Relation. Das Paar (P, <) heißt teilweise geordnete Menge (Poset). Eine Teilmenge A P heißt Antikette, wenn x < y impliziert {x, y} A. Weiterhin, heißt C P Kette, wenn für alle x, y C entweder x y oder x > y gilt. Theorem (Dilworth) Sei P eine Poset und m ist die maximale Kardinalität der Antikette in P. Dann ist P eine Vereinigung von m Ketten. Theorem (Sperner) Die Kardinalität der maximalen Antikette in Q n ist ( n n/2 ).

63 Definition und Aussagen (1:61) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Posets Theorem (Leader 1995) Sei A, B Q n mit A = k i=1 ( n i), B = l i=1 ( n i) und k l < n/2. Dann gilt: Es gibt ( n k) Kanten, die A mit Q n \ A verbinden. Es gibt ( n k) Knoten-disjunkte Wege von A nach B.

64 Definition und Aussagen (1:62) <> Walter Unger :26 SS2013 Z n Literatur 1 Golumbic M.C. Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs 2 Harary F.: Graphentheorie, Oré O.: Graphen und ihre Anwendungen, Bollobás B.: Graph theory - an introductory course, Bollobás B.: Extremal Graph Theory, Wilson R.J.: Einführung in die Graphentheorie, Bondy J.A., Murty U.S.: Graph theory with Applications, Beineke L.W., Wilson R.J., eds. : Selected topics in graph theory, Brandstädt A.: Special graph classes - a survey.

65 Definition und Aussagen (1:63) <> Walter Unger :26 SS2013 Z x Legende n Nicht relevant g Grundlagen, die implizit genutzt werden i Idee des Beweises oder des Vorgehens s Struktur des Beweises oder des Vorgehens w Vollständiges Wissen