Jahrgang. Mathematik Neue Wege 9 und 10 Kursiv gedruckte Inhalte sind optional. Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler...

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1 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 1 von 2015/2016 Die nachfolgenden prozessbezogenen Kompetenzen sind nicht an bestimmte Inhalte geknüpft und werden ständig im Mathematikunterricht geschult: - erläutern präzise mathematische Zusammenhänge und Einsichten unter Verwendung der Fachsprache - kombinieren mathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten und nutzen dabei auch formale und symbolische Elemente und Verfahren - geben Begründungen an, überprüfen und bewerten diese - stellen sich inner- und außermathematische Probleme und beschaffen die zu einer Lösung noch fehlenden Informationen - wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese an Mathematisch modellieren - wählen, variieren und verknüpfen Modelle zur Beschreibung von Realsituationen - verwenden Rekursionen zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell - analysieren und bewerten verschiedene Modelle im Hinblick auf die Realsituation Mathematische Darstellungen verwenden - nutzen unterschiedliche Darstellungsformen für reelle Zahlen - stellen rekursive Zusammenhänge dar, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners, interpretieren und nutzen solche Darstellungen - nutzen eine Tabellenkalkulation und ein zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen - nutzen eine handelsübliche Formelsammlung Kommunizieren - teilen ihre Überlegungen anderen verständlich mit, wobei sie vornehmlich die Fachsprache benutzen - präsentieren Problembearbeitungen, auch unter Verwendung geeigneter Medien - verstehen Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten, überprüfen diese auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und gehen darauf ein - beurteilen und bewerten die Arbeit im Team und entwickeln diese weiter

2 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 2 von 2015/2016 Termen, und Grafen - stellen Funktionen durch Terme und dar - modellieren Sachsituationen durch Funktionen - wenden die Eigenschaften von Funktionen auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners zur Lösung von Problemen an und bewerten die Lösungen - führen eine Parametervariation für Funktionen mit y a f (b x c) d an Beispielen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durch und beschreiben und begründen die Auswirkungen auf den Grafen - bestimmen die Funktionsgleichung aus dem Grafen Größen und Messen - berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen mit Hilfe von Ähnlichkeitsbeziehungen und trigonometrischen Beziehungen Raum und Form - erkennen und begründen Ähnlichkeiten - erfassen und begründen Ähnlichkeit geometrischer Objekte und nutzen diese Eigenschaft im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen Zahlen und Operationen - begründen exemplarisch Rechengesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten und wenden diese an - lösen in einfachen Fällen algebraisch mit Hilfe von Umkehroperationen Quadratische Funktionen und (Wiederholung) 1.1 Einführung in quadratische Funktionen 1.2 Entdeckungen an Graphen quadratischer Funktionen 1.3 Quadratische 1.4 Problemlösen mit quadratischen Funktionen und 1.5 Wurzelfunktionen und Wurzelgleichungen Ähnlichkeit 2.1 Zentrische Streckung entdecken und durchführen 2.2 Zentrische Streckungen Verkleinern und Vergrößern 2.3 Bestimmung von unzugänglichen Streckenlängen - Strahlensätze 2.4 Ähnliche Figuren Ähnlichkeitsabbildungen 2.5 Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren 2.6 Fraktale selbstähnliche Muster durch Iterationen Potenzen 3.1 Potenzen mit nicht negativen, ganzen Exponenten 3.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 3.3 Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und

