Pauli-Algebra und Dirac- Algebra

Transkript

1 Pauli-Algebra und Dirac- Algebra OH-Folien zur Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie im Rahmen eines Kurses zur Physik für Mathematiker Martin Erik Horn ( Stand: 4. Januar 00 (Vorläufige Fassung)

2 Übersicht über die OH-Folien Blatt Vorbemerkungen Blatt Grundlagen der GA Blatt 3 Basisflächen in der GA Blatt 4 Vektoren in der GA Blatt 5 Länge eines Pauli-Vektors Blatt 6 Flächen in der GA Blatt 7 Volumina in der GA Blatt 8 Imaginäre Größen Blatt 9a Orthogonalität in der GA Blatt 9b Refleionen in der GA Blatt 0 Beispiel einer Refleion Blatt Rotationen in der GA Blatt Beispiel einer Rotation Blatt 3 Grundlagen der STA I Blatt 4 Geometrisierung der Zeit Blatt 5 Grundlagen der STA II Blatt 6 Basisflächen in der STA Blatt 7 Vektoren in der STA Blatt 8 Länge eines Dirac-Vektors Blatt 9 Raum-Zeit-Intervall Blatt 0 Allgemeine Definition des Raum-Zeit-Intervalls Blatt Hypervolumen in der STA Blatt Imaginäre Größen in der STA Blatt 3 Multivektoren in der STA Blatt 4 Weltlinien Blatt 5 Geschwindigkeiten Blatt 6 Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls Blatt 7 Die Zeitdilatation I Blatt 8 Die Zeitdilatation II

3 Übersicht über die OH-Folien Blatt 9 Blatt 30 Blatt 3 Blatt 3 Blatt 33 Blatt 34 Blatt 35 Blatt 36 Blatt 37 Blatt 38 Blatt 39 Blatt 40 Blatt 4 Blatt 4 Blatt 43 Blatt 44 Blatt 45 Blatt 46 Blatt 47 Blatt 48 Blatt 49 Blatt 50 Blatt 5 Blatt 5 Die Längenkontraktion Relativität I Relativität II Gleichzeitigkeit I Gleichzeitigkeit II Gleichzeitigkeit III Orthogonalität in der STA Beispiel orthogonaler Dirac-Vektoren I Beispiel orthogonaler Dirac-Vektoren II Basisvektoren in der STA Normierung der Basisvektoren Ereignisse in der Raumzeit Koordinatentransformationen in der STA Herleitung der Lorentz-Transformation Refleionen in der STA Beispiel einer räumlichen Refleion I Beispiel einer räumlichen Refleion II Beispiel einer raumzeitlichen Refleion I Beispiel einer raumzeitlichen Refleion II Rotationen in der STA Beispiel einer räumlichen Rotation I Beispiel einer räumlichen Rotation II Beispiel einer raumzeitlichen Rotation I Beispiel einer raumzeitlichen Rotation II 3

4 Blatt Vorbemerkungen Diese OH-Folien entstanden parallel zum zweistündigen Physikkurs für Mathematiker des Vertiefungsschwerpunktes Mathematik und Technik (MuT) im Wintersemester 009/00 an der Beuth-Hochschule für Technik Berlin, der für Studierende des Bachelor-Studiengangs Applied and Computational Mathematics als Pflichtmodul im 3. Studienplansemester vorgesehen ist. In dieser seminaristischen Lehrveranstaltung wird gemäß der Lernzielbeschreibung im Modulhandbuch an ausgewählten Kapiteln... die Denk- und Vorgehensweise naturwissenschaftlicher Erkenntnisgewinnung und Modellierung eemplarisch nachvollzogen. Dabei ist es wichtig, tatsächlich eemplarisch zu arbeiten, da in einem Semester fachliche Inhalte aus nahezu der gesamten Breite der Physik zu behandeln sind. Auch die Inhalte dieser OH-Folien konnten nicht vollständig im Kurs erörtert werden. Sie dienen somit auch dazu, interessierten Studentinnen und Studenten einen weiteren Einblick in die Spezielle Relativitätstheorie zu ermöglichen. 4

5 Blatt Grundlagen der GA Vorrelativistische Physik: Wir leben in einem dreidimensionalen Raum. Die Zeit wird als absolut und überall gleich aufgefasst. Wir konstruieren eine Algebra, die als Objekte die Grundbausteine unserer geometrischen Welt umfasst: - Skalare (dimensionslos) - Vektoren (eindimensional) - Orientierte Flächen, Bivektoren, Pseudovektoren (zweidimensional) - Orientierte Volumen, Trivektoren, Pseudoskalare (dreidimensional) Diese Algebra wird Geometrische Algebra (GA) bzw. Pauli-Algebra genannt. σ... räumlicher Basisvektor in -Richtung σ y... räumlicher Basisvektor in y-richtung σ z... räumlicher Basisvektor in z-richtung z y Normierung: σ = σ y = σ z = 5

6 Blatt 3 Basisflächen in der GA Positiv orientierte Einheitsfläche in der y-ebene: σ σ y σ σ y Zuerst ein Schritt in - Richtung, dann ein Schritt in y-richtung. Negativ orientierte Einheitsfläche in der y-ebene: σ σ y σ σ y Umgekehrte Orientierung: Zuerst ein Schritt in y-richtung, dann ein Schritt in -Richtung. Anti-Kommutativität: σ σ y = σ y σ σ y σ z = σ z σ y σ z σ = σ σ z Die Multiplikation ist assoziativ. 6

