Über drei Ecken zu Einstein

Transkript

1 Raumzeit, Weltlinien, Lichtkegel Über drei Ecken zu Einstein Norbert Dragon Hannover 6. Februar 2015 Relativitätsprinzip Gleichzeitig und Gleichortig Dopplereffekt, Schiedsrichter Satz des Minkowski (Pythagoras) Altern von Zwillingen Verkürzung bewegter Maßstäbe Mit v = 0,97 c durch Stonehenge

2 Raumzeit, Weltlinien, Lichtkegel Über drei Ecken zu Einstein Norbert Dragon Hannover 7. Februar 2014 Relativitätsprinzip Gleichzeitig und Gleichortig Dopplereffekt, Schiedsrichter Satz des Minkowski (Pythagoras) Altern von Zwillingen Verkürzung bewegter Maßstäbe Mit v = 0,97 c durch Stonehenge

3 Raumzeit, Weltlinien, Lichtkegel Ereignisse werden wie Verabredungen durch Zeit und Ort angegeben. Grundrisse und Querschnitte verdeutlichen höherdimensionale Zusammenhänge. Geschichte eines Teilchens: Weltlinie (Fahrplan) Schnittpunkt zweier Weltlinien: Treffen zweier Teilchen, Empfangen und Aussenden von Licht Freies Teilchen: gerade Weltlinie (keine Gravitation) Nichts überholt Licht, Licht überholt nicht Licht: parallele Weltlinien Lichtkegel: die Weltlinien der in einem Ereignis ein- und auslaufenden Lichtpulse 1 Sekunde = Meter 1 Fuß = 1, nautische Meilen

4 Raumzeit, Weltlinien, Lichtkegel Ereignisse werden wie Verabredungen durch Zeit und Ort angegeben. Grundrisse und Querschnitte verdeutlichen höherdimensionale Zusammenhänge. Geschichte eines Teilchens: Weltlinie (Fahrplan) Schnittpunkt zweier Weltlinien: Treffen zweier Teilchen, Empfangen und Aussenden von Licht Freies Teilchen: gerade Weltlinie (keine Gravitation) Nichts überholt Licht, Licht überholt nicht Licht: parallele Weltlinien Lichtkegel: die Weltlinien der in einem Ereignis ein- und auslaufenden Lichtpulse 1 Sekunde = Meter 1 Fuß = 1, nautische Meilen

5 Relativitätsprinzip Licht B R Licht Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Quelle (Supernova 1987a). Ruhe ist nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheidbar: Die Lichtgeschwindigkeit ist für alle gleichförmig bewegte Beobachter gleich (Michelson, Morley).

6 Relativitätsprinzip Licht B R Licht Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Quelle (Supernova 1987a). Ruhe ist nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheidbar: Die Lichtgeschwindigkeit ist für alle gleichförmig bewegte Beobachter gleich (Michelson, Morley).

7 Geometrische Strukturen und Eigenschaften Gerade Weltlinien gleichförmig bewegter Beobachter Lichtkegel jedes Ereignisses (wie Rillen einer Schallplatte) Zeit längs Weltlinien: Länge in der Raumzeit Verschiebung: kein Ort und keine Zeit ausgezeichnet Drehung: keine Richtung ausgezeichnet Bewegung: keine gleichförmige Geschwindigkeit v < c ausgezeichnet Nicht vorhandene geometrische Strukturen Keine Weltlinien absoluter Ruhe: wie in Newtonscher Physik Keine Weltlinien absoluter Gleichzeitigkeit: anders als Newton dachte.

8 Geometrische Strukturen und Eigenschaften Gerade Weltlinien gleichförmig bewegter Beobachter Lichtkegel jedes Ereignisses (wie Rillen einer Schallplatte) Zeit längs Weltlinien: Länge in der Raumzeit Verschiebung: kein Ort und keine Zeit ausgezeichnet Drehung: keine Richtung ausgezeichnet Bewegung: keine gleichförmige Geschwindigkeit v < c ausgezeichnet Nicht vorhandene geometrische Strukturen Keine Weltlinien absoluter Ruhe: wie in Newtonscher Physik Keine Weltlinien absoluter Gleichzeitigkeit: anders als Newton dachte.

