a) Stellen Sie das Diagramm Geschwindigkeits Zeit Diagramm für eine geeignete Kombination von Massen und dar.

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1 Atwood sche Fallmaschine Die kann zum Bestimmen der Erdbeschleunigung und zum Darstellen der Zusammenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung verwendet werden. 1) Aufgaben a) Stellen Sie das Diagramm Geschwindigkeits Zeit Diagramm für eine geeignete Kombination von Massen und dar. b) Berechnen Sie aus v(t) den zurückgelegten Weg und stellen diesen in einem Diagramm s=s(t) dar. c) Stellen Sie den Weg als Funktion der Zeit im Quardrat als Diagramm dar. Welche physikalische Erkenntnis kann aus dem Diagramm gewonnen werden? d) Bestimmen Sie möglichst genau die Erdbeschleunigung aus den Messungen der Beschleunigung der Massen für vier verschiedene Massenverhältnisse. e) Berechnen der Seilkraft während der Bewegung (für alle gemessenen Massenkombinationen) f) Durch welche systematischen Messfehler wird die Messung der Erdbeschleunigung beeinflusst? 2) Theorie a) Kinematische Zusammenhänge: Aus der Kinematik ist bekannt, dass bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung der Weg s durch folgende Beziehung gegeben ist. 1 2 Dabei ist a Beschleunigung in [m/s 2 ], s der Weg in [m] und t die Zeit in [s]. Die Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung Δ pro Zeiteinheit Δ. Δ Δ CH 9471 Buchs 1/10

2 Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit für verschiedene Bewegungszeiten gemessen wird, kann die Abhängigkeit einfach gezeigt werden. ~ b) Zusammenhang der Erdbeschleunigung und der Massen an der Atwood schen Fallmaschine An einem Seil, das über eine reibungsfreie Rolle mit vernachlässigbarer Masse geführt wird, hängen die ungleichen Massen und mit (Abb. 1). Mit welcher Beschleunigung bewegen sich die Massen, wenn sie losgelassen werden und wie gross sind die Seilkräfte und? Man geht nach folgendem Rezept vor: 1. die Körper m 1 und m 2 separat freimachen d.h. die Umgebung der Körper durch die auf die Körper ausgeübten Kräfte (= äusseren Kräfte) ersetzen 2. ein geeignetes Koordinatensystem einführen 3. die resultierenden Kräfte auf und bestimmen 4. das Aktionsprinzip formulieren 5. die Kopplung der beiden Massen über das Seil berücksichtigen Abbildung 1: Auf die Masse m 1 wirkt die Seilkraft und entgegengesetzt dazu das Gewicht. Die Summe der beiden Kräfte bewirkt die Beschleunigung von nach oben: Wir wählen als Koordinatenachse das Seil, mit der in Abbildung 1 eingezeichneten Richtung und bezeichnen die Beträge der Vektoren mit S 1, G 1 und a 1. Damit erhalten wir in Komponentenschreibweise: Auf die Masse wirkt die Summe der Kräfte bzw. in Komponentenschreibweise: Das Seil, das die Körper miteinander verbindet, hält den Abstand der Massen konstant. Die Massen und bewegen sich daher in jedem Moment mit gleicher Geschwindigkeit und mit gleicher Beschleunigung: CH 9471 Buchs 2/10

3 Ferner gilt nach dem Reaktionsprinzip:. Somit lautet das Aktionsprinzip für die beiden Massen: (1) (2) Dies sind 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten und. Ein solches Gleichungssystem kann standardmässig mit den Hilfsmitteln der Mathematik gelöst werden. Ein eleganter Weg besteht z.b. darin, die beiden Gleichungen zu addieren (3): (3) Damit ist die erste Unbekannte bestimmt. Einsetzen des Ergebnisses für a in die Gleichung (1) ergibt dann den Ausdruck für die gesuchte zweite Unbekannte : 2 Zum Schluss noch eine Plausibilitätsprüfung der gewonnenen Ergebnisse: 1. Fall: 0 und (ok.) 2. Fall: 0 0 und 0 (ok.) Das Resultat (3): lässt sich auch als schreiben und kann damit folgendermassen interpretiert werden: Die totale Masse wird durch die Gewichtsdifferenz beschleunigt. CH 9471 Buchs 3/10

4 3) Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau besteht aus zwei konfigurierbaren Gewichten an einer Schnur, welche über zwei leichte Rollen geführt werden. Die Massenverhältnisse der beiden Massen kann einfach variiert werden, indem an der einen oder anderen Seite Einheitsmassen hinzugefügt oder entfernt werden. An einer dieser Rollen ist eine Lichtschranke angebracht, mit welcher die Geschwindigkeit der Schnur gemessen werden kann. Die Lichtschranke wird über einen Mess PC ausgelesen. Abbildung 2: Prinzip der Atwood schen Maschine Abbildung 3: Aufbau der Atwood schen Maschine mit Mess PC. CH 9471 Buchs 4/10

5 PASCO stellt ein Messprogramm zur Verfügung, in welchem die Daten einfach erfasst und dargestellt werden können. Das Messprogramm atwood.db stellt direkt die Geschwindigkeit der verschiedenen Experimente als Funktion der Zeit dar. Mit einem Cursor Tool kann die Steigung dieser Geschwindigkeitskurven und damit die Beschleunigung der beiden Massen und direkt ermittelt werden. Abbildung 4: Darstellung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit für zwei Experimente mit unterschiedlichen Massenverhältnissen m 1 :m 2. CH 9471 Buchs 5/10

