6. Spezielle Relativitätstheorie

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1 6. Spezielle Relativitätstheorie 6.1. Inertialsysteme und Gallilei-Transformation Newton: Es gibt einen absolut ruhenden Raum Weltäther Es gibt eine absolute (universelle) Zeit Gleichförmig im Weltäther bewegt Inertialsysteme Bewegungsgleichung in Inertialsystemen: Wechsel Inertialsystem: Relativgeschwindigkeit Objekt A System S z y Beobachter B x System Sʹ zʹ yʹ Beobachter Bʹ xʹ Galilei-Transformation

2 Objekt A System S z System Sʹ zʹ yʹ Galilei-Transformation y Beobachter B x Beobachter Bʹ xʹ Geschwindigkeit von A: Beschleunigung von A:

3 Objekt A System S z System Sʹ zʹ yʹ Galilei-Transformation y Beobachter B x Beobachter Bʹ xʹ Folgerungen: Beschleunigungen (und Kräfte) identisch in S und Sʹ Es ist unmöglich zu entscheiden welches System ruht oder sich bewegt In verschiedenen Inertialsystemen haben die physikalischen Gesetze (Bewegungsgleichungen) dieselbe Form

4 6.2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Ätherhypothese Lichtgeschwindigkeit c ist abhängig vom Inertialsystem Messung c 1 1 Erdbahn Erwartung: Beobachtung: Sonne 2 Messung c 2 Licht eines Sterns Äther existiert nicht!

5 Ende der Ätherhypothese: Das Michelson-Morley-Experiment Drehbares Interferometer Laser Wellenlänge λ L M 0 : halbdurchlässiger Spiegel Spiegel M2 M 0 L Fernrohr / Detektor M 1 Spiegel Originalapparatur: L eff 1 10 m Relativgeschwindigkeit zum ruhenden Äther Interferenz- Streifen Vorhersage (Newton): Interferenzstreifen verschieben sich bei Drehung Vorhersage (Einstein): Interferenzstreifen unabhängig von Orientierung

6 Spiegel M 2 Laser Wellenlänge λ L M0 L M 1 Spiegel Fernrohr / Detektor M 0 M 1 M 0 M 1 M 0 : mit Bezeichnung:

7 Spiegel M 2 Laser Wellenlänge λ L M0 L M 1 Spiegel M 0 M 2 M 0 Fernrohr / Detektor M 0 M 2 M 0 :

8 Spiegel M 2 M 0 M 1 M 0 : Laser Wellenlänge λ L M0 L M 1 Spiegel M 0 M 2 M 0 : Fernrohr / Detektor Laufzeitdifferenz: Nach Drehung um 90 : Verschiebung der Laufzeitdifferenz bei Drehung:

9 Spiegel M 2 Laser Wellenlänge λ L M0 L M 1 Spiegel Fernrohr / Detektor

10 Interferenzstreifen Interferenzmuster wandert um N Streifenbreiten, mit: Periode Frequenz Wellenlänge Zahlen für Originalapparatur (Beobachtung über ein volles Jahr): Beobachtung negativ Ende der Ätherhypothese

11 6.3. Lorentz-Transformation Ab jetzt: Relativgeschwindigkeit z zʹ entlang x-achse: A y x yʹ xʹ Identische Uhren in O und Oʹ, synchronisiert bei O = Oʹ Galilei-Transformation Ansatz: lineare Transformation

12 z zʹ A y x yʹ xʹ Galilei-Transformation Ansatz: lineare Transformation

13 z zʹ A y x yʹ xʹ Differenz zweier Koordinaten bei festem t: Nach Spiegelung der x-achsen:

14 z zʹ A y x yʹ xʹ Im gleichberechtigten Inertialsystem Oʹ muss sich dasselbe Ergebnis ergeben mit invertierter Geschwindigkeit

15 z zʹ A y x yʹ xʹ Lichtblitz aus O = Oʹ in x-richtung Lichtgeschwindigkeit c ist in allen Systemen gleich

16 z zʹ A y x yʹ xʹ

17 z zʹ A y x yʹ xʹ Lorentz-Transformation:

18 Beispiel: Geschwindigkeitsaddition z zʹ A S y x Sʹ yʹ xʹ Geschwindigkeit von A in S: Geschwindigkeit von A in Sʹ:

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20 Spezialfall 1: Spezialfall 2: wie bei Galilei-Transformation