7 Blatt 4 Vektoren in der GA Linearkombinationen der Basisvektoren stellen in der Geometrischen Algebra Vektoren dar. Die Koeffizienten, y, z dieser Basisvektoren sind die Koordinaten von Ortsvektoren. Sie sind reell:, y, z R r der Zur Unterscheidung zwischen den Vektoren üblichen Vektoralgebra und den Pauli-Vektoren der Geometrischen Algebra werden die Pauli- Vektoren r einfach unterstrichen: r = σ + y σ y + z σ z z zσ z r y σ yσ y 7

8 Blatt 5 Länge eines Pauli-Vektors Länge (Betrag) eines Pauli-Vektors: r = r = r = (σ + σ + σ y y z z) = (σ + yσ y + z σz)(σ + yσ y + z σz ) = σ + yσ σ + zσ σ + yσ σ + y σ + yzσ σ + zσ σ + zyσ σ + z σ y z y y y z z z y z σ z σ σ σ y σ y σ z = + yσσ y zσσ z yσσ y + y + yzσσ y z + zσσ z yzσσ y z + z = + y + z Satz des Pythagoras 8

9 Blatt 6 Flächen in der GA Flächen lassen sich addieren! z yzσ y σ z y z yσ σ y A y A = y σ σ y + yz σ y σ z = y σ σ y zy σ z σ y = ( σ z σ z ) y σ y 9

10 Blatt 7 Volumina in der GA Positiv orientiertes Einheitsvolumen I: z σ z y I = σ σ y σ z σ y σ Zyklische Vertauschung ergibt: I = σ σ y σ z = σ y σ z σ = σ z σ σ y I = σ σ z σ y = σ z σ y σ = σ y σ z σ Pauli-Algebra: Dualität von Vektoren Bivektoren: σ σ y σ z I σ = σ σ y σ z σ = σ y σ z I σ y = σ σ y σ z σ y = σ z σ I σ z = σ σ y σ z σ z = σ σ y Orientierte Strecken und orientierte Flächen sind dual zueinander. 0

11 Blatt 8 Imaginäre Größen Quadrat des Einheitsvolumens: I = (σ σ y σ z ) = σ σ y σ z σ σ y σ z = σ σ y σ z = Quadrate der Einheitsflächen: (σ σ y ) = σ σ y σ σ y = σ σ y = ebenso: (σ y σ z ) = (σ z σ ) = Quaternionen (σ σ y )( σ y σ z ) = (σ z σ ) ( σ y σ z )(σ z σ ) = (σ σ y ) (σ z σ )(σ σ y ) = ( σ y σ z ) Der Raum, in dem wir leben, hat eine komplee Struktur! Die Objekte dieses Raums werden Multivektoren genannt: M = a + b σ + c σ y + d σ z + e σ σ y + f σ y σ z + g σ z σ + h σ σ y σ z Koeffizienten sind reell: a, b, c, d, e, f, g, h R

12 Blatt 9a Orthogonalität in der GA Zwei Pauli-Vektoren a und b a = a σ + a y σ y + a z σ z b = b σ + b y σ y + b z σ z stehen senkrecht aufeinander, wenn gilt: bzw.: <a b> 0 = 0 <a b> = a b Das Geometrische Produkt zweier orthogonaler Pauli-Vektoren ist ein reiner Bivektor. Blatt 9b Refleionen in der GA Einheitsvektor n: n = n σ + n y σ y + n z σ z Eine Refleion des Ortsvektors r an der auf n senkrecht stehenden Fläche ergibt den reflektierten Ortsvektor r : r = n r n

13 Blatt 0 Beispiel einer Refleion Ortsvektoren: r A = 5 σ r B = 4 σ + σ y Refleionsvektor: n = (σ + σ y ) Reflektierte Ortsvektoren: r A = (σ + σ y ) 5 σ (σ + σ y ) = 5 σ y r B = (σ + σ y ) (4 σ + σ y ) (σ + σ y ) = σ 4 σ y y n B X X A B X X A Refleionsebene 3

14 Blatt Rotationen in der GA Zwei hintereinander ausgeführte Refleionen ergeben eine Rotation. Zweiter Einheitsvektor m: m = m σ + m y σ y + m z σ z Eine zweite Refleion des bereits einmal reflektierten Ortsvektors r an der auf m senkrecht stehenden Fläche ergibt den gedrehten Ortsvektor r rot : r rot = m r m = m ( n r n) m = m n r n m r rot = R r R Das Produkt der beiden Einheitsvektoren n und m wird als Rotor R bezeichnet: R = m n und R = n m Eine Tilde zeigt eine Reihenfolgenumkehr an. Die Rotation wird in der durch n und m aufgespannnten Ebene durchgeführt. Der Rotationswinkel ist dabei doppelt so groß wie der von n und m eingeschlossene Winkel. 4

15 Blatt Beispiel einer Rotation Ortsvektoren: r A = 5 σ r A = 5 σ y r B = 4 σ + σ y r B = σ 4 σ y Zweiter Refleionsvektor: m = σ y Reflektierte Ortsvektoren: r A rot = σ y ( 5 σ y ) σ y = 5 σ y r B rot = σ y ( σ 4 σ y ) σ y = σ + 4 σ y y m n B X. Refleionsebene X A B X X A. Refleionsebene 5