6 4) Messungen und Messresultate Messungen: a) Messen Sie für 4 verschiedene Massekombinationen zu die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit mit dem PASCO Messprogramm atwood.db. b) Wählen Sie für die steilste Kurve acht verschiedene Zeitpunkte t 1,t 2,.t 8 und lesen Sie die entsprechende Geschwindigkeit v(t) ab. Tragen Sie diese Wertepaare, mit 1..8 in ein Excel Sheet ein und stellen Sie die die Werte als Liniengrafik dar. Wählen Sie einen geeigneten Massstab und geben Sie die Einheiten an. c) Bestimmen Sie für die restlichen Massekombinationen die Geschwindigkeit mit Hilfe des Cursor Tools im PASCO Messprogramm und tragen Sie die Resultate in eine weitere Tabelle in Excel ein d) Bestimmen Sie die Beschleunigung durch Differenzbildung: Die Beschleunigung ist die zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit. Δ Δ Oder allgemein für den Index der acht Messungen ( 1 8 : Δ Δ e) Bestimmen Sie die Beschleunigung für die verschiedenen Massekombinationen als Geradensteigung durch lineare Regression. D.h. mittels eines Kurvenfits mit einem Polynom erster Ordnung in Excel und tragen sie die Steigungen in Tabelle 2 ein. 4 a) v t Diagramm Zeit (s) v (m/s) t=t k+1 t k v =v k+1 v k a= v/ t t 1 1v 1 t 2 2v 2 t 3 3v 3 t 4 4v 4 t 5 5v 5 t 6 6v 6 t 7 7v 7 t 8 8v 8 Mittelwert: Tabelle 1: Geschwindigkeit v als Funktion der Zeit t für ein Masseverhältnis (steilste Kurve) CH 9471 Buchs 6/10

7 Masse m 1 Masse m 2 Zeit Geschw. Beschleunigung in g in g t v a v/ t Tabelle 2: Berechnung der Beschleunigung für die vier Masseverhältnisse 4 b) s t Diagramm Aus den Messdaten der steilsten Kurve lässt sich nun der zurückgelegte Weg berechnen: 1 2 Erstellen Sie in Excel ein Diagramm für die acht Zeitpunkte den zurückgelegten Weg ein. Verwenden Sie für die Beschleunigung entweder den Mittelwert der Beschleunigungen oder den Wert der Geradensteigung aus dem Kurvenfit. Excel Hints: Der Mittelwert der Beschleunigung lässt sich in Excel durch die Funktion «=Mittelwert(Startzelle:Endzelle)» berechnen. Der Weg kann ebenfalls mit einer Formel in Excel berechnet werden. Der Befehl, der in Zelle G18 eingetragen werden muss, lautet beispielsweise so: «=0.5*$G$13*C18^2». Dabei befindet sich der Mittelwert der Beschleunigung in Zelle G13 und die Zeit in Zelle C18. Durch Herunterziehen der Zelle G18 mit der Maus bis Zelle G25 kann diese Formel auf die übrigen Zellen übertragen werden. 4 c) s t 2 Diagramm Tabelle 3: Weg s(t) als Funktion der Zeit t. CH 9471 Buchs 7/10

8 Wird der Weg s(t) nicht gegen die Zeit t, sondern gegen die Zeit im Quadrat t 2 aufgetragen, so ergibt sich eine Gerade. Dies besagt, dass der Weg proportional zur Zeit im Quadrat ist, oder in Formeln ausgedrückt: ~ t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 Zeit Zeit 2 Geschw. Weg s [s] [s 2 ] [m/s] [m] Weg (s) Zeit 2 (t 2 ) Tabelle 4: Weg s als Funktion der Zeit im Quadrat CH 9471 Buchs 8/10

9 4 d) Berechnen der Beschleunigungen für alle 4 gemessenen Massekombinationen Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeitintervall: Δ Δ Die Beschleunigungen für die verschiedenen Massenverhältnisse werden in der folgenden Tabelle eingetragen. Aus der Theorie (Gleichung 3) kann die Beschleunigung berechnet werden. Wird die Beschleunigung a gegen das Masseverhältnis (Differenz der Massen durch die Summe der Massen) dargestellt, so ergibt sich eine Gerade, deren Steigung gerade der Erdbeschleunigung g entspricht. Die Beschleunigungen haben Sie bereits in Tabelle 2 berechnet. Bestimmen Sie die Erdbeschleunigung g graphisch aus den vier Messpunkten, indem Sie eine möglichst passende Gerade durch diese vier Punkte legen. Wenn Sie wollen, können Sie die Messpunkte auch in ein xls Sheet eintragen, und eine Regressionsgerade bestimmen. Zeit Geschw. Beschl. Masse 1 Masse 2 Masseverhältnis t [s] v [m/s] a= v/ t [m/s 2 ] kg kg (m 2 m 1 )/(m 1 +m 2 ) Beschleunigung a [m/s 2 ] Massenverhältnis 4 e) Berechnung der Seilkräfte Tabelle 5: Beschleunigung a versus Masseverhältnis. CH 9471 Buchs 9/10

10 Berechnen Sie die Seilkräfte für die vier gewählten Masseverhältnisse. Die Seilkräfte können nach folgender Beziehung berechnet werden. Messung Nr. Masse 1 Masse 2 Erdbeschleunigung Seilkraft S kg kg m/s 2 N CH 9471 Buchs 10/10