21 6.4. Einfache Konsequenzen Zeitdilatation z zʹ fester Ort in Sʹ 2 Ereignisse hier bei S y x Sʹ yʹ xʹ S: Ereignisse an verschiedenen Orten x 01, x 02 Zeitintervall in S ist größer als das in Sʹ: Zeitdilatation Eigenzeit (Zeit im eigenen Ruhesystem)

22 Längenkontraktion ruhend in Sʹ z zʹ S y x Sʹ yʹ xʹ Länge des Stabes in Sʹ (Ruhelänge): Messe Endpunktkoordinaten in S zur Zeit t: Längenkontraktion Ruhelänge (Länge des Maßstabs im eigenen Ruhesystem)

23 Gleichzeitigkeit S z y A Lichtblitz A, B feste Uhren in S; C mittig zwischen A, B Synchronisierung durch Lichtblitz von C Ereignisse in A und B gleichzeitig, falls System Sʹ: C B x Gleichzeitigkeit ist systemabhängig!

24 Dopplereffekt a) Schallwellen:,,Schalläther Schallgeschw. im Medium (Luft, Festkörper, ) = c S Physik 1 Quelle bewegt Beobachter bewegt T T λ λ c S Q (ν) B Q B Dopplereffekt hängt von Absolutbewegung der Quelle ab!

25 b) Licht: Nur Relativgeschwindigkeit zählt (ex. kein Äther) y S z zʹ yʹ Sʹ xʹ Ebene Welle im Quellsystem S in x-richtung laufend: Welle im Empfängersystem Sʹ:

26 S z y zʹ yʹ Sʹ xʹ

27 Experimenteller Test: Myon-Zerfall Im stochastischen Mittel gilt: #(Zerfälle während Δt) N(t) Δt S z y x N 1 instabile Teilchen Folgerung: Zerfallskonstante τ = 1/λ heißt Lebensdauer der Teilchen τ ist die mittlere Zeit bis zum Zerfall eines Teilchens, gemessen ab irgendeinem Zeitpunkt ganz egal, wie lange das Teilchen bis dahin schon überstanden hat.

28 Beispiel: Kosmische Myonen kosmische Strahlen (Protonen, Kerne) Wechselwirkung in der Atmosphäre h 40 km Teilchenkaskaden; enthalten u.a. Myonen

29 Messung der Lebensdauer des Myons (F-Praktikum) Myon-Zerfall: Zähle viele Zerfälle: μ ± Neutrinos (hier nicht nachweisbar) Δt lnn Geraden- Anpassung Koinzidenz Trigger Veto e ± Szintillatoren Photomultiplier t Steigung Δt Resultat: mittlere Zerfallsdauer des Myons in seinem Ruhesystem

30 Beobachtungen für kosmische Myonen: Problem: Lösung aus Sicht des Myons: Die Flugstrecke (Maßstab) ist längenkontrahiert Lösung aus Sicht Experimentators: Die Zerfallszeit des Myons ist zeitdilatiert

31 6.5. Relativistische Dynamik Bisher:Lorentz-kovariante Formulierung der Kinematik Nun: Lorentz-kovariante Formulierung der Dynamik Relativistischer Impuls Newtonscher Impuls: Galilei-Transformation: Objekt A System S z System Sʹ zʹ yʹ y Beobachter B x Beobachter Bʹ xʹ Ist der Gesamtimpuls eines Systems von Massenpunkten in einem Inertialsystem erhalten, so auch in jedem anderen!

32 Lorentz-Transformation: Beispiel: z zʹ S y x Sʹ yʹ xʹ -abhängige Streckung von Die relativistische Zeittransformation zerstört die Systemunabhängigkeit der Erhaltung des Impulses der Newtonschen Mechanik!

33 Lösung: Messe für jede Masse m die Zeit im eigenen Ruhesystem Eigenzeit τ Definition: Relativistischer Impuls Zeitdilatation Probe: Relativistischer Impuls geht bei kleinen Geschwindigkeiten in den Newtonschen Impuls über!

34 Probe: Lorentz-Transformation z zʹ S y x Sʹ yʹ xʹ Impulserhaltung senkrecht zur Transformationsrichtung bleibt bestehen. Lorentz-Transformationsformel mit x p x, ct E/c und

35 Betrachte Massen m i in abgeschlossenem System. Impulserhaltung in S z zʹ In Sʹ: S y x Sʹ yʹ xʹ const. const.? Die Impulserhaltung in Sʹ folgt nur, falls es eine zweite Erhaltungsgröße gibt:... Ist E i die Energie von m i?