16 Blatt 3 Grundlagen der STA I Relativistische Physik: Wir leben in einer vierdimensionalen Raumzeit mit drei Raum- und einer Zeitdimension. Die Zeit ist relativ und beobachterabhängig: Raum kann in Zeit und Zeit kann in Raum umgewandelt werden. Wir konstruieren eine Algebra, die als Objekte die geometrischen Grundbausteine unserer vierdimensionalen Welt umfasst: - Skalare (dimensionslos) - Vektoren (eindimensional) - Orientierte Flächen, Bivektoren, Pseudobivektoren (zweidimensional) - Orientierte Volumen, Trivektoren, Pseudovektoren (dreidimensional) - Orientierte Hypervolumen, Quadrovektoren, Pseudoskalare (vierdimensional) Diese Algebra wird Raumzeit-Algebra (engl. Spacetime Algebra, STA) bzw. Dirac-Algebra genannt. 6

17 Blatt 4 Geometrisierung der Zeit Damit die Transformation von zwischen Raum und Zeit mathematisch übersichtlicher dargestellt werden kann, ist es sinnvoll, räumliche Entfernungen (Strecken) und zeitliche Entfernungen (Zeitdauern) mit einem gleichen Maßstab, d. h. insbesondere gleichartiger Einheit, zu messen. Deshalb werden Zeitmessungen auf Längenmessungen zurückgeführt: Zeit, die ein Vorgang dauert Länge des Weges, den das Licht während dieser Zeit zurücklegt. t c t s Ls = Lichtsekunde km d Ld = Lichttag,6 0 3 m y Lj = Lichtjahr 9,5 0 5 m Diese Umrechnung ist insbesondere deshalb unproblematisch, da die Erfahrung zeigt: Licht hat in allen Inertialsystemen die gleiche Geschwindigkeit. 7

18 Blatt 5 Grundlagen der STA II γ t... zeitlicher Basisvektor γ... räumlicher Basisvektor in -Richtung γ y... räumlicher Basisvektor in y-richtung γ z... räumlicher Basisvektor in z-richtung Licht legt während der Zeitspanne ct die Strecke zurück: Im geometrisierten Koordinatensystem entspricht dies den Winkelhalbierenden. ct = Beträge (keine Vektoren!) ( ct ) = + ( ct ) = 0 Raum-Zeit-Intervall nach Minkowski Diese Vorzeichen finden sich in den Basisvektoren wieder. Normierung: ct γ t = γ = γ y = γ z = Weltlinie von Licht 8

19 Blatt 6 Basisflächen in der STA Positiv orientierte Einheitsfläche in der t-ebene: γ γ t γ γ t Zuerst ein Schritt in - Richtung, dann ein Schritt in die ct-richtung. Negativ orientierte Einheitsfläche in der t-ebene: γ γ t γ γ t Umgekehrte Orientierung: Zuerst ein Schritt in ct-richtung, dann ein Schritt in -Richtung. Anti-Kommutativität: γ γ y = γ y γ γ y γ z = γ z γ y γ z γ = γ γ z γ γ t = γ t γ γ y γ t = γ t γ y γ z γ t = γ t γ z Auch in der Raumzeit-Algebra (STA) ist die Multiplikation assoziativ. 9

20 Blatt 7 Vektoren in der STA Linearkombinationen der Basisvektoren stellen in der Raumzeit-Algebra Vektoren dar. Die Koeffizienten ct,, y, z dieser Basisvektoren sind die Koordinaten von Ortsvektoren. Sie sind reell: ct,, y, z R r der Zur Unterscheidung zwischen den Vektoren üblichen Vektoralgebra, den Pauli-Vektoren r der Geometrischen Algebra und den Dirac-Vektoren der Raumzeit-Algebra werden die Dirac-Vektoren r doppelt unterstrichen: r = c t γ t + γ + y γ y + z γ z Die graphische Darstellung allerdings bereitet Probleme : ct z r ctγ t zγ z y γ yγ y 0

21 Blatt 8 Länge eines Dirac-Vektors Länge (Betrag) eines Dirac-Vektors für zeitartige Abstände (r > 0): r = r = = r (ctγ+ γ + yγ+ z γ ) t y z = t y z t y z = = ( (ctγ+ γ+ yγ + z γ)(ctγ+ γ+ yγ + z γ) (ct) γ + ctγ γ + ctyγ γ + ctzγ γ + ctγ γ + γ + yγ γ + zγ γ t t t y t z t y z + yctγγ+ yγγ + y γ + yzγγ + zctγγ+ zγγ + zyγγ + z γ y t y y y z z t z z y z γ y γ z (ct) y z Relativistischer Pythagoras ) /

22 Blatt 9 Raum-Zeit-Intervall Um Vorzeichenprobleme bei raumartigen Abständen (r < 0) zu vermeiden, arbeitet man generell mit dem Raum-Zeit-Intervall: r = r = r = (c t γ t + γ + y γ y + z γ z ) = (c t) y z Zwei Ereignisse, die durch raumartige Abstände (r < 0) voneinander getrennt sind, liegen innerhalb des Lichtkegels. Sie sind kausal miteinander verknüpfbar. Zwei Ereignisse, die durch lichtartige Abstände (r = 0) voneinander getrennt sind, liegen auf dem Lichtkegel. Von dem zeitlich früheren Ereignis ausgesandte Photonen erreichten das zeitlich spätere Ereignis. Zwei Ereignisse, die durch zeitartige Abstände (r > 0) voneinander getrennt sind, liegen außerhalb des Lichtkegels. Sie sind nicht kausal miteinander verknüpfbar.

