Theorie der Informatik
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- Luisa Pohl
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1 Theorie der Informatik 1. Aussagenlogik I Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 19. Februar 2014
2 Motivation
3 Aufgabe von letzter Vorlesungsstunde Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? Vereinfachen Sie diesen Ratschlag! Ich halte mich streng an Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
4 Warum Logik? Formalisierung der Mathematik Was ist ein valider Beweis? Was sind gültige Schlussfolgerungen aus einer Menge von Axiomen? Basis vieler Werkzeuge in der Informatik Beschreibung von Schaltkreisen Repräsentation des Wissens von Agenten (z.b. Robotern) Formale Spezifikation von Programmen und Überprüfung des Verhalten eines Systems mit automatisierter Modellprüfung...
5 Beispiel: Gruppentheorie Beispiel für Gruppe: (Z, +, 0) Menge der ganzen Zahlen mit Addition und neutralem Element 0 Gruppenaxiome für allgemeines (G,, e): 1 Für alle x, y, z G gilt (x y) z = x (y z). 2 Für alle x G gilt x e = x. 3 Für alle x G gibt es ein y G mit x y = e.
6 Beispiel: Gruppentheorie Theorem (Existenz des Linksinversen) Sei (G,, e) eine Gruppe. Für alle x G gibt es ein y G mit y x = e. Beweis. Betrachte ein beliebiges x. Wegen 3. gibt es ein y mit x y = e (*). Analog gibt es für dieses y ein z mit y z = e (**). Es gilt: y x (2.) = (y x) e ( ) = (y x) (y z) (1.) = y (x (y z)) (1.) = y ((x y) z) ( ) = y (e z) (1.) = (y e) z (2.) = y z ( ) = e
7 Allgemeine Fragestellung Allgemeine Fragestellung Gegeben eine Menge (eine Wissensbasis) von Axiomen (z.b. Gruppenaxiome) Was können wir daraus folgern? (z.b. Theorem über Existenz des Linksinversen) Und auf welcher Basis dürfen wir argumentieren? (Warum folgt z.b. aus Gruppenaxiom 2., dass y x = (y x) e?) Ziel: Mechanisches Beweisen formales Spiel mit Buchstaben losgelöst von einer konkreten Bedeutung
8 Aussagenlogik Aussagenlogik ist einfache Logik ohne Zahlen oder Objekte Bausteine der Aussagenlogik Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch sein kann Atomare Aussage kann nicht weiter in Teilaussagen zerlegt werden Junktoren verbinden (Teil-)Aussagen zu neuen Aussagen
9 Beispiele für Bausteine Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, dann verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Jeder Satz ist eine Aussage, besteht aber wiederum aus Teilaussagen (z.b. Eiscreme habe oder Bier meide ). Atomare Aussagen Trinkt Bier, Isst Fisch, Isst Eiscreme Junktoren und, oder, Verneinung, wenn, dann Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
10 Beispiele für Bausteine Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, dann verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Jeder Satz ist eine Aussage, besteht aber wiederum aus Teilaussagen (z.b. Eiscreme habe oder Bier meide ). Atomare Aussagen Trinkt Bier, Isst Fisch, Isst Eiscreme Junktoren und, oder, Verneinung, wenn, dann Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
11 Beispiele für Bausteine Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, dann verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Jeder Satz ist eine Aussage, besteht aber wiederum aus Teilaussagen (z.b. Eiscreme habe oder Bier meide ). Atomare Aussagen Trinkt Bier, Isst Fisch, Isst Eiscreme Junktoren und, oder, Verneinung, wenn, dann Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
12 Probleme mit natürlicher Sprache Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Irrelevante Information Verschiedene Formulierungen für gleichen Junktor/gleiche Aussage Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
13 Probleme mit natürlicher Sprache Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Irrelevante Information Verschiedene Formulierungen für gleichen Junktor/gleiche Aussage Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
14 Probleme mit natürlicher Sprache Wenn ich kein Bier trinke, dann habe ich Fisch. Wenn ich Fisch und Bier habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Irrelevante Information Verschiedene Formulierungen für gleichen Junktor/gleiche Aussage Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
15 Probleme mit natürlicher Sprache Wenn ich kein Bier trinke, dann habe ich Fisch. Wenn ich Fisch und Bier habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Irrelevante Information Verschiedene Formulierungen für gleichen Junktor/gleiche Aussage Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
16 Probleme mit natürlicher Sprache Wenn ich kein Bier trinke, dann habe ich Fisch. Wenn ich Fisch und Bier habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Irrelevante Information Verschiedene Formulierungen für gleichen Junktor/gleiche Aussage Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
17 Probleme mit natürlicher Sprache Wenn nicht TrinktBier, dann IsstFisch. Wenn IsstFisch und TrinktBier, dann nicht IsstEiscreme. Wenn IsstEiscreme oder nicht TrinktBier, dann nicht IsstFisch. Irrelevante Information Verschiedene Formulierungen für gleichen Junktor/gleiche Aussage Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
18 Wie geht es weiter? Was sind sinnvolle (wohldefinierte) Aneinanderreihung von atomaren Formeln und Junktoren? wenn dann IsstEiscreme nicht oder TrinktBier und nicht sinnvoll Syntax Was bedeutet es über eine Aussage zu sagen, dass sie wahr ist? Ist TrinktBier und IsstFisch wahr? Semantik Wann folgt eine Aussage aus einer anderen Aussage? Folgt IsstFisch aus Wenn TrinktBier, dann IsstFisch? Logische Folgerung
