Technische Grundlagen der Informatik
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- Felix Beck
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1 Technische Grundlagen der Informatik WS 2008/ Vorlesung Klaus Kasper WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik
2 Inhalt Wiederholung Boolesche Gesetze Boolesche Kürzungsregeln Antivalenz und Äquivalenz Vollständige Systeme Minterme und Maxterme WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 2
3 Unterstützung Forum und Materialien auf dem Moodle- Server der Hochschule (moodle.igdv.h-da.de) Schlüssel: TGI Tutorien mit Silvia Krug: Di, 14:15-15:45, D10/31 (1D) Di, 16:00-17:30, D10/30 (1C) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 3
4 Boolesche Gesetze WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 4
5 Boolesche Gesetze I X 0 = 0 X 1 = X X 0 = X X 1 = 1 X = X X X = X X X = 0 X X = X X X =1 WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 5
6 Boolesche Gesetze II X X = X X X X = X X ( X X ) X = X ( X X ) ( X X ) X = X ( X X ) X ( X X ) = ( X X ) ( X X ) X ( X X ) = ( X X ) ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 6
7 Boolesche Gesetze III ( X X ) = ( X X ) ( X X ) = ( X X ) f( X, X,..., X,, ) = f( X, X,..., X,, ) 1 2 n 1 2 n WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 7
8 Boolesche Kürzungsregeln WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 8
9 Kürzungsregeln 1. X ( X X ) = X X ( X X ) = X X ( X X ) = X X X ( X X ) = X X ( X X ) ( X X ) = X ( X X ) ( X X ) = X WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 9
10 1. Kürzungsregel X1 ( X1 X 2) = ( X1 1) ( X1 X 2) = X (1 X ) 1 2 = X 1 1 = X 1 WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 10
11 2. Kürzungsregel (Übung) X1 ( X1 X 2) = ( X1 0) ( X1 X 2) = X (0 X ) 1 2 = X 1 0 = X 1 WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 11
12 3. Kürzungsregel I X X X X X ( X X ) X X X X X ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 12
13 3. Kürzungsregel II X X X X X ( X X ) X X X X X ( X X ) X X ( X X ) = X 1 2 WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 13
14 4. Kürzungsregel (Übung) I X X X X X ( X X ) X X X X X ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 14
15 4. Kürzungsregel II X X X X X ( X X ) X X X X X ( X X ) X X ( X X ) = X 1 2 WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 15
16 5. Kürzungsregel (Übung) ( X1 X 2) ( X1 X 2) = X1 ( X 2 X 2) = X 1 1 = X 1 WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 16
17 6. Kürzungsregel (Übung) ( X1 X 2) ( X1 X 2) = X1 ( X 2 X 2) = X 1 0 = X 1 WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 17
18 Antivalenz und Äquivalenz WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 18
19 XOR (Antivalenz) X X X X X X ( X X ) ( X X ) X X X X X X ( X X ) ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 19
20 XOR, WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 20
21 XNOR (Äquivalenz) X X X X X X ( X X ) ( X X ) X X X X X X ( X X ) ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 21
22 XNOR, WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 22
23 Shannonsches Gesetz (Übung) f( X, X,..., X,, ) = f( X, X,..., X,, ) 1 2 n 1 2 n Wenden Sie das Shannonsche Gesetz für die Ableitung der algebraischen Darstellung der XNOR-Verknüpfung aus der XOR-Verknüpfung an. (A B) (A B) = (A B) (A B) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 23
24 Digitalsimulator WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 24
25 Übungen Darstellung mit einem Operator: (A B) (A B) = A B = A B Ausklammern: (A B C) (A B C) = (A C) (B B) = (A C) 1 = A C WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 25
26 Vollständige Systeme WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 26
27 Vollständiges System aus UND, ODER und NICHT Die drei Grundverknüpfungen der Booleschen Algebra bilden ein vollständiges System. Dies bedeutet, dass mit diesen drei Verknüpfungen eine beliebige Schaltung aufgebaut werden kann. Für den Schaltungsentwurf müssen demnach nur drei Verknüpfungen zur Verfügung stehen. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 27