3 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 3 von 2015/2016 (im geringen Umfang) Termen, und Grafen - nutzen Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und die Sinusfunktion als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners - deuten die Parameter von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen in den grafischen Darstellungen und nutzen diese in Anwendungssituationen Größen und Messen - schätzen und berechnen Umfang und Flächeninhalt von Kreisen - bestimmen näherungsweise den Flächeninhalt des Kreises und bewerten die Genauigkeit Raum und Form - zeichnen Schrägbilder von Zylinder, Pyramide und Kegel, entwerfen Körpernetze und stellen Modelle her Größen und Messen - schätzen Umfang und Flächeninhalt von Figuren ab und bewerten die Ergebnisse - schätzen und berechnen Oberflächeninhalt und Volumen von Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel - schätzen Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern mit Hilfe von Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel ab und bewerten die Ergebnisse Daten und Zufall - stellen Datenpaare grafisch dar, führen Regressionen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durch und nutzen die Ergebnisse für Prognosen Kreisberechnungen 4.1 Umfang des Kreises 4.2 Flächeninhalt des Kreises 4.3 Die Zahl hat Geschichte 4.4 Anwendungen Darstellen und Berechnen von Körpern 5.1 Darstellen von Körpern 5.2 Vom Prisma zum Zylinder 5.3 Pyramiden und Kegel 5.4 Die Kugel Stochastik 7.1 Rückschlüsse aus Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und Mathematische Darstellungen verwenden - zeichnen Schrägbilder von Körpern, entwerfen Netze und stellen Modelle her Mathematische Darstellungen verwenden

4 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 4 von 2015/ nutzen die Kenntnisse über zweistufige Zufallsexperimente, um statistische Aussagen mit Hilfe von Baumdiagramm oder Vierfeldertafel zu interpretieren Termen, und Grafen Größen und Messen - berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen mit Hilfe von Ähnlichkeitsbeziehungen und trigonometrischen Beziehungen Termen, und Grafen - nutzen Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und die Sinusfunktion als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners - deuten die Parameter von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen in den grafischen Darstellungen und nutzen diese in Anwendungssituationen - stellen Funktionen durch Terme und dar - modellieren Sachsituationen durch Funktionen - wenden die Eigenschaften von Funktionen auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners zur Lösung von Problemen an und bewerten die Lösungen Kurven in Parameterdarstellung 8.1 Geraden in Parameterform 8.2 Parabeln in Parameterform Trigonometrie 6.1 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck 6.2 Trigonometrie am beliebigen Dreieck 6.3 Trigonometrische Funktionen und ihre Graphen 6.4 Modellieren periodischer Vorgänge - stellen mehrfache Abhängigkeiten mit Vierfeldertafeln dar und analysieren diese - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und

5 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 5 von 2015/ führen eine Parametervariation für Funktionen mit y a f (b x c) d an Beispielen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durch und beschreiben und begründen die Auswirkungen auf den Grafen - bestimmen die Funktionsgleichung aus dem Grafen 10 Termen, und Grafen - nutzen Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und die Sinusfunktion als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners - stellen Funktionen durch Terme und dar - modellieren Sachsituationen durch Funktionen - wenden die Eigenschaften von Funktionen auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners zur Lösung von Problemen an und bewerten die Lösungen - deuten die Parameter von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen in den grafischen Darstellungen und nutzen diese in Anwendungssituationen - führen eine Parametervariation für Funktionen mit y a f (b x c) d an Beispielen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durch und beschreiben und begründen die Auswirkungen auf den Grafen - bestimmen die Funktionsgleichung aus dem Grafen - grenzen lineares, potentielles und exponentielles Wachstum gegeneinander ab Neue Wege Exponential- und Logarithmusfunktionen 2.1 Exponentielles Wachstum und Abnahme - Prozentuales Wachstum und prozentuale Abnahme 2.2 Entdeckungen am Graphen der Exponentialfunktionen 2.3 Anwendungen von Exponentialfunktionen - Modellieren mit der Exponentialfun ktion 2.4 Exponenten gesucht die Logarithmusfunktionen - Logarithmen - Die Logarithmusfunktion Umkehrfunktion der Exponentialfun ktion 2.5 Rechnen mit Logarithmen - Rechenregeln für Logarithmen - Lösen von einfachen Exponentialgleichungen durch Logarithmieren 3. Wachstum und Veränderung 3.1 Wachstumsvorgänge beschreiben und analysieren - Beschreibung von Wachstumsvorgängen 3.2 Wachstumsvorgänge und Iterationen Exponentielles und beschranktes Wachtum - Lineares und Exponentielles Wachstum - Einfach beschränktes Wachstum - Logistisches Wachstum 3.3 Dynamische Systeme - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und