19 Fragen Fragen?
20 Syntax
21 Syntax der Aussagenlogik Definition (Syntax der Aussagenlogik) Sei A eine Menge von atomaren Aussagen. Die Menge der aussagenlogischen Formeln (über A) ist induktiv wie folgt definiert: Jedes Atom a A ist eine aussagenlogische Formel über A. Ist φ eine aussagenlogische Formel über A, dann auch die Negation φ. Sind φ und ψ aussagenlogische Formeln über A, dann ist es auch die Konjunktion (φ ψ). Sind φ und ψ aussagenlogische Formeln über A, dann ist es auch die Disjunktion (φ ψ). Die Implikation (φ ψ) ist eine Abkürzung für ( φ ψ). Das Bikonditional (φ ψ) ist Abk. für ((φ ψ) (ψ φ)).
22 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
23 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
24 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
25 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
26 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
27 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
28 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
29 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
30 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 ))
31 Syntax: Beispiele Welche der folgenden Zeichenfolgen sind aussagenlogische Formeln über der Menge aller möglichen Buchstabenfolgen? (A (B C)) ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme) ( Regen Strassenass) (Regen Strassenass) (A = B) (A (B )C) (A (B C)) ((A B) C) ((A 1 A 2 ) (A 3 A 2 )) Welcher Art sind die Formeln (Atom, Konjunktion,... )?
32 Quiz
33 Fragen Fragen?
34 Semantik
35 Bedeutung aussagenlogischer Formeln? Aussagenlogische Formeln bisher blosse Zeichenfolgen ohne Bedeutung. Was heisst z.b. ((IsstFisch TrinktBier) IsstEiscreme)? Wir brauchen Semantik!
36 Semantik der Aussagenlogik Definition (Semantik der Aussagenlogik) Eine Wahrheitsbelegung (oder Interpretation) für eine Menge von atomaren Aussagen A ist eine Funktion I : A {0, 1}. Eine aussagenlogische Formel φ (über A) gilt unter Belegung I (geschrieben I = φ) nach folgender Definition: I = a (für a A) gdw. I(a) = 1 I = φ gdw. nicht I = φ I = (φ ψ) gdw. I = φ und I = ψ I = (φ ψ) gdw. I = φ oder I = ψ
37 Semantik der Aussagenlogik Definition (Semantik der Aussagenlogik) Eine Wahrheitsbelegung (oder Interpretation) für eine Menge von atomaren Aussagen A ist eine Funktion I : A {0, 1}. Eine aussagenlogische Formel φ (über A) gilt unter Belegung I (geschrieben I = φ) nach folgender Definition: I = a (für a A) gdw. I(a) = 1 I = φ gdw. nicht I = φ I = (φ ψ) gdw. I = φ und I = ψ I = (φ ψ) gdw. I = φ oder I = ψ Für I = φ sagen wir auch I ist ein Modell für φ.
38 Semantik der Aussagenlogik Definition (Semantik der Aussagenlogik) Eine Wahrheitsbelegung (oder Interpretation) für eine Menge von atomaren Aussagen A ist eine Funktion I : A {0, 1}. Eine aussagenlogische Formel φ (über A) gilt unter Belegung I (geschrieben I = φ) nach folgender Definition: I = a (für a A) gdw. I(a) = 1 I = φ gdw. nicht I = φ I = (φ ψ) gdw. I = φ und I = ψ I = (φ ψ) gdw. I = φ oder I = ψ Für I = φ sagen wir auch I ist ein Modell für φ. Gilt I = φ nicht, schreiben wir das als I = φ.