9 Ort und Zeit eines entfernten Ereignisses B t t + E r = t + t 2 t + = t + r Radar Gleichzeitige und gleichortige Diagonalen im Lichteck t = t + + t 2 t = t r Gleichzeitigkeit und Gleichortigkeit hängen von der Weltlinie des Beobachters ab, ebenso wie in Euklidischer Geometrie von einer Geraden abhängt, welche Geraden dazu senkrecht oder parallel sind.

10 Ort und Zeit eines entfernten Ereignisses B t t + E t = t + + t 2 t + = t + r Radar Gleichzeitige und gleichortige Diagonalen im Lichteck r = t + t 2 t = t r Gleichzeitigkeit und Gleichortigkeit hängen von der Weltlinie des Beobachters ab, ebenso wie in Euklidischer Geometrie von einer Geraden abhängt, welche Geraden dazu senkrecht oder parallel sind.

11 Beispiel v = 21 c

12 Beispiel v = 1 2 c S t = 2 Jahre r = 1 Lichtjahre B v = 1 2 c S durchläuft (t,x) = (0,0) und (2,1) t + = 3, t = 1 auch verdreifachte Zeichnung S entfernt sich von B und umgekehrt mit v = 1 2 c

13 Gleichmäßige gegeneinander bewegte Uhren S E t E t S O t E = k(e,s)t S Dopplereffekt f E = 1 k(e,s) f S

14 Strahlensatz S E t E t S O t E = k(e,s)t S Dopplereffekt f E = 1 k(e,s) f S

15 Dopplerfaktor bei Reflektion τ = k(r,b)t t + t + = k(b,r)τ B t = 5 τ R t + = k(b,r)k(r,b)t Dopplerfaktoren multiplizieren sich. t

16 Dopplerfaktor bei Reflektion τ = k(r,b)t t + t + = k(b,r)τ B t = 5 τ R t + = k(b,r)k(r,b)t Dopplerfaktoren multiplizieren sich. t

17 Gleiche Uhren x S (R) = x S (B) B t = 5 τ S τ R τ = τ Der Schiedsrichter prüft gleichen Uhrgang, also gleiche Länge in der Raumzeit, so wie in Euklidischer Geometrie der Zirkel. Weltlinie des Schiedsrichters zwischen zwei Uhren: eine Art Winkelhalbierende Statt bei gegebenem B und R S zu konstruieren, zeichnet man leichter den zu B und S gehörigen R

18 Gleiche Uhren x S (R) = x S (B) B t = 5 τ S τ R τ = τ Der Schiedsrichter prüft gleichen Uhrgang, also gleiche Länge in der Raumzeit, so wie in Euklidischer Geometrie der Zirkel. Weltlinie des Schiedsrichters zwischen zwei Uhren: eine Art Winkelhalbierende Statt zu B und R die Gerade S zu zeichnen: Zeichne die zu B und S gehörige Gerade R!

19 Beispiel eines Uhrenvergleichs S v(r,b) = v(b,r) = 4 5 c B t = 5 τ τ = 3 R k(r,b) = k(b,r) = 3 Geschwindigkeit und Dopplerverschiebung sind wechselseitig. v(s,b) = v(s,r) = 1 2 c Geschwindigkeiten sind nicht additiv. τ = 3 5 t Bewegte Uhren gehen wechselseitig langsamer.

20 Beispiel eines Uhrenvergleichs S v(r,b) = v(b,r) = 4 5 c B t = 5 τ τ = 3 R k(r,b) = k(b,r) = 3 Geschwindigkeit und Dopplerverschiebung sind wechselseitig. v(s,b) = v(s,r) = 1 2 c Geschwindigkeiten sind nicht additiv. τ = 3 5 t Bewegte Uhren gehen wechselseitig langsamer.

21 Satz des Minkowski t + B S R τ = t + t τ τ = τ t = 5 τ τ = t + t τ 2 = t + t = t 2 r 2 t v = r t τ = 1 v 2 t Das geometrische Mittel τ = t + t ist kleiner als das arithmetische Mittel t = (t + + t )/2, bewegte Uhren gehen langsamer.

22 Satz des Minkowski t + B S R τ = t + t τ τ = τ t = 5 τ τ = t + t τ 2 = t + t = t 2 r 2 t v = r t τ = 1 v 2 t Das geometrische Mittel τ = t + t ist kleiner als das arithmetische Mittel t = (t + + t )/2, bewegte Uhren gehen langsamer.

