Ü b u n g s b l a t t 14

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1 Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr. Walter Oevel Ü b u n g s b l a t t 4 Es sind keinerlei Abgaben und Korrekturen für dieses Blatt mehr vorgesehen. Aufgabe 76: Moivre-Laplace beim Flohsprung Ein Floh startet auf dem Ursprung der Zahlengeraden und springt jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p = 0.6 um zwei Einheiten nach rechts bzw. mit der Wahrscheinlichkeit q = 0.4 um eine Einheit nach links. Sei Y n die Position nach n Sprüngen. a Bestimme Erwartungswert und Streuung von Y n! b Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich der Floh nach Sprüngen im Intervall [7 700, 8 090]? Sei S n die Anzahl der Erfolge = Sprünge nach rechts bei n-facher Wiederholung des Bernoulli- Experiments Flohsprung. Es gilt Y n = 2 S n n S n = 3 S n n. a Die Bin, p-verteilte Variable S n hat Erwartunswert ES n = n p und Streuung σs n = n : Es gilt σα X + β = α σx: Damit folgt unmittelbar b Mit n = gilt: EY n = 3 ES n n = 3 n p n = 0.8 n. Varα X + β = EαX + β 2 EαX + β 2 = α 2 EX α β EX + β 2 α 2 EX 2 2 α β EX β 2 = α 2 EX 2 EX 2 = α 2 VarX. σy n = σ3 S n n = 3 σs n = 3 n.47 n. P 7700 Y n 8090 = P S n n 800 = P S n = P S n Nach Folgerung 4.9 der Vorlesung kann diese Wahrscheinlichkeit für die Bin, p-verteilte Variable S n mittels Moivre-Laplace berechnet werden: P 5 }{{ 900 } S n 6 }{{ 030 } a b = 2 = 2 b 2 π n p n a n p n e x 2 /2 dx b n p a n p Φ + Φ n n Φ Φ = Φ Φ2.042 =

2 Aufgabe 77: Moivre-Laplace in Mario Puzos Fools Die Der Croupier am Tisch eines Casinos in Las Vegars arbeitet mit Spielern in betrügerischer Weise zusammen, indem er das Roulette-Rad so präpariert hat, dass die 7 mit einer Wahrscheinlichkeit von./ erscheint. Normal wäre /: Las Vegas hat beim Roulette eine Doppel-Null. Nach auffälligen Verlusten beginnt das Casino Aufzeichnungen zu führen. Wie lange müssen die Ergebnisse des ersten Tisches aufgezeichnet werden, um mit 90%-iger Sicherheit sagen zu können, dass das Rad manipuliert ist? Das Bernoulli-Experiment die 7 erscheint wird n-mal wiederholt, die W keit p soll durch die relative Häufigkeit X n abgeschätzt werden. Nach vielen Aufzeichnungen wird das Casino eine relative Häufigkeit X./ feststellen. Wie genau sollte man p festlegen, um von Manipulation sprechen zu können beachte, auch bei einem fairen Rad wird nicht exakt p = / gelten? Wäre das Rad fair, so müsste p / < ɛ gelten mit unbekanntem, aber sehr kleinem ɛ 0./. Wir wollen mit 90%-iger Sicherheit sagen können, dass p + ɛ gilt, dann sollte man von Manipulation reden. Ein gemessener Mittelwert x. für X n liege vor. Wir fragen nach P Xn p x n ɛ, was wir gemäß Interpretation 2, 4.3 der Skriptes nach Ersetzen von X n durch den Messwert x n interpretieren als die Sicherheit P x n p x n ɛ = P + ɛ p, mit der die Aussage p + ɛ gilt. Hierfür ist der Sollwert S = 0.9 vorgegeben. Nach den Folgerung 4.0 des Skripts gilt in der Moivre Laplace Näherung: Es folgt S = 0.9 = P Xn p x n ɛ = 2 xn ɛ n 2 π Φ x n n ɛ +. Φ x n n ɛ x n n ɛ = 0.8 = Φ x n ɛ e x2 /2 dx

