D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 1

Transkript

1 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie. Frage Welche der Aussagen sind richtig? Eine divergente Folge ist nicht beschränkt. Falsch. Z.B. ist {( ) n } n N beschränkt und divergent. Jede beschränkte Folge ist konvergent. Falsch. Z.B. ist {( ) n } n N beschränkt und divergent. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Richtig. Dies folgt direkt aus der Definition der Konvergenz. Eine nicht beschränkte Folge divergiert. Richtig. Das ist die Kontraposition der vorhergehenden Aussage. Sie folgt direkt aus der Definition der Konvergenz. Bitte wenden!

2 Frage Gegeben sei die Folge a n = n n+, n =,, 3,.... Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Folge ist monoton wachsend. Die Folge ist beschränkt. Die Folge ist eine Nullfolge. Die Folge ist konvergent. Der Limes der Folge ist. Für alle n gilt a n+ (n + )(n + ) = = n + n + >. a n n(n + ) n + n Da alle Folgenglieder positiv sind, folgt a n+ > a n, d.h. die Folge ist monoton wachsend. Weiter gilt n lim an = lim n n n + = lim n + =. n Somit ist die Folge beschränkt und konvergiert gegen. Also ist die dritte Möglichkeit die einzige korrekte Antwort. Frage 3 Der Grenzwert ist gleich... lim n + n 3 0n 3 + n Es gilt: lim n n 3 0n 3 + n + = }{{} Zähler und Nenner lim n n n + n 3. dividiert durch n 3 Da die Summanden,, jeweils eine Nullfolge bilden, wird der Grenzwert des Quotienten nach den Rechenregeln für Grenzwerte zu =. 0 n 3 n n 3 5 Siehe nächstes Blatt!

3 Frage 4 Die Summe ist gleich Die gegebene Summe definiert eine geometrische Reihe: = n=0 ( ) n = q n. Da q = = <, konvergiert die geometrische Reihe und hat den Grenzwert =. q 3 n=0 Bitte wenden!

4 Frage 5 Welche der untenstehenden Folgen divergieren? a n =! + + n!. Die Folge konvergiert gegen die Eulersche Zahl e. an = + + n. Wird durch die harmonische Reihe minorisiert (das bedeutet die harmonische Reihe ist kleiner gleich) und ist deshalb divergent weil die harmonische Reihe divergent ist. Die harmonische Reihe ist divergent wegen: +/+(/3+/4)+(/5+/6+/7+/8)+ +/n +/+(/4+/4)+(/8+/8+/8+/8)+ +/n und deshalb a n + / + / + / + + /n, was jeden Wert übersteigt wenn n genügend gross ist. an = + + n. Harmonische Reihe und deshalb divergent an = + + n. a n n und deshalb divergent. Keine der Folgen divergiert.. Seien a, b R. Vereinfachen Sie soweit wie möglich (ohne Taschenrechner!). a) = ( + ) + ( ) ( )( + ) = = 6 b) a b a b c) d) a b a b = (a + b)(a b) a b ab(a b) = = ab a ab b = a + b. ab(a b) b a = ab 3a + a a 8 a 8 + a + (64 a ) (a 3 + a + 4a ) = ( 3a a )(8 + a) (8 a)(8 + a) + ( a)(8 a) (8 + a)(8 a) + a3 + a + 4a (8 a)(8 + a) = a3 9a 4a a + a3 + a + 4a a = 8a a = Gegeben sei die Funktion f : x x + x 3 x 3 x x. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen von f. Für welche Werte von x ist die Funktion f positiv? Für welche negativ? Skizzieren Sie den Graph Γ (f). (Hinweis: für den Siehe nächstes Blatt!

5 Graph können Sie z.b. das Bild ausgewählter Werte im Definitionsbereich berechnen und dann die Punkte miteinander verbinden. Was passiert mit der Funktion f in Umgebungen der Nullstellen des Nenners?) Lösung: f ist eine rationale Funktion und lässt sich wie folgt faktorisieren f : x x + x 3 (x + 3)(x ) x 3 x = x x(x )(x + ). Wie jede rationale Funktion, ist f überall in R ausser in den Nullstellen des Nenners definiert. Somit ist der maximale Definitionsbereich von f die Menge R \ {, 0, }. Die Nullstellen von f sind genau die Nullstellen des Zählers, nämlich 3 und. Nach Untersuchung der Vorzeichen der Faktoren im Zähler und im Nenner folgt, dass P = ( 3, ) (0, ) (, ), N = (, 3) (, 0) (, ), wobei P die Menge, in der f positiv ist, und N die Menge, in der f negativ ist, bezeichnet. Der Graph Γ(f) ist: Untersuchen Sie die nachstehenden Zahlenfolgen. Sind sie beschränkt? Sind sie monoton? Konvergieren sie, und falls ja, wie lautet ihr Grenzwert? a) a n = cos πn 3 Offensichtlich ist {a n } nach unten durch und nach oben durch beschränkt. Die ersten zwei Folgenglieder sind a = und a =. Bitte wenden!