28 Vollständiges System aus NAND I Bildet die NAND Verknüpfung ebenfalls ein vollständiges System? Es ist zu überprüfen ob UND,ODER und NICHT ausschließlich mit NAND Gattern realisiert werden können. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 28
29 Vollständiges System aus NAND II Negation X = X 1 X = X X WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 29
30 Vollständiges System aus NAND III Konjunktion ( X ) 1 X 2 = X1 X 2 X1 X 2 ( ) ( ) = ( X X ) ( X X ) = ( X X ) ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 30
31 Vollständiges System aus NAND IV Disjunktion ( X X ) 1 2 = ( X X ) 1 2 = ( X X ) 1 2 = ( X X ) ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 31
32 Vollständiges System aus NOR I Bildet die NOR Verknüpfung ebenfalls ein vollständiges System? Es ist zu überprüfen ob UND,ODER und NICHT ausschließlich mit NOR Gattern realisiert werden können. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 32
33 Vollständiges System aus NOR II Negation X = X 0 X = X X WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 33
34 Vollständiges System aus NOR III Konjunktion ( X X ) 1 2 = ( X X ) 1 2 = ( X X ) 1 2 = ( X X ) ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 34
35 Vollständiges System aus NOR IV Disjunktion ( X ) 1 X 2 = X1 X 2 X1 X 2 ( ) ( ) = ( X X ) ( X X ) = ( X X ) ( X X ) WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 35
36 Vollständiges System aus UND I Bildet die UND Verknüpfung ebenfalls ein vollständiges System? Es ist zu überprüfen ob UND,ODER und NICHT ausschließlich mit UND Gattern realisiert werden können. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 36
37 Laufzeit von Schaltungen Zur Lösung anspruchsvoller Aufgaben werden mehrstufige Schaltungen benötigt. Gemäß der Anzahl der Ebenen, wobei Negationen an Ein- und Ausgang nicht berücksichtigt werden, wird eine Schaltung als n-stufige Logik bezeichnet. Die Laufzeit der Schaltung ergibt sich als Summe der Laufzeiten aller Ebenen. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 37
38 Komplexität von Schaltungen Die Komplexität bzw. der Aufwand von Schaltungen wird durch die Anzahl der Gattereingänge abgeschätzt. Zur Berechnung werden alle Eingänge aller Ebenen berücksichtigt. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 38
39 Disjunktive und konjunktive Normalform WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 39
40 Normalformen Normalformen dienen der Darstellung Boolescher Funktionen in einheitlicher Form. Jeder Term der Darstellung enthält alle Eingangsvariablen. Für die Boolesche Algebra ist die konjunktive und die disjunktive Normalform von Interesse. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 40
41 Minterm (Vollkonjunktion) Ein Minterm ist eine Konjunktion, die alle Eingangsvariablen, nicht negiert oder negiert, enthält. Für eine Boolesche Funktion mit n Eingangsvariablen existieren daher genau 2 n Minterme. Für exakt eine Kombination der Zustände der Eingangsvariablen nimmt ein Minterm den Zustand wahr bzw. 1 an. Für alle anderen Kombinationen liefert der Minterm 0. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 41
42 Minterme für zwei Eingänge X X m m m m Bitte notieren Sie die algebraische Darstellung für alle vier Minterme. X X m m m m X X X X X X X X WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 42
43 Maxterm (Volldisjunktion) Ein Maxterm ist eine Disjunktion, die alle Eingangsvariablen, nicht negiert oder negiert, enthält. Für eine Boolesche Funktion mit n Eingangsvariablen existieren daher genau 2 n Maxterme. Für exakt eine Kombination der Zustände der Eingangsvariablen nimmt ein Maxterm den Zustand falsch bzw. 0 an. Für alle anderen Kombinationen liefert der Maxterm 1. WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 43
44 Maxterme für zwei Eingänge X X M M M M Bitte notieren Sie die algebraische Darstellung für alle vier Maxterme. X X M M M M X X X X X X X X WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 44
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