3 Die Gültigkeit dieser Gleichung kann erst im Laufe der Aufzeichnung überprüft werden, wenn Werte x n für X n vorliegen. Setzen wir für eine Hochrechnung x./ und vernachlässigen wir ɛ 0./, so gilt mit p /, q 37/ bzw. p./, q 36.9/, das macht praktisch keinen Unterschied: ɛ Aufgabe 78: Moivre-Laplace vor der Wahl Wieviele Wähler muss man befragen, um den Stimmenanteil einer Partei mit einer Sicherheit von 95.4% auf eine absolute Genauigkeit von ±% vorhersagen zu können? Beantworte diese Frage einmal über das Gesetz der großen Zahl und dann über die Moivre Laplace Näherung und vergleiche. Macht es einen Unterschied, ob man am Stimmenanteil der CDU oder der Grünen interessiert ist? Gib realistische Werte an! Betrachte das Bernoulli-Experiment X: frage einen Wähler, ob er die Partei XYZ wählen wird, und werte die Antwort ja als Erfolg. Die Erfolgsw keit p = P ja entspricht dem Anteil der Bevölkerung, die diese Partei wählen wird, also p = Stimmenanteil von XYZ. Durch n Befragungen soll p durch die relative Häufigkeit X n = S n /n geschätzt werden S n = Anzahl der Erfolge. Das Gesetz der großen Zahl liefert S = P X n µ < ɛ σ2 ɛ 2 n. Mit dem Erwartungswert µ = EX = p und der Varianz σ 2 = = p p /4 folgt p p S ɛ 2 bei approximativ bekanntem p bzw. 4 S ɛ 2 bei völlig unbekanntem p. Mit S = und ɛ = 0.0 reichen damit Befragungen um den Stimmenanteil aller Parteien mit einer Sicherheit von 95.4% auf ±% festlegen zu können. Mit Approximationen von p bekommt man bessere Werte, z.b.: CDU : p Befragungen reichen, Grüne : p Befragungen reichen. Nach Moive-Laplace gilt also S = P X n n µ < ɛ Φ ɛ, p p ɛ 2 Φ S 2 4 ɛ 2 Φ S 2.

4 Mit S = 0.954, Φ , ɛ = 0.0 folgt p p Damit reichen Befragungen für alle Parteien. Mit Approximationen von p bekommt man bessere Werte, z.b.: CDU : p Befragungen reichen, Grüne : p Befragungen reichen. Aufgabe 79: Moivre-Laplace am Wahlabend Am Wahlabend wurden bereits Stimmen ausgezählt. Wie genau lässt sich das Wahlergebnis voraussagen, wenn man eine 99%-ige Sicherheit der Hochrechnung fordert? Beantworte diese Frage einmal über das Gesetz der großen Zahl und dann über die Moivre Laplace Näherung und vergleiche. Macht es einen Unterschied, ob man am Stimmenanteil der CDU oder der Grünen interessiert ist? Gib realistische Werte an! Betrachte das Bernoulli-Experiment X: wähle einen Stimmzettel, sehe nach, ob die Partei XYZ gewählt wurde, und werte das Ergebnis ja als Erfolg. Die Erfolgsw keit p = P ja entspricht dem Stimmenanteil von XYZ. Betrachte die Auszählung von n Stimmzetteln als n-fache Wiederholung des Bernoulli-Experiments was nur approximativ stimmt, denn die Auswahl eines auszuzählenden Stimmzettels aus der Menge alle Stimmzettel geschieht ja ohne Zurücklegen, d.h., das Experiment ändert sich mit jedem ausgezählten Stimmzettel geringfügig. Bei n ausgezählten Stimmzetteln soll p durch die relative Häufigkeit X n = S n /n geschätzt werden S n = Anzahl der Erfolge. Das Gesetz der großen Zahl liefert S = P X n µ < ɛ σ2 ɛ 2 n. Mit dem Erwartungswert µ = EX = p und der Varianz σ 2 = = p p /4 folgt p p ɛ n S 4 n S. Für n = 0 6 sind damit die Stimmenanteile aller Parteien mit der Sicherheit S = 0.99 auf die Genauigkeit ɛ p p also 0.5% festgelegt. Mit Approximationen von p bekommt man genauere Werte, z.b.: CDU : p 0.35 ɛ %, Grüne : p 0.07 ɛ %. Nach Moive-Laplace gilt also ɛ S = P X n n µ < ɛ Φ ɛ, p p n Φ S 4 n Φ S.

5 Mit S = 0.99, Φ , n = 0 6 folgt ɛ p p Damit sind die Stimmenanteile aller Parteien auf mindestens 0.3% genau bestimmt. Mit Approximationen von p bekommt man genauere Werte, z.b.: CDU : p 0.35 ɛ %, Grüne : p 0.07 ɛ %. Dies ist erstaunlich und wenig intuitiv: hat man von den etwa 50 Millionen Wählern nur Millionen ausgezählt, ist das Wahlergebnis praktisch bekannt.