9. Spezielle Relativitätstheorie

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1 7. Relativistischer Impuls 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Inhalt 9. Spezielle Relativitätstheorie 9.1 Galilei-Transformation 9.2 Lorentz-Transformation 9.3 Transformation von Geschwindigkeiten 9.4 Zeitdilatation 9.5 Längenkontraktion 9.6 Relativistischer Impuls 9.7 Relativistische Energie

2 Relativbewegungen Es gilt: Die Bahnkurve eines Objektes ist nicht eindeutig. Die Geschwindigkeit eines Objektes ist nicht eindeutig. Sie sind Funktion des Bezugssystems. Beispiel: Ein Zug hat eine konstante Geschwindigkeit v Zg. Im Zug bewegt sich Fahrgast mit Geschwindigkeit v Fg. Frage: Wie groß ist v Fahrgast? Antwort: Das hängt vom Bezugssystem ab.

3 Für den Beobachter, der im Zug ruht, gilt: v Fahrgast = v Fg Für den Beobachter, der am Bahndamm ruht, gilt: v Fahrgast = v Fg + v Zg v = f (Bezugssystem)

4 9.1 Galilei-Transformation Allgemeine (abstrakte) Betrachtung (1-dimensional) Annahmen: 1. Man hat zwei Bezugssysteme A und B. 2. Bezugssystem A ruht. 3. Bezugssystem B bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v B/A relativ zu A entlang der positiven x-richtung. 4. In B ist Punktmasse P, die sich in x-richtung bewegt.

5 Es gilt für Bahnkurve x P/A (t) von P in A: x P/A = x B/A + x P/B x P/B (t) = Bahnkurve von P in Bezugssystem B x B/A (t) = Bewegung von B relativ zu A Es gilt für Geschwindigkeit v P/A : Es gilt für Beschleunigung a P/A :

6 Ein merkwürdiges Beispiel: Zug mit v Zg = 90 % der Lichtgeschwindigkeit c relativ zum Bahndamm: v Zg = 0,9 c = 0, m/s Fahrgast mit v Fg = 30 % der Lichtgeschwindigkeit relativ zum Zug: v Fg = 0,3 c = 0, m/s Am Bahndamm ruhender Beobachter sollte messen: v Fahrgast = (0,3 +0,9) c = 1,2 c > c Widerspruch zu tatsächlichen Beobachtungen! Es gilt: Lichtgeschwindigkeit c kann nicht überschritten werden. Obige Transformation der Geschwindigkeiten (Galilei-Transformation) ist nur gültig, falls v << c

7 9.2 Lorentz-Transformation Wir hatten: Galilei-Transformation - 2 Inertialsysteme S, S - S bewegt sich mit u = konstant relativ zu S in x - Zur Zeit t = t = 0 gilt O = O Annahme: P bewegt sich in die + x-richtung Für Punkt P gilt: 2.9. Spezielle Relativitätstheorie Keine zusätzlichen Kräfte, Newton gilt, Erhaltungssätze (E, p, L) gelten Experimente

8 Experimente 1. Zugexperiment Theorie: Experiment: 2. Teilchenexperiment (1964 CERN) Zerfall neutraler Pionen π 0 γ γ Mittlere Lebensdauer der Pionen τ = 10 8 s Prinzip: Man bringe π 0 auf v ca. c (v π0 = 0,99975 c) Man messe v g Theorie: (Galilei) v g = v p0 + c = 1,99975 c Messung: v g = c!!!! Widerspruch!!!!!!!

9 Einstein hilft mit SRT Basiert auf zwei Postulaten (nicht beweisbar): 1. Die physikalischen Gesetze sind unabhängig vom betrachteten Inertialsystem 2. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht (elektromagnetische Welle) ist in allen Inertialsystemen gleich, unabhängig von der Bewegung der Sender (bzw. Empfänger): c Vakuum = km/s instein ersetzt Galilei-Transformation durch Lorentz-Transformation Für Punkt P (1-dim) mit

10 9.3 Transformation von Geschwindigkeiten Annahme: Masse bewegt sich entlang der x-richtung. in Zeit dt wird in S Strecke dx zurückgelegt. Division 1. Gl. durch 2. Gl. und Multiplikation mit dt/dt = 1 (rechte Seite) Analog: Beispiele: v << c v = c v = v u v = c

11 9.4 Zeitdilatation S mit u relativ zu S B eo in S misst: t = 2d/c (1) B eo in S misst: mit (2)

12 (1) in (2) eingesetzt: Quadrieren und nach t auflösen : Tests zur Zeitdilatation 1. Makroskopische Uhr 1971 Atomuhr in Flugzeug 1 x um die Welt: t = 200 ns 2. Mikroskopische Uhr (z.b. Myon) µ e + 2ν Mittlere Lebensdauer τ = 2, s (Eigenzeit) 1968 CERN: v µ = 0,9966 c. Theorie: t = 26,7 µs Messung: t = 26,2 +- 0,5 µs

13 9.5 Längenkontraktion Gedankenexperiment Beobachter in S mit Eigenlänge l 0 l Beobachter in S Länge Lineal = l Zeit: Quelle Spiegel = t 1 Zeit: Spiegel Quelle = t 2

14 Hinweg: (Quelle-Spiegel) Rückweg: (Spiegel-Quelle) Gesamtweg: Es gilt: Längenkontraktion: von S aus erscheint Lineal kürzer als in S

15 Gemäß l = l 0 / g erscheint der Fahrradfahrer Verkürzt.

16

17 Von Punkten A, B, C, D werde Licht ausgesandt Weitentfernter Beobachte sieht Licht von A, C, D

18 Beobachter sieht Wagen gedreht Lorentzkontraktion führt zur Verkürzung Das würde man sehen

19 Elektrisches Feld einer bewegten Punktladung v/c = 1/3

20 Elektrische Feld einer bewegten Punktladung v/c = 4/5

21 9.6 Relativistischer Impuls Problem falls man klassische Definition von p = mv beibehält. 1. Lorentztransformation von v Verletzung Impulserhaltung 2. Existenz eines Grenzimpulses Man findet: 1. Impulserhaltung gilt 2. Es existiert kein Grenzimpuls Widerspruch! Lösung: Man modifiziere Definition des Impulses mit

22 Änderung des Impulses als Funktion von v

23 9.7 Relativistische Energie Kinetische Energie klassisch: (folgte aus Gleichung zur Arbeit) E kin = ½ m. v 2 Kinetische Energie relativistisch: (folgt aus Gleichung zur Arbeit mit relativistischer Kraft) Problem: E = 0 falls v = 0 mit T = (relativistische) kinetische Energie = T + E 0 Gesamtenergie = Kinetische Energie + Ruheenergie Konsequenz: Teilchen haben Ruheenergie. 0

24 Änderung der kinetischen Energie als Funktion von v

25 Konsequenz: Beispiele: Masse ist äquivalent zur Energie. Kernfusion, Kernspaltung, Angabe der Masse in ev/c 2, z.b. m e = 0,5 MeV/c 2

26 Zusammenhang E = f(p) Klassisch: Relativistisch: Beweis: Aus (2) (1) folgt: (1) (2)

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