39 Semantik der Aussagenlogik Definition (Semantik der Aussagenlogik) Eine Wahrheitsbelegung (oder Interpretation) für eine Menge von atomaren Aussagen A ist eine Funktion I : A {0, 1}. Eine aussagenlogische Formel φ (über A) gilt unter Belegung I (geschrieben I = φ) nach folgender Definition: I = a (für a A) gdw. I(a) = 1 I = φ gdw. nicht I = φ I = (φ ψ) gdw. I = φ und I = ψ I = (φ ψ) gdw. I = φ oder I = ψ Für I = φ sagen wir auch I ist ein Modell für φ. Gilt I = φ nicht, schreiben wir das als I = φ. = ist nicht Teil der Formel, sondern ein Symbol der Metasprache.
40 Semantik: Beispiel A = {TrinktBier, IsstFisch, IsstEiscreme} I = {TrinktBier 1, IsstFisch 0, IsstEiscreme 1} φ = ( TrinktBier IsstFisch) Gilt I = φ?
41 Semantik: Beispiel I = φ gdw. I = ( TrinktBier IsstFisch) gdw. I = ( TrinktBier IsstFisch) gdw. I = TrinktBier oder I = IsstFisch gdw. I = TrinktBier oder I(IsstFisch) = 1 gdw. I = TrinktBier gdw. nicht I = TrinktBier gdw. nicht nicht I = TrinktBier gdw. I = TrinktBier gdw. I(TrinktBier) = 1
42 Fragen Fragen?
43 Formeleigenschaften
44 Eigenschaften von Formeln Eine aussagenlogische Formel φ ist erfüllbar, falls φ mindestens ein Modell besitzt. unerfüllbar, falls φ nicht erfüllbar ist. gültig (oder Tautologie), falls φ unter jeder Wahrheitsbelegung gilt. falsifizierbar, falls φ keine Tautologie ist.
45 Eigenschaften von Formeln Eine aussagenlogische Formel φ ist erfüllbar, falls φ mindestens ein Modell besitzt. unerfüllbar, falls φ nicht erfüllbar ist. gültig (oder Tautologie), falls φ unter jeder Wahrheitsbelegung gilt. falsifizierbar, falls φ keine Tautologie ist. Wie zeigen wir, dass eine Formel eine dieser Eigenschaften hat?
46 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist.
47 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist.
48 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist.
49 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. I = {A 0, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist.
50 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. I = {A 0, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist.
51 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. I = {A 0, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Folgt direkt aus Falsifizierbarkeit Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist.
52 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. I = {A 0, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Folgt direkt aus Falsifizierbarkeit Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist.
53 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. I = {A 0, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Folgt direkt aus Falsifizierbarkeit Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist. Folgt direkt aus Erfüllbarkeit
54 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. I = {A 0, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Folgt direkt aus Falsifizierbarkeit Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist. Folgt direkt aus Erfüllbarkeit Bisher alles durch Angabe einer Belegung gezeigt. Was ist mit gültig, unerfüllbar, nicht erfüllbar, nicht falsifizierbar?
55 Beispiele Zeigen Sie, dass (A B) erfüllbar ist. I = {A 1, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) falsifizierbar ist. I = {A 0, B 1} Zeigen Sie, dass (A B) nicht gültig ist. Folgt direkt aus Falsifizierbarkeit Zeigen Sie, dass (A B) nicht unerfüllbar ist. Folgt direkt aus Erfüllbarkeit Bisher alles durch Angabe einer Belegung gezeigt. Was ist mit gültig, unerfüllbar, nicht erfüllbar, nicht falsifizierbar? Benötigen Aussagen über alle möglichen Belegungen