36 Relativistische Energie Relativistische Bewegungsgleichung: Betrachte Beschleunigung durch Kraft in x-richtung: m m x F verrichtet Arbeit W, die in kinetische Energie E kin des Massenpunktes übergeht.

37 m m x

38 m m x

39 Relativistische Energie: Ruheenergie von m: Kinetische Energie: Folgerung: In abgeschlossenem System (keine äußeren Kräfte) ist die relativistische Energie erhalten. Die kinetische Energie ist erhalten, wenn die Massen im System sich nicht ändern! Newtonscher Grenzfall: Newtonsche Physik wird reproduziert

40 Die Energie-Impuls-Verknüpfung (1): β u, γ u gehören zur Relativgeschwindigkeit u der Systeme β, γ gehören zur Geschwindigkeit des Teilchens Energie/Impulserhaltung ist wirklich systemunabhängig Solche 4-komponentigen Objekte heißen Vierervektoren

41 Die Energie-Impuls-Verknüpfung (2): Bemerkung: ist lorentzinvariant (unabhängig vom Inertialsystem)! Dann ist Produkt lorentzinvariant. Strahlungsdruck

42 Beweis der Lorentzinvarianz von pq (für Ungläubige):

43 Konsequenz 1: Massen m gewinnen bei Energie nur noch durch Vergößerung der relativistischen Masse γm, nicht durch Vergrößerung der Geschwindigkeit. Newton Einstein

44 Konsequenz 2: Umwandlung von Masse in Energie. α-zerfall eines ruhenden Atomkerns K A : Impulserhaltung: Energieerhaltung: Anwendungen: Energiegewinnung durch Kernspaltung (Kernkraftwerk) und Kernfusion (Sonne); Kernwaffen

45 Konsequenz 3: Umwandlung von Energie in Masse. Erzeugung des Higgs-Bosons H am Large Hadron Collider Proton Proton H

46 LHC: Direkter Test der relativistischen Massenzunahme Magnetische Ablenkkraft entlang des Rings (klassisch): Ring ist kein Kreis: Messung: Erklärung:

47 Beispiel: Zerfall eines ruhenden Pions Energie-Impuls-Erhaltung:

48 Relativistische Kraft Kraft nicht mehr parallel zur Beschleunigung!

49 Lorentz-Transformation der Kraft: Folgerung: Folgerung: ist ein Vierervektor Viererkraft Beachte (s.o): ist ein Vierervektor Vierergeschwindigkeit

50 Relativistische Bewegungsgleichung: Viererkraft Vierergeschwindigkeit Viererkraft = Ruhemasse Viererbeschleunigung

51 Übung 1: Lorentz-Transformation von z zʹ S y x Sʹ yʹ xʹ Geschwindigkeitsaddition (wie oben zu Fuß)

52 Übung 2: Lorentz-Transformation von f und z zʹ S y x Sʹ yʹ xʹ

53 6.6. Elektromagnetisches Feld und Relativitätsprinzip Lorentzkraft auf bewegte Ladung q: Viererkraft: Folgerung: E- und B-Felder wandeln sich unter Lorentz- Transformationen ineinander um. Bemerkung (ohne Beweis): Die Maxwell-Gleichungen sind unter diesen Lorentz-Transformationen invariant.

54 Lorentz-Transformation elektromagnetischer Felder

55 Herleitung für Interessierte: 1 Kraft-Transformation von oben mit

56 Geschwindigkeits-Transformation von oben: 2

57 Beachte: 3

58 Beachte: 4

59 Beachte: 5

60 Beachte: 6

61 Ladungsdichte und Stromdichte Bewegte Ladung: Definition: Viererstromdichte lorentzinvariant mit U ist auch J ein Vierervektor

62 Lorentz-Transformation der Viererstromdichte:

63 Beispiel: Invarianz der Maxwell-Gleichung

64 Elektromagnetisches Feld einer bewegten Ladung: α

65 Abstrahlung einer beschleunigten Ladung (qualitativ) q q Interpretation S q Antenne q α Momentaufnahme eines Hertzschen Dipols Ladungsschwerpunkt der freien Ladungsträger Beschleunigte hochrelativistische Ladungen strahlen in einem engen Kegel in Bewegungsrichtung. q α

66 α q S q q α Völlig zu vernachlässigen gegen Beschleunigungs- Leistung Gewaltige Strahlungsleistung bei großen γ Seitlich beschleunigte, leichte geladene Teilchen (Elektronen, Positronen) strahlen extrem

67 Anwendung: Synchrotronstrahlung BESSY II (Adlershof)

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