6 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 6 von 2015/ modellieren lineares und exponentielles Wachstum sowie deren Überlagerung rekursiv auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners Von der absoluten Änderung zur lokalen Änderungsrate - stellen Funktionen durch Terme und dar - beschreiben und interpretieren mittlere Änderungsraten und Sekantensteigungen in funktionalen Zusammenhängen, die als oder Term dargestellt sind, berechnen diese auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners und erläutern sie an Beispielen - beschreiben und interpretieren die Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung, berechnen diese auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners und erläutern sie an Beispielen 4. Funktionen und Änderungsraten 3.1 Änderungsraten grafisch erfasst - Änderungsrate und Steilheit des Graphen 3.2 Von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate - Differenz, Differnenzenquotienten - Näherungswert für die Änderungrate an der Stelle a - Grenzwert des Differenzenquotienten der beste Näherungswert für die Änderung der Funktion an der Stelle a - h- Methode 3.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion - Sekantensteigungsfunktion - Ableitungsfunktion - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und Graph und Ableitungsgraph - stellen Funktionen durch Terme und dar - beschreiben und interpretieren die Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung, - entwickeln Grafen und Ableitungsgrafen auseinander, beschreiben und begründen Zusammenhänge und interpretieren diese in Sachzusammenhängen 4.1 Änderungsraten grafisch erfasst (s.o.)

7 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 7 von 2015/ nutzen Tabellen, Grafen, Terme und Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln - bestimmen die Funktionsgleichung aus dem Grafen - bestimmen die Ableitungsfunktion von ganzrationalen Funktionen bis 4. Grades, von x 1/(a x+b) und x sin(a x+b) - wenden die Summen- und Faktorregel zur Berechnung von Ableitungsfunktionen an lösen mit der Ableitung von ganzrationalen Funktionen Sachprobleme, insbesondere Optimierungsprobleme, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners 4.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion 5. Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion 5.1 Ableitungsregeln - Wichtige Funktionen und deren Ableitungen im Überblick - Ableitungsregel für Potenzfunktionen - Faktorregel, Summenregel, konstanter Summand - Funktionen mit linearem Term als Funktionsargument - Gleichung der Tangente in einem Punkt - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und

8 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 8 von 2015/2016 Ganzrationale Funktionen Termen, und Grafen - untersuchen Funktionen und ihre Grafen unter Verwendung der Ableitung, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners - Anmerkung: Wendepunkte werden aus Gründen der Systematik mit behandelt, wenngleich dies nicht ausdrücklich im CC des s 10 gefordert ist. - Die Regeln, die bzgl. Ganzrationaler Funktionen 3. Grades entwickelt werden, sollten auch auf ganzrationale Funktionen höheren Grades ausgeweitet werden, auch, wenn dies nicht durch das CC des s 10 gefordert wird. Sach- und Optimierungsprobleme - stellen Funktionen durch Terme und dar - modellieren Sachsituationen durch Funktionen - wenden die Eigenschaften von Funktionen auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners zur Lösung von Problemen an und bewerten die Lösungen - beschreiben und interpretieren die Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung, berechnen 5.2 Zusammenhänge zwischen Funktion und Ableitung - Nullstelle, globales Maximum, globales Minimum, lokales Minimum (Tiefpunkt), lokales Minimum (Tiefpunkt), Wendepunkt, streng monoton steigend und fallend - Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung (Wendepunkt) - Kriterien für Monotonie, lokale Extrempunkte, Krümmung und Wendepunkte - Sattelpunkte - Satz und Umkehrung - Weitere hinreichende Bedingungen zum Auffinden von lokalen Extrempunkten und Wendepunkten. 5.3 Ganzrationale Funktionen und ihre Graphen - Typisierung von Graphen ganzrationaler Funktionen dritten Grades - Verhalten im Unendlichen - Besondere Symmetrien bei Funktionsgraphen - Linearfaktorzerlegung - Anzahl der Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades - Kurvendiskussion per Hand ohne GTR 5.4 Optimieren - Lösungsstrategien bei Optimierungsaufgaben - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und

9 Klassenstufen: /10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite von 2015/2016 diese auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners und erläutern sie an Beispielen - nutzen Tabellen, Grafen, Terme und