IX. Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Transkript

1 Kurzer Rückblick auf klass. relativ. Mechanik 1 IX. Relativistische Formulierung der Elektrodynamik Die Aufteilung des elektromagnetischen Felds (auch von Strom und Ladungsdichte) in elektrisches und magnetisches Feld hängt vom Bewegungszustand des Beobachters ab. Suchen eine kovariante Formulierung, d.h. eine Fomulierung der Maxwellgleichungen unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters, auch um el. und magn. Felder beim Übergang zwischen verschiedenen KS ineinander umzurechnen. 1. Kurzer Rückblick auf relativistische Mechanik Im Gegensatz zur Newtonschen Mechanik existiert für gegeneinander gleichförmig bewegte Bezugssystem, keine universale Zeit:, Die Umrechnung zw. den Koordinaten ist durch die Lorentztransformation (LT) gegeben, eingeführt um Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c Rechung zu tragen. LT hält dazu die folgende Abstände bei konstant: Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1/13

2 Kurzer Rückblick auf klass. relativ. Mechanik 2 folgt aus der Forderung an die Theorie die Lichtgeschw. c in allen zueinander gleichförmig bewegten KS (Experiment) konstant zu halten. Norm Ortsabstand oder die Zeitabstand allein für sich. ist invariante Größe ( Lorentzskalar ), nicht der In ähnlicher Weise: E,B-Feld sind nicht invariant, sieht man sofort an bewegter Punktladung: im mitbewegten System der PL ist der Strom Null ( gleich ), von aussen gesehen aber: Stromfluss ( ). Man sucht eine forminvariante Darstellung der Maxwellgleichungen (unabh. vom KS). Daher sinnvoll Viervektoren einzuführen wie in relativist. Mechanik. Vierervektoren selbst werden durch die LT beim Wechsel des KS ineinander umgerechnet, Betrag bleibt unverändert. Bekanntes Beispiel aus der speziellen Relativitätstheorie ist der kontravariante Viervektor griechisch: Raum-Zeit Koordinaten ( ), lateinisch: Raum-Koordinaten (i) Die Norm dieses Vektors bleibt bei dem Wechsel zwischen Inertialsystemen konstant. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.2/13

3 Kurzer Rückblick auf klass. relativ. Mechanik 3 Einführung des kovarianten metrischen Tensors Skalarprodukts: zur Defininition des sonst 0 Norm: Durch die Einführung des kovarianten Vektors : läßt sich das Skalarprodukt besser schreiben: zum kontravarianten Vektor (Einsteinsche Summekonvention für wiederholte Indizes, von denen einer kovariant (unten) und einer kontravariant (oben) ist.) Die Lorentztransformation zw. kann für Vierervektoren dann mit geschrieben werden, wobei eine Matrix darstellt. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.3/13

4 Hier für den Fall einer Bewegung in x-richtung Kurzer Rückblick auf klass. relativ. Mechanik 4 :, Koordinatenschreibweise:. für die kovarianten Vektoren: (oben: ): Man findet durch Matrixmultiplikation, z.b. erste Vorzeile mal erste Nachspalte: LT in klass. Mechanik führt zu Paradoxa (Längenkontraktion, Zeitdilatation), weil nicht die Raum- und Zeitabstände invariant sind, sonderntheoretische nur Gesamtbe- Physik III (Elektrodynamik) p.4/13

5 Transformationsobjekte 5 2. Transformationsobjekte a) der Vierervektor mit Hilfe der LT transformiert um die Konstanz von c zu gewährleisten verallgemeinernd nennt man einen Vektor mit 4 Komponenten einen Vierervektor, wenn er sich beim Wechsel der KS wie der Vektor transformiert, d.h.. wird beim Wechsel des Koordinatensystems ( b) ein Skalar, der sich unter der LT nicht verändert, heißt Lorentzskalar Beispiel: Norm von Vierervektoren sind Lorentzskalare: ) c) eine Matrix, die sich unter der LT wie die Größe kontravarianter Tensor verhält, heißt (Hintereinanderschalten zweier Lorentztransformationen) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.5/13

6 Verhalten der Kontinuitätsgleichung 6 3. Verhalten der Kontinuitätsgleichung unter Lorentztransformation Annahme, durch das Experiment gestützt: Die Ladung ist erhalten (Lorentzskalar) und erfüllt damit eine Kontinuitätsgleichung in allen Koordinatensystemen (nicht trivial, Masse ist z.b. kein Lorentzskalar) Kontinuitätsgleichung muß also in alle KS gelten: ist die Kontinuitätsgleichung in der Viererschreibweise mit dem Viererstrom. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.6/13

7 Viererstrom 7 ein Vierervektor sein muß. Dazu zeigen wir, Man kann jetzt zeigen, daß dass die Kontinuitätsgleichung und die Viererableitung forminvariant unter LT ist: ist ein Vierervektor: 1. transformiert, ist also ein Vierervektor, wird wie 2.die Kontinuitätsgleichung ist ebenso invariant: Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.7/13

8 Viererstrom 8 Da die Stromdichte ein Vierervektor ist, transfomiert sie sich in völliger Analogie zur relativistische Mechanik: Analogie Mechanik Elektrodynamik Mechanik ED Strom- und Ladung mischen in Abhängigkeit des Bewegungszustands des Beobachters. Sie sind keine Invarianten beim Wechsel des KS. In ähnlicher Weise hängt die Aufteilung des em. Felds in Magnet- und elektrisches Feld vom Bewegungszustand des Beobachters ab. daher ist eine Viererformulierung der Maxwellgleichungen erstrebenswert, um eine System von Gleichungen zu haben die in allen KS gelten Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.8/13

9 Viererpotential 9 4. Das Viererpotential Potentialgleichungen in der Lorentzeichung: Zusammenfassen zu einer Vierergleichung: ist ein ist ein Vierervektor und muß ein Vierervektor sein, denn Lorentzskalar (beides bereits gezeigt). Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.9/13

10 Feldtensor Feldtensor und Maxwellgleichungen in Viererschreibweise Ansatz für einen Feldtensor: mit Was sind die Elemente? Ein Element als Beispiel: gefunden. Analog werden alle andere Elemente von ) ist antisymmetrisch( Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.10/13

11 Feldtensor 11 Der Feldstärketensor ist ein Lorentztensor, denn er wird aus 2 Vierervektoren aufgebaut: Die Maxwellgleichungen werden jetzt in Viererschreibweise abgeleitet: Lorentzeichung: wird der letzte Term null, mit Potentialgleichung: wird der erste Term mit dem Strom identifiziert: Maxwellgleichungen in Viererschreibweise ergibt in Komponenten: Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.11/13

12 Feldtensor 12 Die andere Maxwellgleichungen werden aus der Identität: gefunden: Die beide Gleichungen sind lorentzinvariant und gelten in dieser Form unverändert in zueinander gleichförmig bewegten Bezugssystemen. Die Felder sind durch ein Feldtensor dargestellt. Isolierte E,B Feldgleichungen sind nicht konsistent mit Lorentzinvarianz, die Einteilung des em Felds in E und B Feld ist abhängig vom Bezugssystem. E und B Feld müssen zum elektromagnetischen Feld zusammengefasst werden und bilden eine echte Einheit: das elektromagnetische Feld, dargestellt durch den lorentzinvarianten Tensor Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.12/13