6 Da cos bekanntlich π-periodisch ist, gilt für alle n N: a n+6 = a n. Deshalb kann die Folge nur monoton sein oder konvergieren, wenn sie konstant ist. Das ist sie aber nicht. Also ist sie nicht monoton und konvergiert auch nicht. b) a n = n + n + 3 n + + n n + n n Es gilt a n = n + n + 3 n + + n n + n n = n ( + + n) = n(n + ) n = + n. Die Folge { n} ist beschränkt (durch von oben und 0 von unten), monoton fallend und konvergiert gegen 0. Daher ist {a n } ebenfalls beschränkt, monoton fallend und konvergiert gegen. c) a n = 3n4 5n + 7n 4 4n 3 Wir rechnen wie üblich a n = 3n4 5n + 7n 4 4n 3 n 4 n 4 = 3 5n + n 4 7 4n und da der Nenner gegen 3 und der Zähler gegen 7 konvergiert, konvergiert {a n } gegen 3 7. Insbesondere ist die Folge beschänkt. Monoton ist sie wegen jedoch nicht. a = 0 < 3 7 < = a 3 d) a = 0, a =, a n = (a n + a n ) für n 3 Wir rechnen Daher gilt a n+ a n+ = (a n+ + a n ) a n+ = (a n+ a n ) ( = ( (a n a n ) = = ) ) n. n a n = a + (a k+ a k+ ) = k=0 n k=0 ( ) k. Das ist die Partialsummenfolge einer geometrischen Reihe mit Faktor ( ) und konvergiert bekanntlich. Daher ist {a n } beschränkt. Offensichtlich ist sie nicht monoton. Der Grenzwert ist nach der Summenformel für die geometrische Reihe ( /) = 3. e) a n = n + n Wir rechnen a n = n + n = ( n + n + + n n) n + + n = n + n =. n + + n n + + n Die Folge ist offensichtlich monoton fallend, konvergiert gegen 0 und ist daher auch beschränkt. Siehe nächstes Blatt!

7 f) a n = (n + )n n Wegen a n = (n + )n n = (n + )n n = = (n + )n + n ( (n + )n n ) (n + )n + n (n + )n + n n (n + )n + n = + n + ist die Folge monoton wachsend und konvergiert gegen, daher ist sie auch beschränkt. 5. Fibonacci-Folge: Es sei die Folge (a n ) gegeben durch das rekursive Gesetz a 0 :=, a :=, a n := a n + a n für n. Das Ziel dieser Aufgabe ist es den Grenzwert der Folge b n := an a n, wobei n, zu bestimmen. a) Begründe wieso die Folge (a n ) monoton wachsend ist und wieso die Folge (b n ) beschränkt ist. Lösung: Weil a n = a n + a n und a n für alle n, folgt dass a n > a n und deshalb divergiert die Folge (a n ). Es gilt b n = a n = a n + a n = + a n = + () a n a n a n b n für alle n. Somit b n für alle n weil jedes Folgeglied von (b n ) nicht-negativ ist. Weil b = folgt deshalb b n für alle n. Eine Konsequenz davon ist, dass b n und deshalb folgt wegen (), dass b n. Wir haben also gezeigt, dass b n und die Folge (b n ) ist somit beschränkt. b) Es sei Zeige dass c n = c n für alle n 4. Lösung: Wir berechnen c n := a n a n 3 a n a n für n 3. c n = a n a n 3 a n a n = (a n + a n )a n 3 a n (a n 3 + a n 4 ) = a n a n 3 + a n a n 3 a n a n 3 a n a n 4 = a n a n 3 a n a n 4 = c n, wie gewünscht. c) Begründe wieso c n = ( ) n+. Lösung: Weil a 0 =, a =, a =, a 3 = 3, erhalten wir c 3 = 3 = und deshalb folgt c 4 =, c 5 =, c 6 = und so weiter. d) Verwende jeweils Teilaufgabe c) um zu zeigen, dass die Folge (b n ), wobei n, monoton fallend ist und dass die Folge (b n+ ), wobei n, monoton wachsend ist. Lösung: Weil c n = ( ) n+, folgt c n = ( ) n+ = für alle n. Also a n a n 3 a n a n =, folglich a n a n 3 a n a n 0 und somit a n a n 3 a n a n, was äquivalent zu b n = a n a (n ) = b (n ) a n a (n ) ist. Deshalb ist die Folge (b n ) monoton fallend. Komplett analog lässt sich zeigen, dass die Folge (b n ) monoton steigend ist. Bitte wenden!

8 e) Begründe unter Zuhilfenahme der vorangehenden Teilaufgabe wieso die Folge (b n ) gegen den goldenen Schnitt + 5 konvergiert. Lösung: Die Folge (b n ) ist wegen Teilaufgabe a) beschränkt und wegen Teilaufgabe d) monoton fallend. Folglich ist die Folge (b n ) konvergent. Es gilt b n = + = + b n +. b (n ) und somit lim b n = + n + + lim b (n ) n + Wir setzen x := lim n + b n. Wir haben also gezeigt: Auflösen nach x gibt x = + +. x (x )( + x ) = und somit x + x =, was äquivalent zu x x = 0 Durch multiplizieren der obigen Gleichung mit x erhält man x x = 0. = +. + lim n + bn Mit der quadratischen Lösungsformel erhält man x = ± 5. Weil alle Folgeglieder von (b n) positiv sind, folgt dass x = + 5. Wie haben also gezeigt, dass die Folge (b n ) gegen den goldenen Schnitt ϕ = + 5 konvergiert. Mit genau der gleichen Rechnung lässt sich zeigen, dass auch die Folge (b n ) gegen den goldenen Schnitt ϕ konvergiert. Wir müssen nun noch zeigen, dass auch die Folge (b n ) gegen den goldenen Schnitt konvergiert. Sei ε > 0 beliebig. Weil die Folge (b n ) konvergiert gibt es ein N so dass für alle n N folgt b n ϕ < ε. Weiterhin, weil die Folge (b n+ ) konvergiert gibt es ein N so dass für alle n N folgt b n+ ϕ < ε. Setze N := max{n, N + }. Nach Konstruktion gilt für alle n N dass b n ϕ < ε. Weil ε > 0 beliebig war, haben wir gezeigt, dass die Folge (b n ) gegen den goldenen Schnitt konvergiert, wie behauptet