2. Mannigfaltigkeiten

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Petra Gerber
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1 2. Mannigfaltigkeiten 2.1 Äquivalenzprinzip Newton: und Weak Equivalence Principle (WEP): andere Form des WEP: Beschleunigung = Gravitation Die Bewegung eines frei-fallenden Körpers sind identisch in einem Gravitationsfeld und in einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem lokal, kleine Körper, kleine Testmassen (Selbstwechselwirkung) Einstein Equivalence Principle (EEP): Man kann die Existenz eines Gravitationsfeldes nicht durch lokale Experimente feststellen (Experimente umfassen Gravitation nicht). EEP WEP, EEP Feinstrukturkonstante und Massenverhältnis Protonen/Elektronen ist konstant

2 Strong Equivalence Principle (SEP): Wie EEP + Experimente umfassen Gravitation Gravitationskonstante ist konstant Info: EEP: Gravitation ist unausweichlich, keine gravitativ-neutralen Körper, daher definiere: nicht-beschleunigt = frei fallend Saturday Morning gekrümmte Raumzeit Mannigfaltigkeiten 2.2 Was ist eine Mannigfaltigkeit n-dim Mannigfaltigkeit sieht lokal aus wie Beispiele:, klar n- Sphäre, fester Radius in

3 n-torus: Riemannsche Fläche vom Geschlecht g Jede kompakte orientierbare randlose 2-dim. Mannigfaltigkeit ist Riemannsche Fläche

Lie Gruppe: Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur Beispiel: SO(2) identisch zu S 1 direktes Produkt zweier Mannigfaltigkeiten M und M Mannigfaltigkeiten der

4 Lie Gruppe: Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur Beispiel: SO(2) identisch zu S 1 direktes Produkt zweier Mannigfaltigkeiten M und M Mannigfaltigkeiten der Dimensionen n und n neue Mannigfaltigkeit M x M bestehend aus geordnetem Paar (p,p ) mit p M und p M Was ist keine Mannigfaltigkeit? Ein Punkt, der nicht lokal wie 2 R aussieht.

5 nicht glatt genug Mannigfaltigkeit mit Rand Abbildungen: zwei Mengen M,N, Abbildung genau ein Element aus N zuordnet. Verknüpfung: mit Φ :M N, die jedem Element aus M

6 injektiv: surjektiv: jedes Element aus N hat höchstens ein Urbild jedes Element aus N hat mindestens ein Urbild Menge M: Gebiet von Φ, Gebiet: Φ(N), Urbild: Φ -1 (N) Wenn Abbildung injektiv und surjektiv ist, dann existiert inverser Abb. Stetigkeit bekannt für Abb. φ : R Komponentenfunktionen stetig Funktion heißt C p, wenn p-te Ableitung existiert und stetig ist. C Abb.: unendlich oft differenzierbar, glatt m R n φ ( x) = x 3 Beispiel:, unendlich of diff.bar bis auf x=0, dort nur zweimal, also C 2

7 offene Kugel: Menge aller Punkte offene Menge: Vereinigung offener Kugeln, n V R y V n n x R, x y < rfürfestes y R, r R also: ist offen, wenn für jedes eine offene Kugel um y existiert, die vollständig in V liegt. Eine Karte (oder Koordinatensystem) besteht aus einer Untermenge n n und einer injektiven Abb. φ : U R, so dass φ( U ) offen in R ist. Damit ist U offen in M. U M

8 Ein C Atlas ist eine Vereinigung von Karten, φ, die folgende 2 Bed. erfüllen: 1. Die Vereinigung α U α = M {( U α α )} 2. Übergangsabb. sind C 1 : Sei Uα Uβ 0. Dann bildet die Abb. φα φ β Punkte in n n φβ( Uα Uβ) R auf eine offene Menge φα( Uα Uβ) R ab, und zwar C für alle α, β. Eine C n-dim. Mannigfaltigkeit ist eine Menge M mit einem maximalen Atlas, der alle kompatiblen Karten enthält. Analog wird eine C p Mannigfaltigkeit definiert.

9 Beispiele: 1. Kreis S 1 benötige zwei Karten 2. S 2 : stereographische Projektion vom Nordpol vom Südpol Übergangsabb. für -1 < x 3 < +1

10 Übergangsabb. sind unsere alten Koordinatentransformationen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Abb. M,N wird durch die Karten bestimmt: 1 m ψ β f φ α : R R n f : M N zwischen Mannigfaltigkeiten 2.3 Schon wieder Vektoren! Definition über Kurven war richtig, jetzt nur koordinatenunabhängig Also, sei F der Raum aller glatten Funktionen auf M. Jede Kurve durch den Punkt p definiert nun einen Operator, die Richtungsabbleitung f df / dλ an p. Tangentialraum T p :Raum aller Richtungsableitungsoperatoren Dies ist ein Vektorraum, denn betrachte 2 Operatoren d / dλ, d / dη für 2 Kurven durch p. neuer Operator ad ( / dλ) + bd ( / dη) Dies ist auch ein Ableitungsoperator, denn er erfüllt die Produktregel: Vektorraum

11 Ist das der gesuchte Vektorraum? Suche Basis: betrachte Karte mit Koordinaten. n Richtungsableitungen an der Stelle p. µ Dies ist eine Basis, denn betrachte beliebige Kurve Karte und Funktion Kettenregel: γ : R M φ : M R f : M R n x µ f beliebig

{ µ } Also bilden Basis, genannt Koordinatenbasis für T p. In der Regel weder normiert, noch orthogonal, aber bequem. Transformationsverhalten folgt direkt.

