Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

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1 Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur, Junktoren: t, f,,,,, Prinzip der strukturellen Induktion über Baumstruktur von Formeln, arithmetischen Ausdrücken usw. induktive Definition von (unendlichen) Mengen induktive Definition von Funktionen auf induktiv definierten Mengen induktiver Nachweis von Eigenschaften aller Elemente induktiv definierten Mengen (Spezialfall: vollständige Induktion über N) Semantik (Bedeutung der Syntaxelemente) eines Junktors: Wahrheitswertfunktion einer Aussagenvariablen: Wahrheitswert einer Formel aus AL(P): Funktion W : AL(P) {0, 1} Boolesche Funktion Modelle (erfüllende Belegungen) aussagenlogischer Formeln Modellmengen aussagenlogischer Formeln Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit von Formeln Äquivalenz von Formeln

2 Wichtige Äquivalenzen (Wiederholung) Für alle aussagenlogischen Formeln ϕ, ψ, η gilt: ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ ϕ, ϕ f ϕ, ϕ t ϕ ϕ ψ ψ ϕ, ϕ ψ ψ ϕ (Kommutativität von und ) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) η ϕ (ψ η) (ϕ ψ) η (Assoziativität von und ) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) (ϕ η) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) (ϕ η) (Distributivgesetze) ϕ ϕ (Doppelnegation) (ϕ ψ) ϕ ψ, (ϕ ψ) ϕ ψ (DeMorgansche Regeln) ϕ ψ ( ϕ ψ), (Dualität von und ) ϕ ψ ( ϕ ψ) ϕ ψ ψ ϕ (Kontraposition) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) ψ (Fallunterscheidung) ϕ ψ ϕ ψ, ϕ ψ (ϕ ψ) (ψ ϕ)

3 Junktorbasen (vollständige Operatorensysteme) Eine Menge J von Junktoren heißt genau dann Junktorbasis (vollständiges Operatorensystem), wenn zu jeder aussagenlogische Formel ϕ eine äquivalente aussagenlogische Formel ψ (d.h. ϕ ψ) existiert, wobei ψ nur Junktoren aus der Menge J enthält. Beispiele: Die Mengen {,, } {, } {, } {, } {f, } sind Junktorbasen. (ÜA) (ÜA) Die Mengen {, } und {,, } sind keine Junktorbasen. 45

4 Normalformen spezielle Formeln: Literal Atom oder negiertes Atom NNF Formeln, in denen das Negationssymbol höchstens auf Atome angewendet wird, heißen in Negations-Normalform. Beispiel: p (( q p) q), p, p CNF Formeln der Form ( mi n i=1 j=1 l i,j mit Literalen l i,j heißen in konjunktiver Normalform. Beispiel: ( p q) (p q) q, p q, p q, p DNF Formeln der Form ( mi n i=1 j=1 l i,j mit Literalen l i,j heißen in disjunktiver Normalform. Beispiel: p ( q p) (p q), p q, p q, p ) ) 46

5 Satz über Normalformen Satz Zu jeder Formel ϕ AL(P) existieren eine äquivalente Formel ϕ 1 AL(P) in NNF, eine äquivalente Formel ϕ 2 AL(P) in CNF und eine äquivalente Formel ϕ 3 AL(P) in DNF. Beweis (konstruktiv) durch Angabe einer Transformationsvorschrift beliebiger Formeln in Normalformen: 1. Formeln mit Junktoren,, t, f schrittweise durch Formeln mit ausschließlich,, ersetzen 2. Konstruktion einer NNF durch (mehrmalige) Anwendung der demorganschen Regeln 3. Konstruktion der CNF und DNF durch (mehrmalige) Anwendung der Distributivgesetze auf die NNF Beispiele (Tafel): p q, (a b) c 47

6 Formelmengen Formelmenge Φ AL(P) (Menge von Bedingungen) Beispiele: {p, p q} AL(P) {p, p q, q} AL(P) {p q} AL(P) AL(P) 48

7 Semantik von Formelmengen Eine Belegung W : P {0, 1} erfüllt eine Menge Φ AL(P) von Formeln genau dann, wenn W jede Formel ϕ Φ erfüllt. Bestimmung der Modelle (erfüllenden Belegungen) z.b. durch Wahrheitswerttabellen Beispiele: einziges Modell für {p, p q}: W 11 {p, p q, q} hat kein Modell, Modelle für {p q}: W 00, W 01, W 11 Jede Belegung ist ein Modell für die Formelmenge. 49

8 Modellmengen von Formelmengen Menge aller Modelle einer Menge Φ AL(P) von Formeln: Mod(Φ) = ψ Φ Mod(ψ) (Eine Interpretation W : P {0, 1} ist genau dann ein Modell für die Formelmenge Φ AL(P), wenn W Modell für jede Formel ψ Φ ist.) Beispiele: Mod({p, p q}) = Mod({p}) Mod({p q}) = {W 10, W 11 } {W 00, W 01, W 11 } = {W 11 }, Mod({p, p q, q}) =, Mod({p q}) = {W 00, W 01, W 11 } Mod( ) = {W : P {0, 1}} (Menge aller Belegungen) Fakt Eine Belegung W : P {0, 1} erfüllt eine endliche Formelmenge Φ = {ϕ 1,..., ϕ n } genau dann, wenn sie die Formel ϕ 1 ϕ n erfüllt. dasselbe kurz: Mod(Φ) = Mod ψ ψ Φ 50