23 Blatt 0 Allgemeine Definition des Raum-Zeit-Intervalls Auf Folie 8 ist der Spezialfall eines Raum-Zeit-Intervalls dargestellt, da lediglich das Quadrat des Abstands eines Raumzeit-Punktes vom Ursprung des Koordinatensystems betrachtet wurde. Im allgemeinen Fall wird das Raum-Zeit-Intervall jedoch als Quadrat des raumzeitlichen Abstands zweier Punkte P und P aufgefasst: Δr = (r r ) = [c t γ t + γ + y γ y + z γ z (c t γ t + γ + y γ y + z γ z )] = [(c t c t ) γ t + ( ) γ + (y y ) γ y + (z z ) γ z )] = (c t c t ) ( ) (y y ) (z z ) = (Δct) (Δ) (Δy) (Δz) = Δct Δ Δy Δz Zum Vergleich: Allgemeine Definition eines räumlichen Abstands: Δr = (r r ) = [( ) σ + (y y ) σ y + (z z ) σ z )] = (Δ) + (Δy) + (Δz) = Δ + Δy + Δz 4

24 Blatt Hypervolumen in der der STA Positiv orientiertes Einheits-Hypervolumen I: I = γ t γ γ y γ z = γ t γ y γ z γ = γ t γ z γ γ y = γ γ y γ t γ z = γ y γ z γ t γ = γ z γ γ t γ y = γ γ t γ z γ y = γ y γ t γ γ z = γ z γ t γ y γ = γ γ z γ y γ t = γ y γ γ z γ t = γ z γ y γ γ t Negativ orientiertes Einheits-Hypervolumen I: I = γ γ t γ y γ z = γ y γ t γ z γ = γ z γ t γ γ y = γ y γ γ t γ z = γ z γ y γ t γ = γ γ z γ t γ y = γ t γ γ z γ y = γ t γ y γ γ z = γ t γ z γ y γ = γ z γ γ y γ t = γ γ y γ z γ t = γ y γ z γ γ t Dirac-Algebra: Dualität von Vektoren Trivektoren: γ t γ γ y γ z I γ t = γ t γ γ y γ z γ t = γ γ y γ z I γ = γ t γ γ y γ z γ = γ t γ y γ z I γ y = γ t γ γ y γ z γ y = γ t γ z γ I γ = γ t γ γ y γ z γ z = γ t γ γ y Orientierte Strecken und orientierte Volumina sind dual zueinander. 5

25 Blatt Imaginäre Größen in der STA Quadrat des vierdimensionalen Einheits- Hypervolumens: I = (γ t γ γ y γ z ) = γ t γ γ y γ z γ t γ γ y γ z = + γ t γ γ y γ z = Quadrate dreidimensionaler Einheitsvolumina: (γ t γ γ y ) = (γ t γ y γ z ) = (γ t γ z γ ) = (γ γ y γ z ) = Quadrate zweidimensionaler Einheitsflächen: (γ t γ ) = (γ t γ y ) = (γ t γ z ) = (γ γ y ) = (γ y γ z ) = (γ z γ ) = Der Raum, in dem wir leben, enthält eine komplee Struktur. 6

26 Blatt 3 Multivektoren in der STA Die geometrischen Objekte der vierdimensionalen Raumzeit, in der wir leben, werden Multivektoren genannt. Multivektoren sind Linearkombinationen des Skalars der Länge eins, der vier Basisvektoren, der sechs Einheitsflächen (Basisbivektoren), der vier Einheitsvolumina (Basistrivektoren) und des Einheits-Hypervolumens. M = a + b γ t + b γ + b 3 γ y + b 4 γ z + c γ t γ + c γ t γ y + c 3 γ t γ z + c 4 γ γ y + c 5 γ y γ z + c 6 γ z γ + d γ t γ γ y + d γ t γ y γ z + d 3 γ t γ z γ + d 4 γ γ y γ z + e γ t γ γ y γ z Alle Koeffizienten sind reell: a, b i, c i, d i, e R Die vierdimensionale Raumzeit wird somit durch insgesamt 4 = 6 Elemente aufgespannt, während der dreidimensionale Raum nur durch 3 = 8 Elemente aufgespannt wird. 7

27 Blatt 4 Weltlinien Gegeben sei das Koordinatensystem eines ruhenden Beobachters. Die Weltlinie des ruhenden Beobachters in seinem eigenen Koordinatensystem entspricht der zeitlichen ct-achse, da er sich immer am Ort = y = z = 0 befindet. ct Weltlinie des Beobachters Weltlinie der Rakete, die vom Beob- P achter zum Stern fliegt Δct Weltlinie von Licht P Δ Weltlinie des Sterns 8