23 t + B r t = t5 r t Dopplerfaktor und Geschwindigkeit τ R τ = t + t τ k(r,b) = k(b,r) t + = k τ = k 2 t k 2 = t + = t + r t t r = 1 + r/t 1 r/t 1 + v k = 1 v = 1 + v 1 v 2 k( v) = 1 k(v) Bei gleichen Uhren ist der Dopplerfaktor wechselseitig. Rotverschiebung beim Wegfliegen ist invers zur Blauverschiebung beim Aufeinanderzufliegen.

24 t + B r t = t5 r t Dopplerfaktor und Geschwindigkeit τ R τ = t + t τ k(r,b) = k(b,r) t + = k τ = k 2 t k 2 = t + = t + r t t r = 1 + r/t 1 r/t 1 + v k = 1 v = 1 + v 1 v 2 k( v) = 1 k(v) Bei gleichen Uhren ist der Dopplerfaktor wechselseitig. Rotverschiebung beim Wegfliegen ist invers zur Blauverschiebung beim Aufeinanderzufliegen.

25 Aufeinander zu und voneinander weg B R t R t E = t B t S = t R t B O k = t R t B t E = 1 t S k t S t E Rotverschiebung beim Wegfliegen ist invers zur Blauverschiebung beim Aufeinanderzufliegen.

26 Altern von Zwillingen

27 Altern von Zwillingen S R H M S R H M S R H M Reise mit v = 4 5 c vom Reisenden gesehen Sicht des Stubenhockers 10 > > >

28 Gleiche Beschleunigungsphasen R S M H Auch bei gleichen Beschleunigungsphasen können sich Zwillinge unterschiedlich bewegen und unterschiedlich altern.

29 Addition kolinearer Geschwindigkeiten t 2 = k 21 t 1 t 3 = k 32 t 2 t 3 = k 31 t 1 B 1 B 2 B 3 k 31 = k 32 k 21 Dopplerfaktoren multiplizieren sich. v 31 = v 32 + v v 32 v 21 Die Geschwindigkeit v ist, wie in Euklidischer Geometrie die Steigung, nicht additiv. Dopplerfaktor = e Schnelligkeit, k = e σ, σ = 1 2 ln 1 + v 1 v Die Schnelligkeit σ ist wie in Euklidischer Geometrie der Winkel additiv.

30 Zusammenfassung Die vierdimensionale Raumzeit besteht aus Ereignissen. Geometrische Strukturen: Weltlinien freier Teilchen, Lichtkegel, Uhrzeit Bewegte Uhren werden dopplerverschoben gesehen. Auch nach Korrektur von Lichtlaufzeit gehen bewegte Uhren langsamer. Zeit zwischen zwei Ereignissen hängt von der Weltlinie der Uhr ab. Minkowki-Geometrie ist ungewohnt, aber Euklidischer Geometrie ähnlich.

31 Zeitdilatation ist gegenseitig

32 Zeitdilatation ist gegenseitig

33 Zeitdilatation ist gegenseitig

34 Gleiche Maßstäbe

35 Längenkontraktion ist gegenseitig l(v) = 1 v 2 l(0)

36 Längenkontraktion ist gegenseitig l(v) = 1 v 2 l(0)

37 Alle Linien

38 Lorentztransformation B R t = t vx 1 v 2 t + t + t + = k 1 t + t t E t = k t x = vt + x 1 v 2 y = y z = z t 2 x 2 y 2 z 2 = t 2 x 2 y 2 z 2

39 Lorentztransformation B R t = t vx 1 v 2 t + t + t + = k 1 t + t t E t = k t x = vt + x 1 v 2 y = y z = z t 2 x 2 y 2 z 2 = t 2 x 2 y 2 z 2

40 Zusammenfassung Die vierdimensionale Raumzeit besteht aus Ereignissen. Geometrische Strukturen: Weltlinien freier Teilchen, Lichtkegel, Uhrzeit Bewegte Uhren werden dopplerverschoben gesehen. Auch nach Korrektur von Lichtlaufzeit gehen bewegte Uhren langsamer. Zeit zwischen zwei Ereignissen hängt von der Weltlinie der Uhr ab. Minkowki-Geometrie ist ungewohnt, aber Euklidischer Geometrie ähnlich.