9 Modellierung durch aussagenlogische Formelmengen Aussagen: 1. Es wird nicht mehr viel Eis gekauft, wenn es kalt ist. 2. Der Eisverkäufer ist traurig, wenn nicht viel Eis gekauft wird. 3. Es ist kalt. Darstellung als Formelmenge Φ AL({k, t, v}): Φ = {k v, v t, k} Mod(Φ) ={W 110 } neue zusätzliche Aussage: 4. Der Eisverkäufer ist nicht traurig. Erweiterung der Formelmenge Φ zu Φ = Φ { t} = {k v, v t, k, t} Mod(Φ ) = (Formelmenge Φ unerfüllbar) 51

10 Modellierungsbeispiel Zuordnungen In einem Eisenbahnabteil sitzen die Herren Lehmann und Müller. Einer ist Sachse und einer Thüringer. Jeder der beiden Personen kommt aus genau einem Land, also 1. Jede Person kommt aus wenigstens einem Land. LS LT, MS MT 2. Aus jedem Land kommt wenigstens eine Person. LS MS, LT MT 3. Jede Person kommt aus höchstens einem Land. LS LT, LT LS, MS MT, MT MS oder (äquivalent) LS LT, MS MT 4. Aus jedem Land kommt höchstens eine Person. (ÜA) Zuordnungen kommen (mit viel mehr beteiligten Individuen) in vielen praktischen Anwendungen vor, z.b. Ressourcen-Planung Stundenplan Aufgabenverteilung Job-Scheduling (Betriebssystem) 52

11 DNF-SAT Aufgabe DNF-SAT: gegeben: DNF ϕ = m i=1 Frage: Ist ϕ erfüllbar? ki j=1 l i,j Instanz, z.b. (p q p) (q p q) ( p q) Lösungsidee: ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn (wenigstens) eine der m Konjunktionen k i j=1 l i,j erfüllbar ist. Konjunktion k i j=1 l i,j ist genau dann unerfüllbar, wenn für eine Aussagenvariable x var(ϕ) gilt: {x, x} {l i,j j {1,..., k i }} (Widerspruch). Lösungsverfahren: ϕ = m i=1 ki j=1 l i,j ist genau dann erfüllbar, wenn eine der m Konjunktionen k i j=1 l i,j widerspruchsfrei ist, unerfüllbar, wenn alle m Konjunktionen einen Widerspruch enthalten. DNF-SAT ist einfach (schnell) zu lösen. 53

12 CNF-SAT Aufgabe CNF-SAT: gegeben: CNF ϕ = m ki i=1 j=1 l i,j Frage: Ist ϕ erfüllbar? Instanz z.b. (p q) (q p) ( p q) Lösungsansätze: Test aller möglichen Belegungen, aufwendig für große Anzahl an Aussagenvariablen unpraktikabel Umformung in eine zu ϕ äquivalente DNF ψ Test von ψ auf Erfüllbarkeit für große Anzahl an Aussagenvariablen unpraktikabel Konstruktion einer Formel ψ mit 1. ψ erfüllbar gdw. ϕ erfüllbar und 2. Erfüllbarkeit für ψ einfach zu testen CNF-SAT ist schwierig zu lösen. (zeitaufwendig) 54

13 SAT-Solver SAT-Solver: Werkzeug zum Lösen von CNF-SAT-Instanzen SAT-Solver benutzen heuristische Verfahren, finden für praktische Probleme oft schnell eine Lösung, meist Ausgabe einer erfüllenden Belegung (wenn eine existiert) aktive Forschung auf diesem Gebiet: jährlich Wettbewerbe ( typische Anwendung von SAT-Solvern: 1. Modellierung des ursprünglichen Problems P als CNF-SAT-Instanz P (Darstellung als CNF ϕ) 2. Lösung von P mit SAT-Solver 3. Übersetzung erfüllender Belegung für ϕ in Lösung für P 55

14 Beispiel Bahnfahrer (Übungsaufgabe 1.3) In einem Eisenbahnabteil sitzen die Herren Lehmann, Müller und Richter... LB MT, LT MS, ( MB) RT, RS LT, Φ = LS LT LB, MS MT MB,... LS LT, LS LB,... Darstellung als CNF ϕ = ( LB MT ) ( LT MS) (MB RT ) ( RS LT ) (LS LT LB) (MS MT MB) ( LS LT ) ( LS LB) Was für ein Landsmann ist jeder? gesucht ist also ein Modell (erfüllende Belegung) für ϕ (repräsentiert Zuordnung: {L, M, R} {S, T, B}) 56

15 Lösung mit SAT-Solver Eingabe im DIMACS-Format für CNF (ASCII): erste Zeile enthält Typ (cnf), Anzahl der Aussagenvariablen und Disjunktionen (z.b. p cnf 9 25) Aussagenvariablen {1,..., n} jede Disjunktion (Klausel) eine Zeile, - statt, Literale durch Leerzeichen getrennt, 0 markiert Ende der Klausel Darstellung der Bahnfahrer-Aufgabe als CNF in DIMACS-Format p cnf 9 25 c 1:LS, 2:LT, 3:LB, 4:MS, 5:MT, 6:MB, 7:RS, 8:RT, 9:RB Lösung mit SAT-Solver, z.b. minisat, lingeling SATISFIABLE Ausgabe: erfüllende Belegung {1 1, 6 1, 8 1} (sonst 0) wahr sind also 1 : LS, 6 : MB und 8 : RT 57