28 Blatt 5 Geschwindigkeiten Die Weltlinie eines relativ zum Beobachter ruhenden Körpers (beispielsweise ein entfernter Stern) ist eine Parallele zur Zeitachse des Beobachter-Koordinatensystems, da ein ruhender Körper relativ zum Beobachter immer einen konstanten Abstand (, y, z = const) hat. Die Weltlinie eines relativ zum Beobachter mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegten Körpers (beispielsweise einer schnell fliegenden Rakete) ist eine Gerade. Ihre Geschwindigkeit berechnet sich mit Hilfe des Steigungsdreiecks zu: Δ v Rakete = c = c Δct ct ct Die Weltlinie eines Photons, das sich in -Richtung bewegt, ist die Diagonale der ct--fläche. Die Weltlinien von Licht liegen auf dem Lichtkegel, der die Gesamtheit aller Diagonalen bildet. Δ ct ct v Licht = c = c = c = c Δct ct ct ct ct 9

29 Blatt 6 Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls Im dreidimensionalen Raum ist der räumliche Abstand (bezüglich Translationen und Rotationen) invariant: Δr = Δ + Δy + Δz = const In der vierdimensionalen Raumzeit ist der raumzeitliche Abstand (bezüglich Translationen und Rotationen) invariant: Δr = Δct Δ Δy Δz = const Die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls bildet die aiomatische Grundlage der Speziellen Relativitätstheorie. Voraussetzung für deren Gültigkeit ist die Homogenität von Raum und Zeit, die Isotropie des Raumes und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Dabei betrachtet man nur unbeschleunigte Koordinatensysteme, die sich mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit zueinander bewegen. Solche unbeschleunigten Koordinatensysteme werden Inertialsysteme genannt. 30

30 Blatt 7 Die Zeitdilatation I Aus der Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls folgt direkt die Zeitdilatation. Bewegt sich ein Objekt im Inertialsystem eines Beobachters (ungestrichenes Koordinatensystem) mit einer konstanten Geschwindigkeit in -Richtung vom Ursprung zum Punkt c t γ t + γ, so hat das Objekt im eigenen Inertialsystem (gestrichenes Koordinatensystem) immer die gleiche Ortskoordinate = 0. Δr = Δr (c t γ t + γ ) = (c t γ t + γ ) (c t) γ t + γ = (c t ) γ t (c t) = (c t ) t = t ct gemischte Terme entfallen da v = t v t = t c Während des Flugs der Rakete vom Ursprung r = 0 γ t + 0 γ zum Punkt r = c t γ t + γ vergeht für die Raketenbesatzung eine kürzere Zeit als für die zurückbleibenden Beobachter. 3

31 Blatt 8 Die Zeitdilatation II Aus der Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls folgt direkt die Zeitdilatation. Im allgemeinen Fall bewegt sich ein Objekt im ungestrichenen Inertialsystem vom Punkt r = c t γ t + γ + y γ y + z γ z zum Punkt r = c t γ t + γ + y γ y + z γ z. Δr = Δr (Δctγ t + Δγ + Δyγ y + Δzγ z ) = (Δct γ t + Δ γ + Δy γ y + Δz γ z ) 0 Δct Δ Δy Δz = Δc t Δt Δ +Δ y +Δz = Δt c Δt Δt v c = Δt da v Δl = Δ t Δ +Δ y + Δz = Δt Während des Flugs der Rakete vom Punkt r zum Punkt r vergeht für die Raketenbesatzung eine kürzere Zeit als für die zurückbleibenden Beobachter. 3

32 Blatt 9 Die Längenkontraktion Während des Flugs der Rakete vom Ursprung r = 0 γ t + 0 γ zum Punkt r = c t γ t + γ bewegt sich die Rakete aus Sicht der zurückbleibenden Δ Beobachter mit der Geschwindigkeit v =. Umgekehrt entfernen sich im Inertialsystem der Rakete die zurückbleibenden Beobachter mit Δ' der gleichen Geschwindigkeit v = in ent- Δt' gegengesetzter Richtung. Die Beträge der Relativgeschwindigkeiten sind gleich groß: v = v. Da die Raketenbesatzung bei gleicher Geschwindigkeit eine kürzere Zeit misst, muss sie auch einen kürzeren Weg messen! Δt Δ = v Δt = v Δt v c = Δ v c Während des Flugs der Rakete vom Ursprung r = 0 γ t + 0 γ zum Punkt r = c t γ t + γ misst die Raketenbesatzung eine kürzere Wegstrecke Δ als die zurückbleibenden Beobachter, die die Δ' längere Wegstrecke messen. v c 33

33 Blatt 30 Relativität I Während des Flugs der Rakete im Inertialsystem der zurückbleibenden Beobachter vom Ursprung r = 0 γ t + 0 γ zum Punkt r = c t γ t + γ vergeht für die Raketenbesatzung weniger Zeit als für die zurückbleibenden Beobachter in ihrem Inertialsystem, die sich in ihrem Inertialsystem zum Punkt r 3 = c t γ t + 0 γ bewegen. Der gleiche Flug wird von der Raketenbesatzung in ihrem eigenen Inertialsystem als Flug vom Ursprung r = 0 γ t + 0 γ zum Punkt r = c t γ t + 0 γ wahrgenommen, wobei sich die zurückbleibenden Beobachter währenddessen im Inertialsystem der Raketenbesatzung vom Ursprung r = 0 γ t + 0 γ zum Punkt r 3 = c t γ t γ bewegen. Dabei vergeht für die zurückbleibenden Beobachter weniger Zeit als für die Raketenbesatzung, denn es gilt: Δr = Δr (c t γ t + 0 γ ) = (c t γ t + γ ) (c t) = (c t ) t = t v c 34