12 { µ } Also bilden Basis, genannt Koordinatenbasis für T p. In der Regel weder normiert, noch orthogonal, aber bequem. Transformationsverhalten folgt direkt. Basisvektoren für neues Koordinatensystem folgt aus der Kettenregel: Vektor invariant: (allgemeiner als Lorentz-Trafos) Kartenwechsel Koordinatenwechsel Basiswechsel

13 Vektor an einem Punkt = Richtungsableitung entlang einer Kurve durch den Punkt Vektorfeld definiert Abb. von glatten Funktionen nach glatten Funktionen auf M Seien nun zwei Vektorfelder X und Y gegeben, dann definiere Kommutator [X,Y] durch Wirkung auf Funktion f: Damit ist Kommutator [X,Y] selbst wieder ein Vektorfeld! denn er ist linear und erfüllt Produktregel in Komponenten: Vorsicht: partielle Ableitungen von Vektoren sind keine Tensoren (nächstes Kapitel), hier aber nur antisymmetrisch und alles ist gut.

14 2.4 Schon wieder Tensoren! Kotangentialraum = Menge aller linearen Abb. Typische dual-form = Gradient einer Funktion f = df dual-form Vektor Basis: bel. dual-form Koordinatenwechsel und für die Koordinaten

15 nun (k,l) Tensoren: Kartenwechsel = Koordinatentrafo partielle Ableitung einer Funktion ist Tensor, aber partielle Ableitung eines Tensors höheren Ranges ist kein Tensor. Beispiel: dual-form Ableitung der Transformationsmatrix verschwindet nicht, anders als für Lorentz-Trafos

16 Deshalb muß man etwas neues erfinden: 1. äußere Ableitung 2. kovariante Ableitung 3. Lie-Ableitung 2.5 Die Metrik Minkowski: gekrümmte Raumzeit η µν Determinante g = det( g µν ) 0 g µν inverse Metrik g µν Linienelement zwei-form dualer Basis Vektor

17 Euklidischer Raum und kartesische Koordinaten: Euklidischer Raum und Polarkoordinaten: also: flacher Raum, aber nichtkonstante Metrik Metrik enthält Info über Krümmung, aber wie? 2-Sphäre: r = 1 dr = 0 Jetzt ist der Raum gekrümmt!!! Lokal kann man Metrik immer in die Form g ^ ^( p) = diag( 1,1,1,1) mit ^g ^ ^( p) = 0 µη µ µη

18 Motivation: Taylor-Entwicklung mit symbolische Notation:

19 0.te Ordnung: 10 Zahlen 4x4 = 16 Zahlen, damit Trafo auf g ^ ^( p) = diag( 1,1,1,1) µη 1.te Ordnung: 4 Ableitungen mal 10 Komponenten = 40 Zahlen 10 unabhängige Möglichkeiten für und und 4 Möglichkeiten für = 40 Zahlen, also kann zum Verschwinden gebracht werden 2.te Ordnung: symmetrisch 10x10=100 Zahlen symmetrisch in den drei unteren Indizes: 20 Möglichkeiten mal 4 Indizes = 80 Zahlen zu wenige!!!

20 Lokale inertiale Koordinaten sind sehr hilfreich. Betrachte folgendes Beispiel: Beobachter mit vierer-geschwindigkeit vorbeifliegende Rakete mit Was misst der Beobtachter als normale dreier-geschwindigkeit der Rakete? In der SRT ist das klar: benutze inertiale Koordinaten (global, nicht nur lokal), so dass der Beobachter im Ruhesystem ist und Rakete in x-richtung fliegt. Dann ist die vierer-geschwindigkeit des Beobachters und die vierer-geschwindigkeit der Rakete mit v = dreier-geschwindigkeit, In der flachen Raumzeit haben wir und damit (in der flachen Raumzeit)

21 Jetzt zurück in die gekrümmte Raumzeit, Metrik nicht mehr Minkowski. Aber am Punkt der Messung kann man lokales inertiales Koordinatensystem wählen mit =, so dass immer noch richtig ist. Aber das ist eine Tensor-Gleichung, die invariant unter der Wahl des Koordinatensystems ist. Fertig!

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. Name motiviert durch (hängt von Einbettung in höher dimensionalen Raum ab) folgendes Bild: 1.4 Vektoren Jeder Vektor (Vierer-Vektor) lebt an einem bestimmten Punkt der Raumzeit. Dieser lässt sich bei Krümmung nicht einfach verschieben. Betrachte deshalb Menge alle Vektoren an einem Punkt p =