56 Wahrheitstafeln Werte für alle möglichen Belegungen aus, ob sie ein Modell für die betrachtete Formel sind.
57 Wahrheitstafeln Werte für alle möglichen Belegungen aus, ob sie ein Modell für die betrachtete Formel sind. I(A) I = A 0 1
58 Wahrheitstafeln Werte für alle möglichen Belegungen aus, ob sie ein Modell für die betrachtete Formel sind. I(A) I = A 0 Ja 1 Nein
59 Wahrheitstafeln Werte für alle möglichen Belegungen aus, ob sie ein Modell für die betrachtete Formel sind. I(A) I(B) I = (A B) I(A) I = A 0 Ja 1 Nein
60 Wahrheitstafeln Werte für alle möglichen Belegungen aus, ob sie ein Modell für die betrachtete Formel sind. I(A) I(B) I = (A B) 0 0 Nein 0 1 Nein 1 0 Nein 1 1 Ja I(A) I = A 0 Ja 1 Nein
61 Wahrheitstafeln Werte für alle möglichen Belegungen aus, ob sie ein Modell für die betrachtete Formel sind. I(A) I = A 0 Ja 1 Nein I(A) I(B) I = (A B) 0 0 Nein 0 1 Nein 1 0 Nein 1 1 Ja I(A) I(B) I = (A B) 0 0 Nein 0 1 Ja 1 0 Ja 1 1 Ja
62 Wahrheitstafeln allgemein Betrachte alle Möglichkeiten, wie Belegungen die kleinsten Teilformeln (nicht) erfüllen können, und werte jeweils aus, ob sie ein Modell für die betrachtete Gesamtformel sind. I = φ I = ψ I = (φ ψ) Nein Nein Nein Nein Ja Nein Ja Nein Nein Ja Ja Ja
63 Wahrheitstafeln allgemein Betrachte alle Möglichkeiten, wie Belegungen die kleinsten Teilformeln (nicht) erfüllen können, und werte jeweils aus, ob sie ein Modell für die betrachtete Gesamtformel sind. I = φ I = ψ I = (φ ψ) Nein Nein Nein Nein Ja Nein Ja Nein Nein Ja Ja Ja Übung: Wahrheitstafel für (φ ψ)
64 Wahrheitstafeln für Formeleigenschaften Ist φ = ((A B) ( B A)) gültig, unerfüllbar,...? I(A) I(B) I = B I = (A B) I = ( B A) I = φ 0 0 Ja Ja Nein Ja 0 1 Nein Ja Ja Ja 1 0 Ja Nein Ja Ja 1 1 Nein Ja Ja Ja
65 Zusammenhang Formeleigenschaften und Wahrheitstafeln Eine aussagenlogische Formel φ ist erfüllbar, falls φ mindestens ein Modell besitzt. Ergebnis in mindestens einer Zeile Ja unerfüllbar, falls φ nicht erfüllbar ist. Ergebnis in allen Zeilen Nein gültig (oder Tautologie), falls φ unter jeder Wahrheitsbelegung gilt. Ergebnis in allen Zeilen Ja falsifizierbar, falls φ keine Tautologie ist. Ergebnis in mindestens einer Zeile Nein
66 Quiz
67 Grosser Nachteil von Wahrheitstafeln Wie gross wird eine Wahrheitstafel mit n atomaren Aussagen?
68 Grosser Nachteil von Wahrheitstafeln Wie gross wird eine Wahrheitstafel mit n atomaren Aussagen? 1 2 Belegungen (Zeilen) 2 4 Belegungen (Zeilen) 3 8 Belegungen (Zeilen) n??? Belegungen
69 Grosser Nachteil von Wahrheitstafeln Wie gross wird eine Wahrheitstafel mit n atomaren Aussagen? 1 2 Belegungen (Zeilen) 2 4 Belegungen (Zeilen) 3 8 Belegungen (Zeilen) n 2 n Belegungen Einige Beispiele: 2 10 = 1024, 2 20 = , 2 30 =
70 Grosser Nachteil von Wahrheitstafeln Wie gross wird eine Wahrheitstafel mit n atomaren Aussagen? 1 2 Belegungen (Zeilen) 2 4 Belegungen (Zeilen) 3 8 Belegungen (Zeilen) n 2 n Belegungen Einige Beispiele: 2 10 = 1024, 2 20 = , 2 30 = Für grosse Formeln nicht praktikabel, brauchen andere Lösung nächste Vorlesungsstunde
71 Fragen Fragen?
72 Zusammenfassung
73 Zusammenfassung Aussagenlogik basiert auf atomaren Aussagen Syntax legt fest, was wohlgeformte Formeln sind Semantik definiert, wann eine Formel wahr ist Wahrheitsbelegungen sind wichtigste Grundlage der Semantik. Erfüllbarkeit und Gültigkeit sind wichtige Formeleigenschaften. Wahrheitstafeln betrachten systematisch alle möglichen Wahrheitsbelegungen. Wahrheitstafeln nur für kleine Formeln nützlich
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