34 Blatt 3 Relativität II Die Bewegungsabläufe sind somit in beiden Inertialsystemen gleichermaßen relativ. Es vergeht jeweils für die bewegten Objekte weniger Zeit als für ruhende Objekte. Im Inertialsystem der Raketenbesatzung vergeht für die zurückbleibenden Beobachter während des Fluges der Rakete weniger Zeit, da sich die zurückbleibenden Beobachter im Inertialsystem der Raketenbesatzung bewegen. Im Inertialsystem der zurückbleibenden Beobachter vergeht für die Raketenbesatzung während des Fluges der Rakete (also während des gleichen Vorgangs!) weniger Zeit, da sich die Raketenbesatzung im Inertialsystem der zurückbleibenden Beobachter bewegt. Dies ist kein Widerspruch. Alle Zeitangaben werden auch so gemessen. Grund für dieses scheinbare Paradoon ist, dass die beiden Punkte r 3 und r 3 nicht übereinstimmen. 35

35 Blatt 3 Gleichzeitigkeit I Im Inertialsystem der zurückbleibenden Beobachter sind alle Ereignisse, die auf Parallelen zur -Achse liegen, gleichzeitig. Im Inertialsystem der zurückbleibenden Beobachter finden also die beiden Ereignisse an den Punkten P und P 3 gleichzeitig statt. ct Weltlinie des Beobachters P 3 P = P X Weltlinie der Rakete, die vom Beobachter zum Stern fliegt X Weltlinie von Licht Weltlinie des Sterns P = P X 36

36 Blatt 33 Gleichzeitigkeit II Im Inertialsystem der Raketenbesatzung finden die beiden Ereignisse an den Punkten P = P und P 3 gleichzeitig statt. ct ct Weltlinie des Beobachters P 3 P = P X X Weltlinie von Licht P 3 X Weltlinie der Rakete P = P X Weltlinie des Sterns Die räumliche Koordinatenachse des Inertialsystems der Rakete ist zur Weltlinie von Licht hin gekippt. 37

37 Blatt 34 Gleichzeitigkeit III Zweidimensionale Formulierung: (Eine räumliche und eine zeitliche Koordinatenachse) Im jedem Inertialsystem sind alle Ereignisse, die auf Parallelen zur räumlichen Achse liegen, gleichzeitig. Dreidimensionale Formulierung: (Zwei räumliche und eine zeitliche Koordinatenachse) Im jedem Inertialsystem sind alle Ereignisse, die auf einer parallel zu der von den beiden räumlichen Achsen aufgespannten Ebene liegen, gleichzeitig. Allgemeine Formulierung im vierdimensionalen Fall: (Drei räumliche und eine zeitliche Koordinatenachse) Im jedem Inertialsystem sind alle Ereignisse, die in einem parallel zu dem von den drei räumlichen Achsen aufgespanntem Raum liegen, gleichzeitig. Für die Koordinatenachsen gilt: = y = z = 0 ct-achse t = 0 und y = z = 0 -Achse t = 0 und z = = 0 y-achse t = 0 und = y = 0 z-achse 38

38 Blatt 35 Orthogonalität in der STA Zwei Dirac-Vektoren a und b a = a 0 γ t + a γ + a γ y + a 3 γ z b = b 0 γ t + b γ + b γ y + b 3 γ z stehen senkrecht aufeinander, wenn gilt: bzw.: <a b> 0 = 0 <a b> = a b Das Geometrische Produkt zweier orthogonaler Dirac-Vektoren ist ein reiner Bivektor. Achtung: In einer graphischen Darstellung erscheinen orthogonale Dirac-Vektoren symmetrisch zur Weltlinie von Licht gekippt. Beispiel: Welche der folgenden Dirac-Vektoren a = a 0 γ t + a γ b = a γ t + a 0 γ c = a γ t + a 0 γ stehen senkrecht aufeinander? 39

39 Blatt 36 Beispiel orthogonaler Vektoren I a 0 ct Weltlinie von Licht a a c b a a 0 a Rechnerische Überprüfung der Orthogonalität: a c = (a 0 γ t + a γ ) ( a γ t + a 0 γ ) = a 0 a γ t + a 0 γ t γ a γ γ t + a a 0 γ = a 0 a + a 0 γ t γ + a γ t γ a a 0 = a 0 a + (a 0 + a ) γ t γ <a c> 0 = a 0 a 0 bzw.: <a c> = (a 0 + a ) γ t γ a c Die Dirac-Vektoren a und c stehen nicht senkrecht aufeinander! 40

40 Blatt 37 Beispiel orthogonaler Vektoren II Fortsetzung der rechnerischen Überprüfung der Orthogonalität: a b = (a 0 γ t + a γ ) (a γ t + a 0 γ ) = a 0 a γ t + a 0 γ t γ + a γ γ t + a a 0 γ = a 0 a + a 0 γ t γ a γ t γ a a 0 = (a 0 a ) γ t γ <a b> 0 = 0 bzw.: <a b> = (a 0 a ) γ t γ = a b Das Geometrische Produkt der beiden Dirac- Vektoren a und b ist ein reiner Bivektor! Der skalare Anteil dieses Produktes ist Null. Obwohl in der Zeichnung der rote Dirac-Vektor a und der grüne Dirac-Vektor c den Anschein vermitteln, orthogonal zueinander zu stehen, zeigt die rechnerische Überprüfung, dass der rote Dirac-Vektor a und der blaue Dirac-Vektor b senkrecht aufeinander stehen. 4

