Klausur zur Vorlesung Stochastik II

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1 Institut für Mathematische Stochastik WS 003/004 Universität Karlsruhe Prof. Dr. G. Last Klausur zur Vorlesung Stochastik II Dauer: 90 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer: Diese Klausur hat bestanden, wer mindestens Punkte erreicht. Hilfsmittel sind nicht zugelassen! Aufgabe (5 (4 3 (5 4 (5 5 (5 6 (6 (30 Punkte Korrektor Gesamtpunktzahl Note

2 Aufgabe (5 Punkte Es sei (Ω, A, µ ein Maßraum und f : Ω [0, eine messbare Abbildung. Es sei dabei µ ein endliches Maß, d.h. µ(ω <. Ferner sei Zeigen Sie: α(t := µ({f > t}, t 0. a Die Abbildung α : [0, [0, ] ist monoton fallend und stetig von rechts. b Für t > 0 gilt lim α(t h = α(t + µ({f = t}. h 0+ c Es gelte f dµ <. Dann gilt lim t α(t = 0. t Lösung zu Aufgabe a Es sei t > s. Dann gilt {f > t} {f > s} und damit Ferner folgt für t 0 und h > 0 α(t = µ({f > t} µ({f > s} = α(s. α(t α(t + h = µ({t + h f > t} µ( = 0 (h 0, da {t + h f > t} und µ stetig von oben ist. b Seien t, h > 0. Dann gilt α(t h α(t = µ({t f > t h} µ({f = t} (h 0, da {t f > t h} {f = t} und µ stetig von oben ist. c Es gilt f f {f>t} 0. Wegen f dµ < folgt aus dem Satz über die dominierte Konvergenz tα(t = t {f>t} dµ f {f>t} dµ 0 (t.

3 Aufgabe (4 Punkte Es seien X k, k N, unabhängige Zufallsvariablen mit P(X k = k = P(X k = k =. Sei Zeigen Sie s n ( s n := V (X k X k d N(0,. (n. Lösung zu Aufgabe Es gelten IEX k = 0, V (Z k = k für k N und somit s n = k = n(n + für n N. Sei ε > 0 und n > ε. Dann folgt für k n und hieraus IE X k { Xk >εs n} = k n ε n ε s n IE X k {k>ε s = 0. n} Damit ist insbesondere lim n s n IE X k IEX k { Xk IEX k >εs n} = 0. Die Lindeberg-Bedingung ist somit erfüllt und die Behauptung folgt aus dem Zentralen Grenzwertsatz.

4 Aufgabe 3 (5 Punkte Es seien X n, n N, normalverteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert 0 und Varianz σ n sowie X eine reelle Zufallsvariable mit charakteristischer Funktion φ X mit φ X ( 0. Ferner gelte X n d X (n. a Bestimmen Sie die charakteristischen Funktionen φ n von X n für n N. b Zeigen Sie, dass für ein σ [0, σn σ (n gilt. c Bestimmen Sie die Verteilung von X. Benutzen Sie ohne Beweis: Die charakteristische Funktion φ einer standard normalverteilten Zufallsvariablen ist φ(t = e t, t R. Lösung zu Aufgabe 3 a Sei Y eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Dann gilt für t R φ n (t = φ σny (t = φ Y (σ n t = exp ( σ nt. b Wegen X n d X gilt Es folgt und somit exp ( σ n = φ n ( φ X ( (n. φ X ( (0, ], σ n = log φ n ( log φ X ( =: σ [0, (n. c Nach dem Stetig- bzw. Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen folgt aus φ n (t = exp ( σ nt exp ( σ t = φ Y (σt = φ σy (t, dass X normalverteilt ist mit Mittelwert 0 und Varianz σ.

5 Aufgabe 4 (5 Punkte Es sei (X, R ein zweidimensionaler Zufallsvektor mit Dichte { r f(x, r = π falls x < r, 0 r <, r x 0 sonst. a Berechnen Sie die Randdichten von X und R. b Berechnen Sie die Kovarianz von X und R. Benutzen Sie ohne Beweis: dy y = π. Lösung zu Aufgabe 4 a Wegen r r folgt für die Dichte f von R r π r x dx = Mit der Substitution y = r x folgt x r π dy = r y f (r = r {0<r<} r R. r π r x dr = und hieraus für die Dichte f von X b Zunächst ist x 0 dy π y = x π f (x = π x {0< x <}, x R. IEX = x x dx = 0, π da der Integrand punktsymmetrisch ist. Ferner ist IEXY = r 0 r r x π dxdr = 0, r x da der innere Integrand punktsymmetrisch in x ist. Es folgt C(X, Y = IEXY IEXIEY = 0.

6 Aufgabe 5 (5 Punkte Es sei X eine mit Parameter λ = exponentialverteilte Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P, d.h. P(X t = ( e t {t>0}, t R. Ferner sei Y := X {X 0}. a Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F von Y. b Zerlegen Sie F in F = a F + a F mit einer diskreten Verteilungsfunktion F, einer stetigen Verteilungsfunktion F und geeigneten a, a 0 mit a + a =. c Es seien Y k F, k N, unabhängige Zufallsvariablen auf (Ω, A, P. Zeigen Sie die Existenz eines c R mit n Y k f.s. c (n. Lösung zu Aufgabe 5 a Sei a := P(Y = 0 = P(X > 0 = e 0. Es gilt dann für 0 t < 0 P(Y t = P(X t + P(X > 0 = e t + a. Damit folgt 0 falls t < 0 F (t = e t + a falls 0 t < 0 falls 0 t. b Setze a := a und a := a = e 0 sowie für t R F (t := {t 0} und F (t := 0 falls t < 0 e t a falls 0 t < 0 falls 0 t. c Mit c := IEY = IE Y 0 < folgt die Behauptung aus dem starken Gesetz der großen Zahlen.

7 Aufgabe 6 (6 Punkte Gegeben sei eine Folge X, X,... unabhängiger reellwertiger Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen F, F,.... Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind: (i (ii Es gibt ein c R mit sup X n < P-f.s. n ( F n (c <. n= Lösung zu Aufgabe 6 Es gelte ii für ein c R. Dann folgt wegen nach dem Lemma von Borel-Cantelli P(X n > c = F n (c, n N, P(X n > c unendlich oft = 0. Für P-fast alle ω Ω existiert somit ein m = m(ω mit insbesondere mit Hieraus folgt i. X n (ω c für alle n m, X n (ω max{c, X k (ω : k m} < für alle n. Es gelte ii für kein c R, d.h. für alle c R gilt P(X n > c =. n= Wegen der Unabhängigkeit der X n, n N, folgt aus dem Lemma von Borel-Cantelli P(X n > c unendlich oft =, für alle c R, insbesondere Hieraus folgt ( P sup X n > c n =. ( P sup X n = n =.