41 Blatt 38 Basisvektoren in der STA Vier orthogonal zueinander stehende Dirac- Einheitsvektoren können eine Basis der Raumzeit bilden. Üblicherweise wählt man dafür einen zeitartigen und drei raumartige Dirac-Einheitsvektoren. Drei unterschiedliche Basen der Raumzeit sind im folgenden Diagramm farblich unterschiedlich markiert. ct ct ct Weltlinie von Licht Einheitshyperbel γ t γ t γ γ t γ γ Punkte gleicher Entfernung vom Ursprung (hier: Einheitsradius mit r = ) liegen nicht auf einem Kreis, sondern auf einer Hyperbel. 4

42 Blatt 39 Normierung der Basisvektoren Da sich das gestrichene Inertialsystem in Bezug auf das ungestrichenen Inertialsystem mit der Relativgeschwindigkeit v bewegt, lauten die Koordinaten beliebiger Dirac-Vektoren, die parallel zu den gestrichenen Basisvektoren liegen: r t = ct γ t + vt γ r = vt γ t + ct γ Beträge dieser Richtungsvektoren: r i = r i = (ct) (vt) = ct v c Aufgrund der Normierung zu γ t = und γ = erhält man die Basisvektoren, indem man die Richtungsvektoren durch ihre Länge dividiert: v γ t + γ c v c γ t = γ = Diese Normierung wird auch hyperbolische Normierung genannt. v c γ +γ t v c 43

43 Blatt 40 Ereignisse in der Raumzeit Unsere Welt wird geometrisch durch die vierdimensionale Raumzeit determiniert. Diese Raumzeit ist die Bühne, auf der sich (im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie) alles abspielt. Physikalisch wird unsere Welt durch Ereignisse determiniert (z.b.: Ein Elementarteilchen zerfällt; ein Photon wird absorbiert; eine Supernova leuchtet auf; etc...). Diese Ereignisse sind absolut und (sobald sie einmal passiert sind) unabänderlich. Relativ ist jedoch unser Blick auf diese Ereignisse. Wir können sie in unterschiedlichen Koordinatensystemen beschreiben: Zeitkoordinate im ungestrichenen Inertialsystem ct ct X E Weltlinie von Licht Zeitkoordinate im gestrichenen Inertialsystem -Koordinate im gestrichenen Inertialsystem -Koordinate im ungestrichenen Inertialsystem 44

44 Blatt 4 Koordinatentransformationen in der STA Das Ereignis E hat den Dirac-Ortsvektor r im ungestrichenen Inertialsystem und den Dirac- Ortsvektor r im gestrichenen Inertialsystem. Da die Inertialsysteme so gewählt wurden, dass ihr Ursprung zusammenfällt, sind diese Dirac- Ortsvektoren identisch: r = r Damit lässt sich die Transformation zwischen den beiden Inertialsystemen ermitteln. Sie wird Lorentz-Transformation genannt. Man unterscheidet aktive und passive Transformationen. Bei einer aktiven Transformation wird ein Ereignis innerhalb eines einzigen Koordinatensystems von einer Ausgangsposition auf eine Endposition transformiert. Bei einer passiven Transformation wird dagegen das Koordinatensystem transformiert. Die Herleitung auf der folgenden Folie ist somit eine passive Transformation. In den später folgenden Folien wird dann die aktive Transformation (in Form einer Rotation) behandelt. 45

45 Blatt 4 Herleitung der Lorentz-Transformation Dirac-Ortsvektor des Ereignisses E im gestrichenen Inertialsystem: r = ct γ t + γ v γ t + γ c v c = ct + 'v ct ' + c v c = γ t + γ ct Der Vergleich mit dem Dirac-Ortsvektor des Ereignisses E im ungestrichenen Inertialsystem r = ct γ t + γ führt auf die Lorentz-Transformation: v c γ +γ t ' + vt' v c v c 'v t' + c v c t = = ' + vt' v c 46

46 Blatt 43 Refleionen in der STA Einheitsvektor n: n = n t γ t + n γ + n y γ y + n z γ z Eine Refleion des Dirac-Vektors r am auf n senkrecht stehenden Volumen ergibt den reflektierten Dirac-Vektor r : r = n r n bei zeitartigen Einheitsvektoren mit n = r = + n r n bei raumartigen Einheitsvektoren mit n = 47

47 Blatt 44 Beispiel einer räumlichen Refleion I Dirac-Ortsvektoren: r A = 5 γ y + 4 γ z r B = 4 γ y + 4 γ z Refleionsvektor: n = (3 γ y + γ z ) (n = raumartig) Reflektierte Dirac-Ortsvektoren: r A = (3 γ y + γ z ) (5 γ y + 4 γ z ) (3 γ y + γ z ) 0 0 = ( γ y γ z ) (3 γ y + γ z ) 0 = ( 64 γ y + γ z ) = 6,4 γ y + 0, γ z r B = (3 γ y + γ z ) (4 γ y + 4 γ z ) (3 γ y + γ z ) 0 0 = ( γ y γ z ) (3 γ y + γ z ) 0 = ( 56 γ y + 8 γ z ) = 5,6 γ y + 0,8 γ z Probe: (5 γ y + 4 γ z ) = ( 6,4 γ y + 0, γ z ) = 4 (4 γ y + 4 γ z ) = ( 5,6 γ y + 0,8 γ z ) = 3 48

48 Blatt 45 Beispiel einer räumlichen Refleion II r A = 5 γ y + 4 γ z r B = 4 γ y + 4 γ z n = 0 (3 γ y + γ z ) r A = 6,4 γ y + 0, γ z r B = 5,6 γ y + 0,8 γ z y A B n z.refleionsebene A B 49

49 Blatt 46 Beispiel einer raumzeitlichen Refleion I Dirac-Ortsvektoren: r A = 5 γ t + 4 γ r B = 4 γ t + 4 γ Refleionsvektor: n = (3 γ t + γ ) (n = + zeitartig) Reflektierte Dirac-Ortsvektoren: r A = (3 γ t + γ ) (5 γ t + 4 γ ) (3 γ t + γ ) = ( + 7 γ t γ ) (3 γ t + γ ) 8 = ( 6 γ t + 0 γ ) = 3,5 γ t +,5 γ r B = (3 γ t + γ ) (4 γ t + 4 γ ) (3 γ t + γ ) = (8 + 8 γ t γ ) (3 γ t + γ ) = ( 6 γ t + 6 γ ) = γ t + γ Probe: (5 γ t + 4 γ ) = ( 3,5 γ t +,5 γ ) = 9 (4 γ t + 4 γ ) = ( γ t + γ ) = 0 50

50 Blatt 47 Beispiel einer raumzeitlichen Refleion II r A = 5 γ t + 4 γ r B = 4 γ t + 4 γ n = 8 (3 γ t + γ ) r A = 3,5 γ t +,5 γ r B = γ t + γ ct A B n.refleionsebene A B 5

51 Blatt 48 Rotationen in der STA Zwei hintereinander ausgeführte Refleionen ergeben eine Rotation. Zweiter Einheitsvektor m: m = m t γ t + m γ + m y γ y + m z γ z Eine zweite Refleion des bereits einmal reflektierten Dirac-Vektors r am auf m senkrecht stehenden Volumen ergibt den gedrehten Dirac- Vektor r rot : r rot = m r m bei zeitartigen Einheitsvektoren mit m = r rot = + m r m bei raumartigen Einheitsvektoren mit m = Damit ergibt sich als Rotorgleichung: r rot = m r m = m ( n r n) m = m n r n m r rot = R r R wenn m und n beide raumartig oder beide zeitartig r rot = m n r n m r rot = R r R wenn m raumartig und n zeitartig oder umgekehrt 5

52 Blatt 49 Beispiel einer räumlichen Rotation I Dirac-Orts- r A = 5 γ y + 4 γ z r A = 6,4 γ y + 0, γ z vektoren: r B = 4 γ y + 4 γ z r B = 5,6 γ y + 0,8 γ z Zweiter Refleionsvektor: m = γ y (m = raumartig) Zweifach reflektierte Dirac-Ortsvektoren: r Arot = 0 0 γ y ( 64 γ y + γ z ) γ y = (64 + γ y γ z ) γ y 0 = (64 γ y + γ z ) = 6,4 γ y + 0, γ z r Brot = 0 γ y ( 56 γ y + 8 γ z ) γ y 0 = ( γ y γ z ) γ y 0 = (56 γ y + 8 γ z ) = 5,6 γ y + 0,8 γ z Probe: (5 γ y + 4 γ z ) = (6,4 γ y + 0, γ z ) = 4 (4 γ y + 4 γ z ) = (5,6 γ y + 0,8 γ z ) = 3 53

53 Blatt 50 Beispiel einer räumlichen Rotation II r A = 5 γ y + 4 γ z r B = 4 γ y + 4 γ z y A rot B rot n = r Arot = 6,4 γ y + 0, γ z r Brot = 5,6 γ y + 0,8 γ z 0 (3 γ y + γ z ) und m = γ y Kreisbogen! A B. Refleionsebene m n z.refleionsebene A B 54

54 Blatt 5 Beispiel einer raumzeitlichen Rotation I Dirac-Orts- r A = 5 γ t + 4 γ r A = 3,5 γ t +,5 γ vektoren: r B = 4 γ t + 4 γ r B = γ t + γ Zweiter Refleionsvektor: m = γ t (m = + zeitartig) Zweifach reflektierte Dirac-Ortsvektoren: r Arot = γ t ( 6 γ t + 0 γ ) γ t = ( γ t γ ) γ t = (6 γ t + 0 γ ) = 3,5 γ t +,5 γ r Brot = γ t ( γ t + γ ) γ t = ( γ t γ ) γ t = γ t + γ Probe: (5 γ t + 4 γ ) = (3,5 γ t +,5 γ ) = 9 (4 γ t + 4 γ ) = ( γ t + γ ) = 0 55

55 Blatt 5 Beispiel einer raumzeitlichen Rotation II r A = 5 γ t + 4 γ r B = 4 γ t + 4 γ Hyperbel! ct r Arot = 3,5 γ t +,5 γ r Brot = γ t + γ n = 8 A (3 γ t + γ ) und m = γ t A rot B. Refleionsebene m n B rot B.Refleionsebene A 56